（課標(biāo)通用）2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.3圓的方程學(xué)案理

PAGE1-§9.3圓的方程考綱展示?1.掌握確定圓的幾何要素．2．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．考點(diǎn)1圓的方程1.圓的定義及方程答案：定點(diǎn)定長(zhǎng)(a，b)r2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：________到________的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三種情況：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2________r2?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2________r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．答案：(1)點(diǎn)圓心(2)①＝②>③<(1)[教材習(xí)題改編]圓x2＋y2－2ax＋4ay＝0(a≠0)的圓心坐標(biāo)是________，半徑r＝________.答案：(a，－2a)eq\r(5)|a|解析：根據(jù)圓的一般方程的圓心公式和半徑公式，可得圓的圓心坐標(biāo)為(a，－2a)，半徑為eq\r(5)|a|.(2)[教材習(xí)題改編]以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的兩端點(diǎn)分別為(2,0)，(0,2)，所以圓心為(1,1)，圓的半徑為eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.圓的一般方程：注意表示圓的條件．(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，那么a答案：－2<a<eq\f(2,3)解析：∵方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a∴a2＋(2a)2－4(2a2＋解得－2<a<eq\f(2,3).(2)圓x2＋y2－2ax＋4y＋a＝0的半徑為2，那么a＝________.答案：0或1解析：由題意可知，eq\f(1,2)eq\r(4a2＋16－4a)＝eq\r(a2－a＋4)＝2，解得a＝0或1，經(jīng)檢驗(yàn)都滿足題意，所以a＝0或1.[典題1](1)求經(jīng)過點(diǎn)P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6的圓的方程．[解]設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，由①②④解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0.))故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解]解法一：因?yàn)閳AC的圓心在直線x－2y＝0上，且與y軸的正半軸相切，所以設(shè)圓心C(2b，b)(b>0)，半徑r＝2b.又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，圓心C到x軸的距離為b，所以由勾股定理eq\r(2b2－b2)＝eq\r(3)，解得b＝1.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.解法二：因?yàn)閳AC的圓心在直線x－2y＝0上，設(shè)圓心C(2b，b)，所以圓C的方程為(x－2b)2＋(y－b)2＝r2，因?yàn)閳AC與y軸正半軸相切，那么r＝2b>0.①又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，由勾股定理，得圓心C到x軸的距離為eq\r(r2－b2)＝eq\r(3).②聯(lián)立①②，得b＝1，r＝2.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.[點(diǎn)石成金]求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用適宜的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的根本量．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．考點(diǎn)2與圓有關(guān)的最值問題[考情聚焦]與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一斜率型最值問題[典題2][2022·遼寧撫順模擬]實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．[解]原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).角度二截距型最值問題[典題3]在[角度一]條件下求y－x的最大值和最小值．[解]y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如下圖，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).角度三距離型最值問題[典題4]在[角度一]條件下求x2＋y2的最大值和最小值．[解]如下圖，x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).角度四建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題[典題5]圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，那么m的最大值為()A．7B．6C．5D．4[答案]B[解析]由(x－3)2＋(y－4)2＝1知，圓上點(diǎn)P(x0，y0)可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3＋cosθ，,y0＝4＋sinθ.))∵∠APB＝90°，即eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋yeq\o\al(2,0)＝0，∴m2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(3,4)))，∴0＜m≤6，即m的最大值為6.[點(diǎn)石成金]求解與圓有關(guān)的最值問題的兩大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用根本不等式求最值是比擬常用的．考點(diǎn)3與圓有關(guān)的軌跡問題(1)[教材習(xí)題改編]點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(－3,3)的距離之比為eq\f(1,2)，那么點(diǎn)P的軌跡方程是________．答案：x2＋y2－2x＋2y－6＝0解析：依題意，得eq\f(|PO|,|PA|)＝eq\f(1,2).設(shè)P(x，y)，那么eq\f(\r(x2＋y2),\r(x＋32＋y－32))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2－2x＋2y－6＝0.(2)[教材習(xí)題改編]假設(shè)點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－1,1)解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2<1，故－1<a<1.1.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：幾何法．經(jīng)過三點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)，C(1,3)的圓的方程為________．答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5解析：因?yàn)閗BC·kAC＝eq\f(3－2,1－0)·eq\f(3－0,1－4)＝－1，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形，AB是斜邊，所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(2,1)，半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋22)＝eq\r(5)，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.2．求圓的一般方程：待定系數(shù)法．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，其外接圓的方程為________．答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0解析：解法一：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20.))故所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0.解法二：由題意可求得線段AC的中垂線方程為x＝2，線段BC的中垂線方程為x＋y－3＝0，那么圓心是兩中垂線的交點(diǎn)(2,1)，半徑r＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.[典題6]設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．[解]如下圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，那么線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4.))又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況)．[點(diǎn)石成金]求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，代入點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)假設(shè)∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．解：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，那么ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧]1.求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用適宜的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的根本量．(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．2．解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算．3．圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上．4．圓心在任一弦的中垂線上．5．兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．[易錯(cuò)防范]求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線．真題演練集訓(xùn)1．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]一個(gè)圓經(jīng)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，那么該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)解析：由題意知，a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知，圓過點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋4＝r2，,4－m2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,r2＝\f(25,4).))所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4).2．[2022·陜西卷]假設(shè)圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案：x2＋(y－1)2＝1解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，所以所求圓的圓心為(0,1)，半徑為1，于是圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1.3．[2022·江蘇卷]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得eq\o(TA,\s\up16(→))＋eq\o(TP,\s\up16(→))＝eq\o(TQ,\s\up16(→))，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，于是圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因?yàn)橹本€l∥OA，所以直線l的斜率為eq\f(4－0,2－0)＝2.設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，那么圓心M到直線l的距離d＝eq\f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq\f(|m＋5|,\r(5)).因?yàn)锽C＝OA＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，而MC2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2，所以25＝eq\f(m＋52,5)＋5，解得m＝5或m＝－15.故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，eq\o(TA,\s\up16(→))＋eq\o(TP,\s\up16(→))＝eq\o(TQ,\s\up16(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝x1＋2－t，,y2＝y(tǒng)1＋4.))①因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，從而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)，所以5－5≤eq\r([t＋4－6]2＋3－72)≤5＋5，解得2－2eq\r(21)≤t≤2＋2eq\r(21).因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－2eq\r(21)，2＋2eq\r(21)]．課外拓展閱讀圓中防止求“交點(diǎn)〞的幾種策略有關(guān)圓錐曲線與圓的交點(diǎn)問題，假設(shè)用解方程組的方法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，往往比擬繁瑣，有些甚至沒有必要，下面舉例介紹如何防止求“交點(diǎn)〞的幾種策略：1．整體代入法[典例1]圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交于兩點(diǎn)A，B，那么公共弦AB所在的直線方程為________．[解析]設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0任一交點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0，y0)，那么xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0，因?yàn)锳，B的坐標(biāo)都滿足方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，③所以③是過A，B兩點(diǎn)的直線方程．而過A，B兩點(diǎn)的直線是唯一的，故方程③就是公共弦AB所在的直線方程．[答案](D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝02．?dāng)?shù)形結(jié)合法[典例2]曲線xy＝1與圓M：x2＋y2－4x－4y＋3＝0相交于A，B兩點(diǎn)，那么AB的中垂線方程為________．[解析]曲線xy＝1是反比例函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，而圓M的圓心(2,2)在直線y＝x上，就是說圓M也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故AB的中垂線方程為y＝x.[答案]y＝x方法點(diǎn)睛數(shù)形結(jié)合思想，通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形〞，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，往往能起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用，使一些看似復(fù)雜的問題通過作圖得以輕松解決