湖南省衡陽市衡陽縣四中2022-2023學(xué)年高二創(chuàng)新班下學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試題

/23/23/衡陽縣四中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試卷（創(chuàng)新班）一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.2.已知P是圓上動(dòng)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)P到直線l距離的最小值為（）A.5 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】先判斷直線與圓C相離，再求出圓心到直線的距離，點(diǎn)P到直線l距離的最小值為圓心到直線的距離減半徑.【詳解】可化為，所以圓心，半徑為，所以圓心C到直線的距離為，由知直線與圓C相離，所以點(diǎn)P到直線的最小距離為，故選：D．3.現(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（）A.7種 B.9種 C.14種 D.70種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】分為三類:從國畫中選，有2種不同的選法;從油畫中選，有5種不同的選法;從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法;故選：C4.如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.5.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)，則（）A.8 B.6 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則.因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，以，所以，由于，所以，解得或（舍去），故.故選：B6.若函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象上存在四個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意知方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，利用導(dǎo)數(shù)研究極值與最值，得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】由題意知方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B7.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題中的條件，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相交，聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)，求得兩點(diǎn)，再利用所給的拋物線的方程，寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量坐標(biāo)公式，求得，最后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果.8.設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，以為直徑的圓與在第一象限的交點(diǎn)為，則直線的斜率為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，設(shè)，（）．可得，，聯(lián)立解得，即可得出直線的斜率=．【詳解】∵，∴，設(shè)，（）．則，，化為：，解得．∴直線的斜率==．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知等比數(shù)列公比為，前項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A.為單調(diào)遞增數(shù)列 B. C.，，成等比數(shù)列 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)利用等比數(shù)列的性質(zhì)建立關(guān)系求出，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)可得答案．【詳解】由，可得，則，當(dāng)首項(xiàng)時(shí)，可得為單調(diào)遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；由，故正確；假設(shè)，，成等比數(shù)列，可得，即不成立，顯然，，不成等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；由公比為的等比數(shù)列，可得，故正確；故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用求得，同時(shí)需要熟練掌握等比數(shù)列的求和公式.10.（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、O分別是、的中點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)A到直線的距離是 B.點(diǎn)O到平面的距離為C.平面與平面間的距離為 D.點(diǎn)P到直線的距離為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積求得各個(gè)選項(xiàng)的距離，得出結(jié)論.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以．設(shè)，則，．故A到直線的距離，故A錯(cuò)．易知，平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)O到平面的距離，故B對(duì)．．設(shè)平面的法向量為，則所以令，得，所以．所以點(diǎn)到平面的距離．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C對(duì)．因?yàn)椋?，又，則，所以點(diǎn)P到的距離，故D錯(cuò)．故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、面面距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.11.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在處切線的斜率為3e，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.有極大值C.有最大值 D.有最小值0【答案】ABD【解析】【分析】求出，由求出可判斷A；由、得到的極大值可判斷B；取特殊值可判斷C；由可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，則，解得，故A正確；由選項(xiàng)A得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得極大值，故B正確；因?yàn)?，所以不是的最大值，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則有最小值0，故D正確.故選：ABD．12.已知點(diǎn)P為雙曲線所在平面內(nèi)一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，，線段分別交雙曲線于兩點(diǎn)，，．設(shè)雙曲線的離心率為e，則下列說法正確的有（）A.若平行于漸近線，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的邊長(zhǎng)及內(nèi)角，并結(jié)合對(duì)稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，在中，，而，，則，，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)P在第一象限，如圖對(duì)于A，若平行于漸近線，而直線斜率為，則，得，A正確；對(duì)于B，若，則，在中，由余弦定理得：，，離心率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，在中，，離心率，C正確；對(duì)于D，顯然點(diǎn)，由得：，即有點(diǎn)，而點(diǎn)M在雙曲線C上，即，整理得：，即有，顯然，因?yàn)?，有，即，矛盾，因此，，由得，即，則，所以，D正確．故選：ACD三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分．）13.的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．【答案】0【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】的展開式通項(xiàng)為，所以，．故所求的系數(shù)為．故答案為：0．14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且為嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義，利用做差法可得恒成立，分離參數(shù)求解即可.【詳解】由數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即恒成立，又?jǐn)?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以.故答案為：15.若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】由有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由，得，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比的要大，所以，作出的圖象，如圖所示，．故答案為：．16.如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．若，則實(shí)數(shù)_____【答案】4【解析】【分析】連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ．【詳解】解：連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝2，則A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），設(shè)N（0，b，0），則（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵M(jìn)N⊥AD，∴10，解得實(shí)數(shù)λ＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其余各題每題12分，共70分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，結(jié)合（1）結(jié)論可得，再應(yīng)用分組求和、錯(cuò)位相消法求的前n項(xiàng)和．【小問1詳解】．①當(dāng)時(shí)，，可得．當(dāng)時(shí)，．②①－②得，則，而a1-1=1不為零，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則．∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．【小問2詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又也適合上式，∴，．∴，．令，，則，又，∴．18.如圖，在棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，且.（1）設(shè)M是線段上一點(diǎn)，且.試問：是否存在點(diǎn)M，使得直線平面MNC？若存在，請(qǐng)證明平面MNC，并求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）存在，（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)P，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，由線面平行的判定定理證明線面平行，由平行線的性質(zhì)得比值；（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC，ND，NP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦．【小問1詳解】取的中點(diǎn)P，因?yàn)椋?所以共面，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求.證明：連接PN，因?yàn)镹是AD的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，所以，又平面MNC，平面MNC，所以直線平面MNC.因?yàn)?，所?【小問2詳解】連接AC.由（1）知.又平面ABCD，所以平面ABCD.因?yàn)?，四邊形ABCD是菱形，所以為正三角形，所以.以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC，ND，NP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.又，所以，所以點(diǎn)，則.設(shè)平面的法向量，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，由圖易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19.根據(jù)調(diào)查，某學(xué)校開設(shè)了“街舞”、“圍棋”、“武術(shù)”三個(gè)社團(tuán)，三個(gè)社團(tuán)參加的人數(shù)如下表所示：社團(tuán)街舞圍棋武術(shù)人數(shù)320240200為調(diào)查社團(tuán)開展情況，學(xué)校社團(tuán)管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從“圍棋”社團(tuán)抽取的同學(xué)比從“街舞”社團(tuán)抽取的同學(xué)少2人.（1）求三個(gè)社團(tuán)分別抽取了多少同學(xué)；（2）若從“圍棋”社團(tuán)抽取的同學(xué)中選出2人擔(dān)任該社團(tuán)活動(dòng)監(jiān)督的職務(wù)，已知“圍棋”社團(tuán)被抽取的同學(xué)中有2名女生，求至少有1名女同學(xué)被選為監(jiān)督職務(wù)的概率．【答案】（1）8,6,5（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)抽樣比為x，則由分層抽樣可知，“街舞”、“圍棋”、“武術(shù)”三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為320x、240x、200x．由題意列出方程，能求出“街舞”、“圍棋”、“武術(shù)”三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)．（2）從“圍棋”社團(tuán)抽取了6人，其中2位女生記為A，B，4位男生記為C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從這6位同學(xué)中任選2人，至少有1名女生被選中的概率．【詳解】（1）設(shè)抽樣比為x，則由分層抽樣可知，“街舞”、“圍棋”、“武術(shù)”三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為320x、240x、200x．則由題意得320x﹣240x＝2，解得x．故“街舞”、“圍棋”、“武術(shù)”三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為3208、2406、2005．（2）由（1）知，從“圍棋”社團(tuán)抽取的同學(xué)為6人，其中2位女生記為;4位男生記為;從中選出2人擔(dān)任該社團(tuán)活動(dòng)監(jiān)督的職務(wù)有15種不同的結(jié)果，至少有1名女同學(xué)被選為監(jiān)督職務(wù)有9種不同的結(jié)果，所以至少有1名女同學(xué)被選為監(jiān)督職務(wù)的概率.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意古典概型概率公式、列舉法的合理運(yùn)用．20.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂點(diǎn)，，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若不過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線l過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）由三角形的中位線性質(zhì)可得四邊形OMPN的周長(zhǎng)即為2a，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a－c，聯(lián)立即可得橢圓方程；（2）分類討論斜率存在與斜率不存在，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，再由可得k與m的關(guān)系式，將其代入直線方程可得定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入計(jì)算即可.【小問1詳解】M，N分別為線段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為，，，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，代入，整理得，則，．易知，，化簡(jiǎn)得，或(舍去)，直線l方程為，即，直線l過定點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此時(shí)直線l過點(diǎn)．綜上，直線l過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點(diǎn)(0，m)．21.已知拋物線，拋物線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）過的直線l交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A，B，交直線于點(diǎn)E，直線BF交直線于點(diǎn)D，是否存在這樣的直線l，使得？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出直線l的方程．【答案】（1）拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）存在直線或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及準(zhǔn)