二次函數(shù)的教材分析

二次函數(shù)的教材分析第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日一、本章教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排二、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)實(shí)際問(wèn)題二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的應(yīng)用目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容參考課時(shí)（約13）27．1二次函數(shù)1課時(shí)27．2

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

5課時(shí)27．3實(shí)踐與探索5課時(shí)章小結(jié)2課時(shí)第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日三、本章的地位和作用

“二次函數(shù)”這一章是初中階段所學(xué)的有關(guān)函數(shù)知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，這是對(duì)函數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)學(xué)習(xí)的深化和提高，是今后學(xué)習(xí)其它初等函數(shù)的基礎(chǔ)，因此，這部分對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容有著承上啟下的作用，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生用函數(shù)模型（函數(shù)思想）來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，逐步提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力有著一定的作用。

第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

四、本章編寫特點(diǎn)（一）注重結(jié)論的探索在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。教科書通過(guò)設(shè)置觀察、思考、討論等欄目，引導(dǎo)學(xué)生探索相關(guān)的結(jié)論。（二）注重知識(shí)之間的聯(lián)系學(xué)生在“一次函數(shù)”一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程組的聯(lián)系。本章專設(shè)一個(gè)專題，探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再次展示函數(shù)與方程的聯(lián)系。這樣安排一方面可以深化學(xué)生對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，另一方面又可以運(yùn)用一元二次方程解決二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題。（三）注重聯(lián)系實(shí)際二次函數(shù)與實(shí)際生活聯(lián)系緊密。本章引言選取正方體表面積、最優(yōu)化、拱橋、噴水等問(wèn)題展示這種聯(lián)系。在介紹二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)也穿插安排了一些實(shí)際問(wèn)題。

第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日課程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義；2．會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；3．會(huì)用配方法確定圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向和對(duì)稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4．會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。六、本章教學(xué)目標(biāo)五、本章重要的數(shù)學(xué)思想方法

(1)數(shù)形結(jié)合思想(2)

建模思想

(3)函數(shù)思想(4)

化歸思想

(5)配方法第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日《中考考試說(shuō)明》對(duì)本章教學(xué)內(nèi)容的要求知識(shí)基本要求略高要求較高要求二次函數(shù)能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情境并理解二次函數(shù)的意義,會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式；能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用配方法或公式法確定圖像的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)和對(duì)稱軸；會(huì)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解能用二次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；能解決與其他函數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日七、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．重點(diǎn):☆了解二次函數(shù)的含義☆理解二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì),☆拋物線圖象的平移問(wèn)題.☆體會(huì)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系☆能用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題2．難點(diǎn):☆二次函數(shù)圖象特征及其性質(zhì)．☆對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解與應(yīng)用.☆應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．能解決與其他函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日1．在利用函數(shù)圖像討論二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要放慢節(jié)奏，逐步理解、完善．要充分結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)的意義及實(shí)際問(wèn)題中包含的特定意義，來(lái)理解函數(shù)的圖象與性質(zhì).2．加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想，達(dá)到數(shù)形互補(bǔ)，從而提高學(xué)生的分析能力．3．在討論二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要盡量引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖象與圖象之間的比較，表達(dá)式與表達(dá)式之間的比較，建立圖形和表達(dá)式之間的聯(lián)系，以達(dá)到學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的理解．4．注意規(guī)律的理解與總結(jié),強(qiáng)調(diào)解決實(shí)際問(wèn)題的注意事項(xiàng).（如平面直角坐標(biāo)系的建立，橫軸、縱軸的實(shí)際意義，自變量的取值范圍等）八、教學(xué)建議(一)本章教學(xué)建議第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日5.注意與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系，減少對(duì)新概念、新知識(shí)接受的困難。

(一次函數(shù)知識(shí)、待定系數(shù)法和整式配方、方程和不等式的知識(shí)等）6.創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實(shí)情境，重視解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值.

（重視學(xué)生對(duì)基本概念的理解和接受，防止形式化的羅列概念，再舉例說(shuō)明的做法,注意讓學(xué)生敘述和交流，在應(yīng)用和問(wèn)題解決中加深理解，正確使用）7.充分利用教材的空間，積極組織和實(shí)施對(duì)不同學(xué)生、不同班級(jí)的多樣化教學(xué).第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

概念的學(xué)習(xí)盡量結(jié)合本地的具體情境,突出學(xué)生的直觀感知,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探求不同實(shí)例中兩個(gè)變量之間的關(guān)系,總結(jié)概括得出二次函數(shù)的定義,并對(duì)二次函數(shù)的定義進(jìn)行辨析,加深認(rèn)識(shí)。（二）各小節(jié)具體教學(xué)建議§27.1二次函數(shù)第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日§27.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.用描點(diǎn)法作圖,過(guò)程要明確規(guī)范,注重全體學(xué)生的動(dòng)手參與,注意加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系。3.每學(xué)完一種類型的函數(shù),要引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié),使其掌握方法。多描多畫、交流或教師主動(dòng)呈現(xiàn)辨析，數(shù)形結(jié)合。1.重視由簡(jiǎn)到繁,從特殊到一般的探索過(guò)程；第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日通過(guò)噴泉的水流、標(biāo)槍的投擲，最優(yōu)化，拋物線形狀拱橋等問(wèn)題的探究，展示二次函數(shù)與實(shí)際的聯(lián)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解要注意解的范圍、解的精確度以及如何達(dá)到所要求的精確度等。27.3實(shí)踐與探索(1)列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；(2)在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過(guò)配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。運(yùn)用二次函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日2、函數(shù)有四種表示形式：語(yǔ)言表示、表格表示、圖象表示、代數(shù)式表示。其中后三種是數(shù)學(xué)的形式。九、本章知識(shí)點(diǎn)歸納1、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)稱為y是x的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線.

3、“五點(diǎn)一線法”作二次函數(shù)的圖象步驟：

（1）找出開(kāi)口方向，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程

（2）根據(jù)圖象的對(duì)稱性，從頂點(diǎn)開(kāi)始，

左右各取四個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)（通常取(0,c)，(x1,0)，

(x2,0)

，

四點(diǎn)）（列表、描點(diǎn)）

（3）用平滑的曲線連接（連線）

第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解析式y(tǒng)=ax2

y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

不頂點(diǎn)坐標(biāo)同點(diǎn)對(duì)稱軸（0，0）（0，k）（h，0）（h，k）y軸y軸直線x=h直線x=h

a＞0相開(kāi)口方向向上同最值點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增減性減小.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而增大

a＜0向下在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而減小4、類比歸納二次函數(shù)五種類型的圖象性質(zhì)第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日向右（ｈ＞0）、左（ｈ＜0）平移ｈ個(gè)單位︳︳向右（ｈ＞0）、左（ｈ＜0）平移ｈ個(gè)單位︳︳向右（ｈ＞0）、左（ｈ＞0）平移ｈ個(gè)單位︳︳向上（ｋ＞0）、下（ｋ＞0）平移ｋ個(gè)單位︳︳5、二次函數(shù)五種類型的圖象平移規(guī)律（一般式）y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+k（頂點(diǎn)式）配方展開(kāi)y=ax2平移平移第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日6.常用的二次函數(shù)解析式的求法：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(回避三元一次方程組)(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(3)交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)說(shuō)明:已知任意三點(diǎn)坐標(biāo)選用一般式；(若已知與y軸的交點(diǎn),可先將c值直接代入函數(shù)解析式,使三元方程組變?yōu)槎?從而簡(jiǎn)化運(yùn)算)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最值常可選用頂點(diǎn)式；已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)常選用交點(diǎn)式.第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日一看二次項(xiàng)系數(shù)a.(a決定拋物線的開(kāi)口方向)開(kāi)口向上a＞0

開(kāi)口向下a＜0三看常數(shù)項(xiàng)c.(c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置)6.二次函數(shù)的圖象“六看”:（依形判數(shù)，由數(shù)思形）

二看a與b的符號(hào):(a與b決定對(duì)稱軸位置)

第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

五看圖象的走向定函數(shù)的增減性：（以對(duì)稱軸為界）

左低右高y

隨x增大而增大,

左高右低y

隨x

增大而減小六看部分圖象對(duì)應(yīng)的取值范圍：

圖象端點(diǎn)向x軸引垂線，由垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)看x的取值范圍;

圖象端點(diǎn)向y軸引垂線，由垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)看y的取值范圍.四看b2-4ac的符號(hào)(b2-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù))

拋物線與x

軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac

＞0；拋物線與x

軸有一個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac

＝0；拋物線與x

軸無(wú)交點(diǎn)，b2-4ac

＜0.第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)生畫圖象中容易出現(xiàn)的問(wèn)題1.“三角”型——原因：只取了3個(gè)點(diǎn)，取點(diǎn)太少2.“對(duì)勾”型——原因：因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)不明確，左右取點(diǎn)不對(duì)稱3.“怪異”型——原因：（1）坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤（2）描點(diǎn)時(shí),位置不對(duì)（3）連線時(shí)順序不對(duì)第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日-2二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的幾個(gè)特例：

1、當(dāng)x=1時(shí)，

2、當(dāng)x=-1時(shí)，

3、當(dāng)x=2時(shí)，

4、當(dāng)x=-2時(shí)，y=a+b+c

y=a-b+cy=4a+2b+cy=4a-2b+c……………

……………xyo1-12練習(xí)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如上圖所示，那么下列判斷正確的有（填序號(hào)）

.①abc>0,②b2-4ac<0,③2a+b>0,④a+b+c<0,⑤a-b+c>0,⑥4a+2b+c<0,⑦4a-2b+c<0.①③⑦第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日四.歸納小結(jié)，構(gòu)成體系y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=ax2配方轉(zhuǎn)化平移轉(zhuǎn)化2.系數(shù)與圖象間的關(guān)系1.研究方法a決定圖象的形狀b影響對(duì)稱軸的位置c確定圖象與y軸的交點(diǎn)?決定圖象與x軸的交點(diǎn)情況第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日從二次函數(shù)的圖象看什么?從開(kāi)口方向確定a的符號(hào)從開(kāi)口方向及對(duì)稱軸確定b的符號(hào)從圖象與y軸的交點(diǎn)確定c的符號(hào)或具體數(shù)值從圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷b2—4ac的符號(hào)看頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸注意提高學(xué)生的識(shí)圖能力第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況:(1)有兩個(gè)交點(diǎn)(2)有一個(gè)交點(diǎn)(3)沒(méi)有交點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn),則b2–4ac≥0第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二次函數(shù)對(duì)一元二次方程、一元二次不等式起到了統(tǒng)領(lǐng)作用,可以使學(xué)生從更高的視角來(lái)認(rèn)識(shí)一元二次方程、一元二次不等式,根據(jù)圖象學(xué)生可得一元二次方程的近似解，雖然學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法,但通過(guò)圖象可以看出結(jié)果,突出地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日1.類比歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象性質(zhì)a>oa<0開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)對(duì)稱軸增減性最值當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減少y隨x的增大而增大當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減少當(dāng)時(shí)y隨x的增大而增大當(dāng)時(shí)第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0)解析式一般式

y=ax2+bx+c頂點(diǎn)式

y=a(x-h)2+k交點(diǎn)式

y=a(x-x1)(x-x2)

圖象y=ax2+bx+c=a(x+─)2+─2ab4a4ac-b2頂點(diǎn)坐標(biāo):(?─,──)2ab4a4ac-b2對(duì)稱軸:x=?──2ab形狀:開(kāi)口向上或向下的拋物線

性質(zhì)

開(kāi)口a>0拋物線開(kāi)口向上a<0拋物線開(kāi)口向下|a|越大拋物線開(kāi)口越小

對(duì)稱軸

當(dāng)a,b異號(hào)時(shí)

對(duì)稱軸x=?─在y軸的右側(cè)2ab當(dāng)a,b同號(hào)時(shí)對(duì)稱軸x=?─在y軸的左側(cè)2ab第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0)

與軸的交點(diǎn)隨的變化YXX當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量X的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.a>0時(shí)a<0時(shí)當(dāng)Ｘ<-─，Ｙ隨Ｘ的增大而減小當(dāng)Ｘ>-─，Ｙ隨Ｘ的增大而增大當(dāng)Ｘ﹦?─，Ｙ最?。僵ぉぉぎ?dāng)Ｘ<-─，Ｙ隨Ｘ的增大而減小當(dāng)Ｘ>-─，Ｙ隨Ｘ的增大而增大當(dāng)Ｘ﹦?─，Ｙ最大＝──2ab2ab2ab4a4ac-b22ab2ab2ab4a4ac-b2第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日達(dá)標(biāo)測(cè)試1、已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為_(kāi)_______________2、已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k），