高考數學一輪復習講義微專題02充分條件與必要條件(含詳解)

PAGE1-微專題02充分條件與必要條件一、基礎知識1、定義：（1）對于兩個條件SKIPIF1<0，如果命題“若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0”是真命題，則稱條件SKIPIF1<0能夠推出條件SKIPIF1<0，記為SKIPIF1<0，（2）充分條件與必要條件：如果條件SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱條件SKIPIF1<0是條件SKIPIF1<0的充分條件；稱條件SKIPIF1<0是條件SKIPIF1<0的必要條件2、對于兩個條件而言，往往以其中一個條件為主角，考慮另一個條件與它的關系，這種關系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時既要判斷“若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0”的真假，也要判斷“若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0”真假3、兩個條件之間可能的充分必要關系：（1）SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件（2）SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件（3）SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，記為SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件，也稱SKIPIF1<0等價（4）SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個條件的充分必要關系（1）通過命題手段，將兩個條件用“若……，則……”組成命題，通過判斷命題的真假來判斷出條件能否相互推出，進而確定充分必要關系。例如SKIPIF1<0，構造命題：“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”為真命題，所以SKIPIF1<0，但“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”為假命題（SKIPIF1<0還有可能為SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0不能推出SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性的判斷關系①充分：可從日常用語中的“充分”來理解，比如“小明對明天的考試做了充分的準備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由SKIPIF1<0就可以得到結論SKIPIF1<0，而不需要再添加任何說明與補充。以上題為例，對于條件SKIPIF1<0，不需再做任何說明或添加任何條件，就可以得到SKIPIF1<0所以可以說SKIPIF1<0對SKIPIF1<0是“充分的”，而反觀SKIPIF1<0對SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，要想得到SKIPIF1<0，還要補充一個前提：SKIPIF1<0不能取SKIPIF1<0，那既然還要補充，則說明是“不充分的”②必要：也可從日常用語中的“必要”來理解，比如“心臟是人的一個必要器官”，何謂“必要”？沒有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果SKIPIF1<0不成立，那么SKIPIF1<0必然不為1，但是僅靠SKIPIF1<0想得到SKIPIF1<0也是遠遠不夠的，還需要更多的補充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運用集合作為工具先看一個問題：已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0,那么條件“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的什么條件？由SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得到：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”充分不必要條件。通過這個問題可以看出，如果兩個集合存在包含關系，那么其對應條件之間也存在特定的充分必要關系。在求解時可以將滿足條件的元素構成對應集合，判斷出兩個集合間的包含關系，進而就可確定條件間的關系了。相關結論如下：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件②SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分條件③SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時，不管是判斷充分必要關系還是利用關系解參數范圍，都可將問題轉化為集合的包含問題，進而快捷求解。例如在SKIPIF1<0中，滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0取值集合為SKIPIF1<0，而滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0取值集合為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，進而判斷出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件5、關于“SKIPIF1<0”的充分必要關系：可從命題的角度進行判斷。例如：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件，則命題“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”為真命題，根據四類命題的真假關系，可得其逆否命題“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”也為真命題。所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對應集合。SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件答案：C例2：已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個條件入手推出其等價條件，再進行判斷，比如“SKIPIF1<0”等價于SKIPIF1<0，所以只需判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系即可。根據SKIPIF1<0的單調性可得：如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，但是若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0大于零的前提下，才有SKIPIF1<0，而題目中僅說明SKIPIF1<0。所以不能推出。綜上可判斷SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件答案：C小煉有話說：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價條件（充要條件），再進行判斷即可（2）在SKIPIF1<0推SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0是條件，表達式成立要求SKIPIF1<0，但是在SKIPIF1<0推SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是條件，且對SKIPIF1<0取值沒有特殊要求，所以SKIPIF1<0，那么作為結論的SKIPIF1<0就不一定有意義了。在涉及到變量取值時要首先分清誰是條件，誰是結論。作為條件的一方默認式子有意義，所以會對變量取值有一定的影響。例3：已知SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____思路：設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用數軸可而判斷出SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：下面四個條件中，使SKIPIF1<0成立的充分而不必要的條件是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求SKIPIF1<0的充分不必要條件，則這個條件能夠推出SKIPIF1<0，且不能被SKIPIF1<0推出。可以考慮驗證四個選項。A選項SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不一定能夠得到SKIPIF1<0（比如SKIPIF1<0），所以A符合條件。對于B，C兩個選項均不能推出A，所以直接否定。而D選項雖然可以得到SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0也能推出SKIPIF1<0，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（浙江溫州中學高二期中考試）設集合SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個解集：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解集與SKIPIF1<0的取值有關：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，觀察條件，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立；若SKIPIF1<0，則通過數軸觀察區(qū)間可得SKIPIF1<0的取值為多個（比如SKIPIF1<0），所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件答案：A例6：對于函數SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0軸對稱”是“SKIPIF1<0是奇函數”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：如果SKIPIF1<0是奇函數，圖像關于原點對稱，則SKIPIF1<0中SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸下方的部分沿SKIPIF1<0軸對稱翻上來，恰好圖像關于SKIPIF1<0軸對稱，但SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0軸對稱未必能得到SKIPIF1<0是奇函數（例如SKIPIF1<0），所以“SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0軸對稱”是“SKIPIF1<0是奇函數”的必要不充分條件答案：B例7：已知SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特殊值來進行判斷。比如考慮左SKIPIF1<0右，可以舉出反例SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不成立，所以左邊無法得到右邊。而右SKIPIF1<0左能夠成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件思路二：本題也可以運用集合的思想，將SKIPIF1<0視為一個點的坐標SKIPIF1<0，則條件所對應的集合為SKIPIF1<0，作出兩個集合在坐標系中的區(qū)域，觀察兩個區(qū)域可得SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件答案：B例8（菏澤高三期中考試）：設條件SKIPIF1<0：實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0；條件SKIPIF1<0：實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是_________思路：本題如果先將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0寫出，再利用條件關系運算，盡管可行，但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0容易書寫錯誤。所以優(yōu)先考慮使用原條件。“SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件”等價于“SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件”，而SKIPIF1<0為兩個不等式，所以考慮求出解集再利用集合關系求解。解：設SKIPIF1<0，可解得：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例9：數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0成等差數列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成等差數列。所以“SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0成等差數列”的充分條件。另一方面，如果SKIPIF1<0成等差數列，則SKIPIF1<0成等差數列，所以有SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經檢驗，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0利用數學歸納法可證得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0也為等差數列（公差為0），所以SKIPIF1<0符合題意。從而由“數列SKIPIF1<0成等差數列”無法推出“SKIPIF1<0”，所以“SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0成等差數列”的不必要條件答案:A例10：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。故由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0能否推出SKIPIF1<0，可考慮尋找各自等價條件：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，通過數形結合可以得到符合SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的集合是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0集合的子集。所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（，江西贛州高三摸底考試）若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（南昌一模，3）設SKIPIF1<0為向量，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0成立”是“SKIPIF1<0成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（，北京）設SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數列，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為遞增數列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（上海13校聯(lián)考，15）集合SKIPIF1<0，若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分條件，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06、（，福建）“對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（北京朝陽一模，5）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8、（湖北黃岡月考，4）已知條件SKIPIF1<0，條件SKIPIF1<0：直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件9、(陜西五校二模，1）命題SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0.命題SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10、（北京理科）設SKIPIF1<0是兩個不同的平面，SKIPIF1<0是直線且SKIPIF1<0．則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對任意SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件習題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來看，滿足SKIPIF1<0條件的SKIPIF1<0取值范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以可知“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件2、答案：C解析：SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，從而等價于SKIPIF1<03、答案：C解析：由不等式性質可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，反之若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<04、答案：D解析：若SKIPIF1<0的項均為負項，則“SKIPIF1<0”，“SKIPIF1<0為遞增數列”之間無法相互推出，所以兩條件既不充分也不必要5、答案：B解析：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，由數軸可得：SKIPIF1<0即可6、答案：B解析：左側條件中恒成立不等式可