數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課后習(xí)題答案

P59

4.學(xué)校共1002名學(xué)生，237人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432

人住在C宿舍。學(xué)生要組織一個10人的委員會，使用Q值法分配各

宿舍的委員數(shù)。

解:設(shè)P表示人數(shù)，N表示要分配的總席位數(shù)。i表示各個宿舍（分別取A,B,C）,p,表

示i宿舍現(xiàn)有住宿人數(shù)，々表示i宿舍分配到的委員席位.

首先，我們先按比例分配委員席位。

A宿舍為:〃/=237x10=2.365

A1002

_總?cè)胛?33x10、

B彳百1專人j:——3.323

1002

*A二432x10c

C宿1舍為:"c=--------=4.311

現(xiàn)已分完9人，乘心人用Q值法分配。

2372

Q.=^-=9361.5

△2x3

3332

=92407

B3x4

4322

=^^=9331.2

<4x5

經(jīng)比較可得，最后一席位應(yīng)分給A宿舍。

所以，總的席位分配應(yīng)為：A宿舍3個席位，B宿舍3個席位，C宿舍4個席位。

商人們怎樣安全過河

3.2躍俄股全遴I模聊成

冷翱雄麗雌的商人教向&；

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歷Ml瞰搦植-同［加?獷就嫌靦雌的獻(xiàn)教川…，

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蝴酬輛入吃AM麻人收就嫌船上的獻(xiàn)教即唱U2；

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模型求解S={(x,y)|x=0,>=0,1,2,3；

?窮舉法?編程上機(jī)

?圖解法

狀態(tài)s=（x,j，）?16個格點(diǎn)

允許狀態(tài)?10個。點(diǎn)

允許決策?移動1或2格;

A奇，左下移;〃偶，右上移.

?.9

評注和思考

規(guī)格化方法,易于推廣

由上題可求：4個商人，4個隨從安全過河的方案。

解：用最多乘兩人的船，無法安全過河。所以需要改乘最多三人乘坐

的船。

V（嫻

01234x（商人）

如圖所示，圖中實(shí)線表示為從開始的岸邊到河對岸，虛線表示從河對

岸回來。商人只需要按照圖中的步驟走，即可安全渡河。總共需要9

步。

P60

液體在水平等直徑的管內(nèi)流動，設(shè)兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差A(yù)P與下列變量

有關(guān)：管徑d,P,v,l,U,管壁粗糙度△,試求AP的表達(dá)式

解：物理量之間的關(guān)系寫為為2=皿P，匕/,4,△)。

各個物理量的量綱分別為

[Ap]=/ML,[d]=L,[p]=HM,[v]=LT-1,[/]=￡,[p]=I7XMT-1,

△是一個無量綱量。

-1-311-12O-

4x7=010011110

00-10-1-30

其中Av=0解得

%=(-1-1-21000)，

力=(0TT0100)r

%=(O-1-30010)r

r

y4=(000000l)

所以

2

TTy=d^'p~'v~l7l1=兀3=p-'/Ap=A

因?yàn)閒{d,p,v,l,A,△〃）=0與尸（為,町,43,44）=o是等價的，所以Ap的表達(dá)式為:

2=附叭&，兀）

P77

1.在一塊邊長為6勿的正方形空地上建造一個容積為50加3,深5加的長方體無蓋水池，如

果池底和池壁的造價每平方米分別為137元和100元，那么水池的最低總造價為多少元？

設(shè):建立優(yōu)化模型。y表示為水池容積，〃表示為水池深度，G表示水池池底每平方米造價，

表示水池池壁每平方米造價，Z表示總造價，x表示池底長度，y表示池底寬度。

v5

解:建立模型：Z=—G+G?2萬?(x+y)，其中x<6o

h3

代入數(shù)值，可化簡為:Z=1370+1000xx+U幽，(-<x<6)

x3

模型求解:使用matlab編程求解可得：

functionf=fun(x)

f=1370+1000*x+10000/x;

end

x=5/3:0.1:6;

fplotCfun1,[5/3,6])

[x,fval]=fminbnd(,fun,,5/3,6)

A=vpa(fval,6)

其中a的結(jié)果為A=(sym)7694.56

所以水池的最低總造價為7694.56元

2.對邊長為2加的正方形鐵板，在4個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，則該如何

剪使水槽的容積最大？

設(shè):建立優(yōu)化模型。u表示體積，/表示正方體的邊長，x表示剪去的正方體的邊長。

解:建立模型:u=(/-2x)2.尤，其中x>0,x<lo

代入數(shù)值，可化簡為:v=4/一8/+4%。其中(0<%<1)。

模型求解:使用matlab編程求解可得：

functionf=fun(x)

f=-(4*xA3-8*xA2+4*x);

end

x=0:0.01:l;

fplotCfun;[0:l])

[x,fval]=fminbnd(,fun\O:1)

a=vpa(x,6)

b=vpa(fval,6)

其中a與b的值分別為a=0.333320,b=-0.592593

所以水槽的容積最大0.592593立方米。

3.生產(chǎn)某種電子原件，如果生產(chǎn)一件合格品，可獲利200元，如果生產(chǎn)一件次品則損失100

3,X

元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率P與日產(chǎn)量X的函數(shù)關(guān)系是0=

4.X+37

(xeN°)。

(1)、將該產(chǎn)品的日盈利額f(元)表示為日產(chǎn)量x的函數(shù)

(2)、為獲最大利潤，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？

設(shè):建立優(yōu)化模型。x表示日生產(chǎn)量。G表示為生產(chǎn)一件合格品的獲利金額。。2表示為生

產(chǎn)一件次品損失的金額。r表示為日盈利額。

3%2

解:建立模型：，=。/(1一〃)+。2印。代入數(shù)值，可化簡為r=200x—300-j\。

模型求解:使用matlab編程求解可得：

functionf=fun(x)

f=-(200*x-900*xA2/(4*x+37));

end

x=0:100;

fplot('fun\[0,100])

[x,fval]=fminbnd('fun\O,100)

其中的結(jié)果為:x=18.5000,fval=-925.0000;

所以為獲最大利潤，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為19件.

1、某飼養(yǎng)場用n種原料配合成飼料喂雞，為了讓雞生長得快，對m種營養(yǎng)成分有一個最低

標(biāo)準(zhǔn)，即對i=l,2,…，加,要求第i種營養(yǎng)成分在飼料中的含量不少于2,若每單位的第j

種原料中含第i種營養(yǎng)成分的量為與，第j種原料的單價為q,問應(yīng)如何配制飼料才能是

成本最低？

解：設(shè)原料中j的量為七，c"為第j種原料的單價,%為第i種營養(yǎng)成分在飼料中的含量的最

低值,z為配制飼料的最低成本。

目標(biāo)函數(shù)為：

n

Minz=Z尢*%

j=\JJ

n

S.t.ZNbj,i=l,2,3,...m

y=i

X.>0,j=l,2,3,...n

2、擬分配甲，乙，丙，丁4人去做4項(xiàng)工作，每人做且僅做一項(xiàng)。他們做各自工作的御用

天數(shù)見下表，應(yīng)如何分配才能是總用工天數(shù)最少？

、天數(shù)

1234

工人

甲10978

乙5877

丙5465

T2345

解:設(shè)i=1,2,3,4分別對應(yīng)甲乙丙丁，j=1,2,3,4分別對應(yīng)工作1,2,3,4,其中馬=1表示第i名

工人做了第，分工作，牛=0表示第i名工人沒做第，分工作，C,表示第i名工人做了第/

分工作的天數(shù)，z表示為總用工天數(shù)的最小值。

目標(biāo)函數(shù)為：

44

Min2=2匯/*與

j=li=l

4

S.t.工福=1,j=l,2,3,4

/=1

4

Z%=l,j=l,2,3,4

J=I

XyG（0,1）

3、某校經(jīng)預(yù)賽選出A,B,C,D4名學(xué)生。將派他們?nèi)⒓釉摰貐^(qū)各學(xué)校之間的競賽，此

次競賽的4門功課考試將在同一時間進(jìn)行，因而每人只能參加一門比賽，比賽結(jié)果將以團(tuán)隊(duì)

總分計名次（不計個人名次）。設(shè)下表是4名學(xué)生選拔時的成績，應(yīng)如何組隊(duì)較好？

、課程

數(shù)學(xué)物理化學(xué)外語

學(xué)生

A90957883

B85897380

C93918879

D79858487

解:設(shè)i=1,2,3,4分別分別對應(yīng)同學(xué)A,B,C,D,j=1,2,3,4分別對應(yīng)數(shù)學(xué),物理，化學(xué)，外語,

其中馬=1表示選了第，名同學(xué)的第J門課程，囪=0表示不選擇第i名同學(xué)的第0口課程,

金表示第i名同學(xué)做了第/門功課的成績，z表示為成績之和的最大值。

目標(biāo)函數(shù)為:

44

Maxz=ZZ囪*%

j=\/=1

4

S.t.Z/=1,/=1,2,3,4

/=1

4

=l,i=l,2,3,4

7=1

/G（0,1）

8、要從寬度分別為3m和5m的B1型和B2型兩種標(biāo)準(zhǔn)卷紙中，沿著卷紙伸長的方向切

割出寬度分別為1.5m,2.1m和2.7m的Al型、A2型和A3型3種卷紙3000m,10000m

和6000nio如何切割才能使耗費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)卷紙的面積最少？

解:找出切割的各種方案；

方案標(biāo)準(zhǔn)卷紙類型1.52.12.7余料

12000

2B10100.9

30010.3

43000.5

51101.4

6B21010.8

70200.8

80110.2

設(shè)分別表示方案1到方案8,z表示剩下的余料面積。

目標(biāo)函數(shù)為：

Minz=0.9*X2+0.3*尤3+0.5*X4+1.4*X5+0.8*JC6+0.8*X7+0.2*X8

S.t1.5*(2*xt+3*x4+x5+JC6)>3000

2.1*(X2+x5+2*x7+x8)>10000

2.7*(x3+x6+x8)6000

否，々,…/>0

9、某儲蓄所每天的營業(yè)時間是9:00-17:00o根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每天不同時間段所需要的服務(wù)員人

數(shù)見表5.27。

表5.27不同時間段所需要的服務(wù)員數(shù)量

時間段/h9-1010-1111-1212-1313-1414-1515-1616-17

服務(wù)員人數(shù)43465688

儲蓄所可以雇傭全時和半時兩類服務(wù)員，全時服務(wù)員每天報酬100元，從9:00-17:00工作，

但12:00-14:00之間必須安排lh的午餐時間。儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時服務(wù)

員，每個半時服務(wù)員必須連續(xù)工作4h,報酬40元。該儲蓄所應(yīng)如何雇傭全時和半時服務(wù)員？

如果不能雇傭半時服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi)用？如果雇傭半時服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，

每天可以減少多少費(fèi)用？

解:設(shè)雇傭的全日制服務(wù)員為。人，在12:00至IJ13:00吃飯的全日制服務(wù)員為人，在13:00

到14:00吃飯的全日制服務(wù)員為C人。西,々,工3,九4，工5分別表示9點(diǎn)，10點(diǎn)，11,點(diǎn)，12點(diǎn)，

13點(diǎn)上班的半日制服務(wù)員人數(shù)，z表示雇傭的最少費(fèi)用。

目標(biāo)函數(shù)為：

Min2=100*?+40*(%]+x2+x3+x4+x5)

S.ta+x]>4

a+xx+x2>3

tz+x,+x2+x3>4

c+x,+x2+x3+x4>6

b+x2+x3+xA+x5>5

a+七+貓+/>6

。+%4+冗528

。%28

M+冗2+冗3+工4+工5-

a=b+c

P153

4.某工廠生產(chǎn)兩種標(biāo)準(zhǔn)件,A種標(biāo)準(zhǔn)件每個可獲利0.3元,B中標(biāo)準(zhǔn)件每玉個可獲利0.15

元。若該廠僅生產(chǎn)一種標(biāo)準(zhǔn)件，每天可生產(chǎn)A種標(biāo)準(zhǔn)件800個或B種標(biāo)準(zhǔn)件1200個，但A

種標(biāo)準(zhǔn)件還需要某種特殊處理，每天最多處理600個，A,B標(biāo)準(zhǔn)件最多每天包裝1000個。

該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能使每天獲利最大？

解:先設(shè)：％為生成標(biāo)準(zhǔn)件A的件數(shù)，馬為生成標(biāo)準(zhǔn)件B的件數(shù)，當(dāng)為特殊處理的標(biāo)準(zhǔn)件A

的件數(shù)。z為每天的獲利。

建立模型：

Maxz=0.3*x3+0.15*x2

S.t玉<800

x2<1200

<600

巧W%

x2+x3<1000

7.已知某廠3名工人生產(chǎn)5種產(chǎn)品的有關(guān)參數(shù)見下表:

原料

單位消耗ABCDE限額/kg

產(chǎn)品

甲0.100.20.30.1600

乙0.20.20.100.3500

丙00.300.20.1300

單價/元43658

(1)、求最優(yōu)生產(chǎn)方案；

(2)、根據(jù)市場情況，計劃A至少生產(chǎn)500件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。

(3)、因E滯銷，計劃停產(chǎn)，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。

(4)、根據(jù)市場情況，限定C不超過1640件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。

(5)、若限定原料價需要剩余至少50kg,求相應(yīng)的生產(chǎn)方案。

(6)、若限定生產(chǎn)A至少1000件，生產(chǎn)B至少200件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。

解:設(shè):凡為生產(chǎn)的產(chǎn)品A的件數(shù)，々為生產(chǎn)的產(chǎn)品B的件數(shù)，泡為生產(chǎn)的產(chǎn)品C的件數(shù),

%為生產(chǎn)的產(chǎn)品D的件數(shù)，毛為生產(chǎn)的產(chǎn)品E的件數(shù)。z為工廠的獲利。

(1建立模型：Max2=4*斗+3*X2+6*%3+5*x4+8*冗5

S.t0.1*玉+0+0.2*X3+0.3*/+0?1*當(dāng)4600

0.2*^+0.2*%2+0.1*%3+0+0.3*%5<500

0+0.3*X2+0+0.2*X4+0.1*X5<300

(2)、建立模型：Maxz=4*M+3*%+6*占+5*z+8*與

S.t(LI*2+0+0.2+°3*%+0.1*/<600

0.2*玉+0.2*%+。?1*芻+°+03*/4500

0+0.3*/+0+0.2*%+0?1*毛<300

x}>500

(3)^建立模型：Maxz=4*玉+3*/+6*&+5*Z

S.t0.1*芯+0+0?2*&+0,3*/6600

0.2*$+0.2*々+0?1*&+0《500

0+0.3*々+0+。?2*尤4工300

(4)、建立模型:MaxZ=4*X1+3*X2+6*X3+5*X4+8*X5

S.t0.1*+0+0.2*X3+0.3*X4+0.1*x5<600

0.2*M+0.2*x2+0.1*x3+0+0.3*x5<500

0+0.3*/+0+0.2*%+0.1*毛<300

x3<1640

(5)^建立模型:Maxz=4*2+3*W+6*當(dāng)+5*匕+8*/

S.t0.1*玉+0+0.2*X3+0.3*%+0.1*/W550

0.2*%+0.2*々+0.1*當(dāng)+0+0.3*/W500

0+0.3*X2+0+0.2*X4+0.1*X5<300

（6）、建立模型：Maxz=4*X1+3**2+6*W+5*84+8*與

S.t0.1*X1+0+0.2*X3+0.3*X4+0.1*X5<600

0.2*—+0.2*/+0-*%3+0+0.3*.《500

0+0.3*X2+0+0.2*X4+0.1*X5<300

X1>1000

x2>200

11.某公司將甲、乙、丙、丁4種不同含硫量的液體原料混合生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品。按照

生產(chǎn)工藝的要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別與原料

丙混合生產(chǎn)A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別是3%,1%,2%,1%,進(jìn)貨價

格分別為6,16,10,15（千元/t）；產(chǎn)品A、B的含硫量本別不能超過2.5%,1.5%,售價分別

為9,15（千元/t）。根據(jù)市場信息，原料甲、乙、丙的供應(yīng)沒有限制，原料丁的供應(yīng)量最多

為50T,產(chǎn)品A、B的市場需求分別為100t,200t?應(yīng)如何安排生產(chǎn)?

解:設(shè):i為原料甲乙丙丁，表示為i=1,2,3,4。，為產(chǎn)品A,B,表示為/=1,2。z表示為公司

盈利。

建立模型：

442222

Max2=9*2七|+15*￡玉2-6*3/一16*￡%-10*￡均一15*3%

/=1i=lj=lj=lj=l

4

S.t0.03*孫+0.01*孫+0.02*尤31+0.01*殉W0.025*工4

i=l

4

0.032+0.01*X22+0.02*與2+0?01*%42-0.015*，蒼2

/=!

X4|+尢42~50

4

Z=1

4

2%？200

/=1

P205

1、1972年發(fā)掘長沙市東郊馬王堆一號漢墓時，對其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分

析了它含C"的量約為大氣中的0.7757倍，據(jù)此，你能推斷出此女尸下葬的年代嗎？已知

的半衰期為5730年。

解:設(shè)為死后年數(shù)，y為CM的量。

建立微分方程模型：

dy_=_y

dt~5730

解得：

_t

y—ce5730

在帶入初值得：

t

y=%*e5730

當(dāng)y=0.7757*%,求得t=1455.359。所以該女尸的下葬年代因?yàn)椋汗?17年左右。

2、表7.5是美國1790~1