數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案

數(shù)理統(tǒng)計習題答案

第一章

1.在五塊條件基本相同的田地上種植某種農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為92,94,103,105,106（單

位：斤），求子樣平均數(shù)和子樣方差。

解：

-I"92+94+103+105+106

---------------------=10()

X母=5

15

S2

°i=l

=34

2.從母體中抽取容量為60的子樣，它的頻數(shù)分布

*

X,13626

840102

求子樣平均數(shù)與子樣方差，并求子樣標準差。

解：

子樣平均數(shù)x=-XmA

?,=i

=^(1x8+3x40+6x10+26x2)

=4

子樣方差

〃/=1

+40x(3-4)2+10x(6-盯+2x(26-4)2

=18.67

子樣標準差S=JF=4.32

3.子樣平均數(shù)與子樣方差的簡化計算如下：設子樣值者,彳2,％的平均數(shù)為1和方差為

作變換必=土二巴，得到%，內(nèi)，…為，它的平均數(shù)為亍和方差為試證：I=a+K，

22

F

解:

x-a

因為1

z=--c

所以士=〃+cy

1〃

Fi)

n\

〃a+Zcy

n/=17

z.“

=〃+cy

所以x=a-Fcy成立

n/=1

」￡(a+cX-"cy)

〃i=i

i〃/_2

=-Zh-o-)

〃i=\

2

2

2c2

因為所以S、，成立

〃1=1

=X。)=°

Me=X”+i

R=X(“)-X⑴=3.21-(-4)=721

M,=X=乂⑻=L2

j+i

4.對某種混凝土的抗壓強度進行研究，得到它的子樣的下列觀測數(shù)據(jù)（單位：鎊/英寸2）：

1939,1697,3030,2424,2020,2909,1815,2020,2310

采用下面簡化計算法計算子樣平均數(shù)和方差。先作變換y=菁-2000,再計算Q與《，然

后利用3題中的公式獲得工和（的數(shù)值。

解：

變換y.=X.-2OOO

i123456789

xi193916973030242420202909181520202310

-61-303103042420909-18520310

=-(-61-303+1030+424+20+909-185+20+310)

=240.444

=-[(-61-240.444)2+(-303-240.444)2+(1030-240.444)2+

9

(424-240.444)2+(20-240.444)2+(909-240.444)2+

(-185-240.444)2+(20-240.444)2+(310-240.444)2

=197032.247

利用3題的結(jié)果可知

7=2000+7=2240.444

5；=5”197032.247

5.在冰的溶解熱研究中，測量從-0.72°c?的冰變成0°c的水所需熱量，取13塊冰分別作試驗

得到熱量數(shù)據(jù)如下：

79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,

79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02

試用作變換》=100(%,.-80)簡化計算法計算子樣平均數(shù)和子樣方差。

解：

變換100(%,.-80)

i12345678910111213

x

i79.9880.0480.0280.0480.0380.0380.0479.9780.0580.0380.0280.0080.02

X

-2424334-353202

_1nI13

y=-Yyi=^Xyi

n/=1i=\

=4[—2+4+2+4+3+3+4—3+5+3+2+0+2]

=2.00

1n2

〃z=l

=13^-2-ZOO）?+3x（2_2.00）2+（5-2.00）2+3x（4-2.00）2

+3x（3-2.00）2+（—3-2.00）1

=5.3077

利用3題的結(jié)果可知

1=上+80=80.02

100

$2

s：=—^=5.3077x10"

“10000

6.容量為10的子樣頻數(shù)分布為

?

E23.526.128.230.4

2341

試用作變換y=10（Xj—27）作簡化計算，求（與s：的數(shù)值。

解：

變換K=10（玉一27）

*

X]23.526.128.230.4

X-35-91234

mi2341

=p(-35x2-9x3+12x4+34)

=—1.5

x=—+27=26.85

10

5；=5￡叫(%一司一

〃/=1

=-^[2x(-35+1.5)2+3x(-9+1.5)2+4x(12+1.5)2+(34+1.5)2]

=440.25

s：=4.4025

*100>

7.下面是100個學生身高的測量情況(以厘米計算)

身高154158158162162166166170170174174178178182

學生數(shù)101426281282

試計算子樣平均數(shù)和子樣方差（各組以組中值作為子樣中的數(shù)值）。

解：

身高154158158162162166166170170174174178178182

組中值156160164168172176180

學生數(shù)101426281282

-1白*

元=_乙叫斗

〃/=1

=^(156x10+160x14+164x26+172x12+168x28+176x8+180x2)

=166

/=，?叫(玉*一,2

n1=1

=擊"。56-166)2+14x(160-166)2+26x(164—166『+28x(168-166)2

+12x(172-166)2+8x(176-166)2+2x(180-166)1

=33.44

8.若從某母體中抽取容量為13的子樣：-2.1,3.2,0,-0.1,1.2,-4,2.22,2.01,1.2,-0.1,

3.21,-2.1,0。試寫出這個子樣的順序統(tǒng)計量、子樣中位數(shù)和極差。如果再抽取一個樣品為

2.7構(gòu)成一個容量為14的子樣，求子樣中位數(shù)。

解：

將子樣值重新排列(由小到大)

-4,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,3.2,3.21

R=X（“）-X（|）=3.21-（-4）=721

用"'加='（8）=1?2

9.從同一母體抽得的兩個子樣，其容量為％和〃2,已經(jīng)分別算出這兩個子樣的平均數(shù)元'和

無，子樣方差S；和現(xiàn)將兩個子樣合并在?起，問容量為勺+〃2的聯(lián)合子樣的平均數(shù)

與方差分別是什么？

解：

["1]"2

%—WX+%—WX

%普%M

X—

n}+%

_々X]+n2x2

十〃2

=上工(若X)

〃1+〃2，=1

—7A?人

%+n2￡

2天+2吃(——\2

_/=17=1+%々

n{+n21々+%,

J")+〃2”2)/——、2

HjXj+n2x2

</+%J

嗎+n2

—2---2/——、2

n.&+n^szn,x.+n.X.+72.尤-

二十—^--------———一^-------

〃|+〃2I〃|+〃2)

〃1+n2

：+%(%+電k+%(〃l+〃2)M—(〃*+%可

_+〃2s

(?1+?2)-

nx+叼

_—2——2------

_+〃2snnXXX

2+%%X\+\22-2〃1%\2

勺+%(〃|+〃2『

_%s：+%s

(〃|+〃2)2

ni+%

10.某射手進行20次獨立、重復的射手，擊中靶子的環(huán)數(shù)如下表所示:

環(huán)數(shù)10987654

頻數(shù)2309402

試寫出子樣的頻數(shù)分布，再寫出經(jīng)驗分布函數(shù)并作出其圖形。

解:

環(huán)數(shù)10987654

頻數(shù)2309402

頻率0.10.1500.450.200.1

0x<4

0.14<x<6

0.36<x<7

尸20卜）=,

0.757<x<9

0.99<x<10

1x>10

11.利用7題中數(shù)據(jù)作出學生身高的子樣直方圖。

解:

區(qū)間劃分頻數(shù)頻率密度估計值

154158100.10.025

158162140.140.035

162166260.260.065

166170280.280.07

170174120.120.03

17417880.080.02

17818220.020.005

12.設X2,…X,是參數(shù)為X的泊松分布的母體的一個子樣，X是子樣平均數(shù)，試求EX

和。XO

解：

Exi-2DXj—Aj=1,2,…,〃

—15^1nAq

EX=E—>:X-=—>:Ex-=—=4

n,=1n,=|n

。又=”￡“二1>“絲=4

n7Z1/=in~n

13.設X『X2,…X“，是區(qū)間（-1,1）上均勻分布的母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的均值

和方差。

解：

%,.U（a,b）E%=":"-￡）蒼=（［；），1=1,2,?一,”

在此題中

x,U（-1,1）Exi-0Ox：=；i-1,2,■■■,/!

=0

i

3n

14.設X「X2,…X“，是分布為NJ,4）的正態(tài)母體的一個子樣，試求

y=」7s（X,—〃）2的概率分布。

bi=\

解：

因為XjN（〃,b）E-^^=OD^^=l

v7aa

所以土二幺N（O,1）i=l,2,…,〃

CT

由力?分布定義可知

丫=4之區(qū)一〃）2=自上4服從/分布

。i=\i=\\J

所以Yr（z2）

15.設母體X具有正態(tài)分布N（0,1）,從此母體中取一容量為6的子樣（X1,X2,…,乂6）。又

設y=（X1+X2+X3『+（X4+X5+X6）2O試決定常數(shù)C,使得隨機變量CY服從力2分

布。

解：

因為X,7V(O,1)i=l,2,…,nX1+X2+X3N(o,3)

￡X,+X2+X3^O^xt+X2+X.1

V3也

所以乂+2+*3N(O,1)

X,+X,+X3r(->1z,)\

同理(儲+腔6)2%2⑴

由于72分布的可加性，故

1fx1+x2+x3Vfx4+x5+x6V

尸+〔一^/⑵

可知C=J

3

16.設(X1,Xz，…,X")，是分布為N(0,的正態(tài)母體中的一個子樣，試求下列統(tǒng)計量的

分布密度:

⑴x=fx：；32;

(2)

f=l

(3)%=(1>,]；

(4)

解：

(1)因為Xi7V(0,o-2)i=l,2,…,〃

七N(O,1)

cr

所以獸囹2吟/(〃)

%(加P{X[}=P[*<.}

=J6X“X

0

yi

左3=耳3=%VX/

r>,

2Tx>0

因為%（x）=

0x>0

Jy

2

ye2。2y>0

所以我(y)」2%好

0y<0

(2)因為X,7V（O,cr2）i=l,2,…,〃

七N（O,1）

所以

ny

心(y)=P化=P｛答《畀=工(加

R（y）=4（y）=。

y>0

故九3?

oy<0

(3)因為XjN（0,/）i=l,2,…,“

N（0,l）

|2=a/(I)

所以fyi

l占4n(j?na

上

ncr~

”)=P{X"}=P=J2)(尤協(xié)

na"0

y1

=及九）

&33=n(y~

14x>0

九）（x）=y127rx

0x<0

1—L-

e2na2y>0

故九(y)="（j《2兀ny

0y<0

（4）因為XjN(0,")i=1,2,…,”

MO』)

/=]yjnc

所以

故

17.已知X/(?),求證力2F(l,n)?

解:

因為X，(〃)

存在相互獨立的U,V

UN(0,l)

u

使X

A

U2z2（l）

u2

則x?=+

n

由定義可知z2F（l,rt）

18.設X”X2,…,X”,X“+|,…X,+”,是分布為N（0,cr2）的正態(tài)母體容量為〃+m的子樣，試

求下列統(tǒng)計量的概率分布：