2020高考文科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義：第8講 二次函數(shù) 含答案

222222222222第8講

二次函數(shù)．熟練掌握二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)．．會(huì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．知識(shí)梳理．二次函數(shù)的三種達(dá)式一般式：(x)＝ax＋bx＋(a.頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)fx)的頂點(diǎn)坐標(biāo))，則其解析式為f(x)＝ax)＋h.零點(diǎn)式若次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為x0)(x0)則解析式為f()＝(－x1,－x).2．二次函數(shù)的圖象性質(zhì)解析式圖象定義域

f)＝＋＋ca>0)R

f()＝＋bx＋c(<0)R值域

4ac－[a

2，＋∞

ac－b－∞，]a增減性

在x∈－∞，－]2上單調(diào)遞減；在x∈[－，∞2上單調(diào)遞增

在x∈[，＋)a上單調(diào)遞減；在x∈(∞，－]a上單調(diào)遞增奇偶性對(duì)稱性，，c的作用

b時(shí)為偶數(shù)，≠為非非偶函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－成軸對(duì)稱圖形a定圖象的開口方向，與決定對(duì)稱軸的位置，決定圖象與y軸點(diǎn)的位置abc定圖象的頂點(diǎn)二次函在閉區(qū)間的最值可利用二次函數(shù)的圖象，結(jié)合二次函數(shù)在所給區(qū)間上的單性進(jìn)分析求解．．若函數(shù)f(x)足fx)f(2a－)，則f)的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱；若f(x)足f＋x＝(－x，則fx)的圖象關(guān)于x＝對(duì)．．若f()＝

＋＋(a，則222222222222222222222222當(dāng)時(shí)恒有fx；當(dāng)時(shí)恒有fx．對(duì)二次函數(shù)f()＝ax)

＋h(＞在區(qū)間[，]上的最值問(wèn)題，有以下結(jié)論：①若k∈[，n]，則y＝(k＝，＝f(m，f)}minmax②若k[，]當(dāng)k＜時(shí)，＝f(x)在[mn]單調(diào)遞增y＝(，＝fn；min當(dāng)k＞n時(shí)，y＝(x)[]上單調(diào)遞減，＝(n)＝f()．minmax熱身練習(xí)．若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)(2，－，且過(guò)(，則此函數(shù)的解析式(B)A．＝2(x＋2)－B．y＝－2)－1C．y－2(x＋－D＝－2(x－－設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝(x－2)－，把點(diǎn)代入得＝故所求函數(shù)的解析式為y＝2(－

－．已知函數(shù)f(x)＝＋bx＋c，如果a>且＋b＝0，則它的圖象可能是(因?yàn)閍b且a＋c＝0，所以a>0，則拋物線y＝＋＋c的圖象開口向上，與軸交于負(fù)半軸，由此可知選D.．如果函數(shù)f(x)＝x

＋bx＋c任意實(shí)數(shù)t都f(2＋t＝(2t)，那么A)A．(2)＜(1)＜f(4)．＜f＜f(4)C．f(2)＜(4)＜D．＜f(2)＜f因?yàn)閒x)x＋＋，所以a＝1，拋物線的圖象開口向上，又f＋)＝(2t)，x＝2其對(duì)稱軸，即當(dāng)x＝2時(shí)fx)取得最小值．而當(dāng)x≥2時(shí)fx)是增函數(shù)，有f＜f(3)＜(4)，又f－1)f(2，即f＝f(3)，所以f(2)＜(1)＜(4)．．若f()＝－1)＋＋3為函數(shù)，則f(x)區(qū)間(－5－上是A)A增函數(shù)．減函數(shù)．部分為增函數(shù)，部分為減函數(shù)．無(wú)法確定增減性222222222222222222由fx)f－)，可得＝，以fx)＝－x＋3，此知f(x在(－，－2)是增函數(shù)．．函數(shù)f(x)－－x，x∈[－3,1]1(1)()的單調(diào)遞增區(qū)間為[－，]，單調(diào)遞減區(qū)間為[－，；4(2)()的最大值為

，最小值為－14因?yàn)閒x)－2x

9－x＋＝－2(＋＋，1(1)當(dāng)x∈[時(shí)函數(shù)f(x)在－，－]為增函數(shù)，在[，上減函數(shù)．4(2)當(dāng)x＝－時(shí)取最大值f－)＝；又因?yàn)閤＝－3與稱軸＝－的距離大于＝與稱軸的距離，所以x＝－3取得最小值，且最小值為f－＝－14.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)若函數(shù)fx)＝2x

＋－在區(qū)間[1，＋∞)上遞增，則f(1)的取值范圍為_．作出fx)的圖象，m根據(jù)圖象可知，其對(duì)稱軸x＝－處在區(qū)[－1＋∞)的左邊(包括端點(diǎn)時(shí)f(x在[－1，＋∞上遞增，m所以－≤－1，解得≥4.所以f(－1)＝－m＋≤即f(－的取值范圍為－，－．(－∞－3]．已知函數(shù)f(x)＝x＋2＋2∈[－．若f()在[－5,5]上單遞增，則a的值范圍為，∞；若f()在[－5,5]上單遞減，則a的值范圍為(∞－；若f()在[－5,5]上單，則的取值范圍為(－，∪[5，＋)；若f()在[－5,5]上不調(diào)，則a的值范圍為(，5)因?yàn)閒x)＝x＋ax＋＝(x＋a)＋2的圖象的對(duì)稱軸為＝－(1)若f)在[－5,5]上調(diào)遞增，則≤5所以≥5所以a的值范圍為[，＋∞．(2)若f)在[－5,5]上調(diào)遞減，則≥，222222222222222222222222222222222222222222222222222222所以≤－5，所以a的值范圍－∞，－5](3)若f)在[－5,5]上調(diào)，則－≥5或≤，所以≤－5或a所以a的值范圍(∞－∪[5＋)．(4)若f)在[－5,5]上單調(diào)，則5<，所以－5<，所以a的值范圍為－．軸定區(qū)間定的二次函數(shù)的最值若實(shí)數(shù)x，y滿＋4y＝x，則S＝x＋的值范圍．x由x＋y＝x，得＝－，x3所以＝x＋＝＋(－＝＋4x因?yàn)閥＝x－≥0得∈，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)＝＋x區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值．因?yàn)閷?duì)稱軸x＝－<0，以函數(shù)在此區(qū)間上為增函數(shù)，所以S＝＝，＝＝16.min故所求S的值范圍為[0,16]．xfx)axk)(a[n．(2017·京卷已知x≥，y≥0且＋＝，則x＋的取值范圍是[，1](方法一由x＋y＝，y＝1x又x≥0≥，所以≤x≤1x＋

1＝x＋(1－x)＝2x－2x＋＝x－)＋.由0≤1，得0≤－)≤，1即≤x＋≤所以＋y∈[，1]．(方法二＋y＝(x＋y)－xy，已知x≥，y≥，＋＝，所以x＋＝－xy因?yàn)椋絰＋y≥，以≤xy≤，1所以≤－2xy≤，即＋∈[，．2(方法三)依題意＋

可視為原點(diǎn)到線段x＋y－1x≥y≥0)上的點(diǎn)的距離的平，如圖所22222222222222222222222222222222222示，故(x＋)＝(min

－

)＝(x＋y)＝OA＝OB＝1.故x＋∈[，．軸動(dòng)或區(qū)間動(dòng)的二次函數(shù)的最值(經(jīng)典真題設(shè)函數(shù)f()＝x＋＋b(ab∈)當(dāng)＝＋求數(shù)f()在－1,1]的最小值g)的表達(dá)式．a(chǎn)當(dāng)b＝＋，f(x＝(x＋)＋，故函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝－.當(dāng)a－時(shí)，f)在[－1,1]遞減，所以ga＝f＝＋＋當(dāng)－a≤，－[，所以ga＝f－)＝1.當(dāng)時(shí)f)在－上遞增，所以ga＝f－＝－a＋＋a＋，a－，綜上，g(a)＝－a2－a，a>2.．函數(shù)f(x)x－2＋2在間[，＋1]的最小值為(t)，求(t的表達(dá)式及其最值．f)＝(－＋1.當(dāng)t<0時(shí)x＝t＋1f(x)在[t，＋上單調(diào)遞減，所以(t＝ft＋＝t＋，如圖1)；當(dāng)0≤≤1時(shí)，x＝∈[t，＋，所以x＝1時(shí)g()＝f＝，如圖2)；222222222222當(dāng)t>1時(shí)x＝t，(x)[tt1]單調(diào)遞增，所以t)＝t＝(t－＋1，t<0，所以gt＝≤≤1

＋1如(3)，

1，t>1.(＝1，gt無(wú)最大值．min．對(duì)于函數(shù)y＝＋bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必滿足≠0，當(dāng)題目條件未說(shuō)明≠0時(shí)，就要分＝0和a進(jìn)行討論．．二次函數(shù)的重要性質(zhì)是單調(diào)性和對(duì)稱性，因此，研究二次函數(shù)的性質(zhì)，要特別注意對(duì)稱軸的位置．二次函數(shù)y＝＋＋c在m]上的最值的研究是本節(jié)內(nèi)容的重時(shí)也是高考的熱點(diǎn)，對(duì)如下結(jié)論必須熟練掌握：－(1)當(dāng)x＝－∈n]時(shí)，是的一個(gè)最值，另個(gè)最值