計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-汪家義課件 第3章 第1節(jié) 多元回歸模型的定義

經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)汪家義第三章多元線性回歸模型

在本章將把一元線性回歸模型（雙變量模型）推廣到多元線性回歸模型，即在模型中將包含二個(gè)以上的解釋變量。多元線性回歸模型是實(shí)踐中廣泛應(yīng)用的模型。第一節(jié)多元回歸模型的定義一、多元回歸模型的意義在一元線性回歸模型中，我們假定影響被解釋變量的因素只有一個(gè)，即解釋變量X，但是由于現(xiàn)實(shí)社會(huì)中經(jīng)濟(jì)問題的復(fù)雜性，一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量可能會(huì)同多個(gè)經(jīng)濟(jì)變量有聯(lián)系。例如，在收入—消費(fèi)模型中，除了收入影響消費(fèi)外，還有其它因素明顯地影響消費(fèi)，很明顯財(cái)富就是影響消費(fèi)的重要變量。在勞動(dòng)力市場上，影響工資的變量不僅僅是工作年限，受教育程度也是影響工資的一個(gè)重要變量。因此，在回歸分析模型中，就需要引進(jìn)更多的解釋變量。多元回歸分析與一元回歸分析相比有如下優(yōu)點(diǎn)1．多元回歸分析可以研究更多影響因素對(duì)被解釋變量的影響。2．在模型中增加一些有助于解釋Y的因素，Ｙ

的變動(dòng)就能更好地予以解釋。因此，多元回歸分析有助于更好地預(yù)測。3．多元回歸模型更具有一般性。一元回歸模型中，只能有一個(gè)解釋變量，其函數(shù)形式不一定恰當(dāng)。而多元回歸模型具有較大的靈活性，有利于對(duì)總體回歸模型做出正確的判斷。二、多元回歸模型的設(shè)定含被解釋變量Y

和k-1個(gè)解釋變量X2，X3，…，Xk

的多元總體回歸模型可表示如下：

其中，為截距，為偏斜率系數(shù)（偏回歸系數(shù)），ui

為隨機(jī)誤差項(xiàng)，i為第i次觀測。（1）總體回歸模型：或（2）總體回歸函數(shù)PRF（理論回歸線）：模型的增量形式為：當(dāng)有所以模型中X2前的系數(shù)的意義為：在所有其它變量X3i，X4i，…，Xki

保持不變的條件下，X2改變一個(gè)單位而導(dǎo)致Yi

的均值的變化量。其它斜率系數(shù)的意義與此類似。這也是多元回歸的重要作用，盡管不能在其他條件不變的情況下搜集數(shù)據(jù)，但它提供的系數(shù)仍可做其他條件不變的解釋。（3）樣本回歸函數(shù)SRF

（樣本回歸線）：利用樣本觀測值對(duì)總體回歸模型進(jìn)行估計(jì)可得多元回歸模型的樣本回歸函數(shù)：若對(duì)總體進(jìn)行n次觀測，得到觀測值：（4）樣本回歸模型的隨機(jī)設(shè)定方式：其中各變量的解釋和假設(shè)與一元線性回歸模型相同?；蚨嘣€性回歸分析要解決的主要問題，仍然是如何根據(jù)變量的樣本觀測值去估計(jì)模型中的各參數(shù)，即用樣本回歸函數(shù)去估計(jì)總體回歸函數(shù)，并且對(duì)估計(jì)的參數(shù)和回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，最后利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測和經(jīng)濟(jì)分析。三、經(jīng)典假設(shè)經(jīng)典假設(shè)條件如下：為了使得估計(jì)的參數(shù)有好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，同樣要對(duì)多元總體回歸模型做出假定。對(duì)于如下的多元總體回歸模型：假設(shè)1：ui

均值為零。即假設(shè)2：ui

同方差。即或者假設(shè)4：ui

與每一個(gè)解釋變量不相關(guān)。即假設(shè)5：模型無設(shè)定偏誤。假設(shè)6：解釋變量之間無完全的共線性。假設(shè)3：ui

無序列相關(guān)性。即假設(shè)1、2、3稱為高斯—馬爾科夫條件。（G-M條件）若存在一組不全為零的數(shù)使得完全共線性的定義：則稱變量X2，X3，…，Xk

是完全共線的?；蚍Q變量X2，X3，…，Xk

之間存在完全共線性。不存在一組不全為零的數(shù)使得無完全共線性的含義是：則稱變量X2，X3，…，Xk

不完全共線的?；蚍Q變量X2，X3，…，Xk

之間不存在完全共線性。四、多元回歸模型的矩陣形式由于矩陣可以簡化方程的表達(dá)形式，并且矩陣運(yùn)算也很簡潔方便，下面介紹多元回歸模型的矩陣形式。設(shè)對(duì)總體回歸模型進(jìn)行n次觀測，得到觀測值：觀測次數(shù)將總體回歸模型寫成方程組形式為：寫成矩陣形式為：記稱矩陣X

為設(shè)計(jì)矩陣或樣本觀測矩陣

于是，可得到：（1）多元總體回歸模型的矩陣形式為：（2）多元總體回歸函數(shù)的矩陣形式為：（3）多元樣本回歸函數(shù)的矩陣形式為：其中

（4）樣本回歸模型隨機(jī)設(shè)定方式的矩陣形式為：或其中，五、經(jīng)典線性回歸模型假定條件的矩陣表示假定1：ui

均值為零。即假定2：ui

同方差。即假定3：ui

無序列相關(guān)性。即假定2和假定3可以統(tǒng)一用隨機(jī)誤差項(xiàng)U

的協(xié)方差矩陣表達(dá)出來。其中，In表示n階單位矩陣。稱為U的協(xié)方差矩陣假定4：ui

與每一個(gè)解釋變量不相關(guān)。即假定5：模型無設(shè)定偏誤。若存在一組不全為零的數(shù)使得完全共線性的定義：則稱變量X2，X3，…，Xk

是完全共線的?；蚍Q變量X2，X3，…，Xk

之間存在完全共線性。假定6：解釋變量之間無完全的共線性（無多重共線性）。完全共線性的定義用向量形式可表述為：若存在一組不全為零的數(shù)使得則稱變量X2，X3

…，Xk

之間存在完全共線性。

【注1】若變量X2

，X3

…，Xk

之間存在完全共線性，則變量X2

，X3

…，Xk

中至少有一個(gè)變量能表示為其它變量的線性函數(shù)。關(guān)于完全共線性的幾點(diǎn)說明：

【注2】若變量X2

，X3

…，Xk

中有部分變量之間存在完全共線性，則X2

，X3

…，Xk

是完全共線的。

【注3】變量X2

，X3

…，Xk之間存在完全共線性，等價(jià)于樣本觀測矩陣：的列向量組中至少有一個(gè)向量能夠被其余向量線性表示，即樣本觀測矩陣的列向量組是線性相關(guān)的。

【注4】若矩陣X的行數(shù)小于列數(shù)，即則意味著。這說明矩陣X的列向量組是線性相關(guān)，即變量X2

，X3

…，Xk

之間存在完全共線性。所以，當(dāng)樣本的容量

n

少于需要估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)

k時(shí)，就會(huì)存在完全共線性問題?；蛘哒f，要使解釋變量之間不存在完全共線性問題，必須。因此，為避免解釋變量之間產(chǎn)生完全共線性問題，可以考慮增大樣本容量。也就是說，大樣本容量是避免完全共線性問題的一個(gè)途徑。

【注5】變量X2

，X3

…，Xk之間不存在完全共線性，等價(jià)于樣本觀測矩陣：的列向量組是線性無關(guān)的。即樣本觀測矩陣X是列滿秩的。

【注6】當(dāng)解釋變量變量X2