第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論

第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論第一頁，共六十六頁，2022年，8月28日§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述

一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過受力構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力分布情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。研究應(yīng)力狀態(tài)的方法稱為應(yīng)力分析。二、應(yīng)力狀態(tài)單元體單元體：研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，圍繞該點(diǎn)截取的微小正六面體。單元體上應(yīng)力分布特點(diǎn)：平行截面上正應(yīng)力數(shù)值相等符號(hào)相同，正交截面上剪應(yīng)力數(shù)值相等符號(hào)相反。原始單元體：三組平行截面上應(yīng)力均為已知。第二頁，共六十六頁，2022年，8月28日主平面：剪應(yīng)力為零的平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。主方向：主應(yīng)力所在的方向。主單元體：三組正交平面都是主平面的單元體。

習(xí)慣上將主單元體上的主應(yīng)力按代數(shù)值從大到小排序并約定：σ1≥σ2≥σ3。三、應(yīng)力狀態(tài)分類

單向應(yīng)力狀態(tài)：主單元體三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不為零的應(yīng)力狀態(tài)，又稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)：主單元體上三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。將單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。第三頁，共六十六頁，2022年，8月28日三向應(yīng)力狀態(tài)：主單元體上三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)，又稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。圖中三組剪應(yīng)力可以不必存在或不必同時(shí)存在。將二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。第四頁，共六十六頁，2022年，8月28日§7-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例pFσ'Dδσ''mmnnpdφφDδδpNNlAσ'σ'σ''σ''【例7-1】求圖示鍋爐壁內(nèi)A點(diǎn)的應(yīng)力。1）求爐壁橫截面上應(yīng)力σ'2）求爐壁縱向截面應(yīng)力σ''lmmnn【解】因爐壁很薄，由彈性力學(xué)知沿徑向應(yīng)力σ'''≈0,故爐壁處于二向應(yīng)力狀態(tài)。第五頁，共六十六頁，2022年，8月28日【例7-2】圖示薄壁球形容器壁厚為δ，內(nèi)徑為D，內(nèi)壓為p。求容器壁內(nèi)的主應(yīng)力。pσFAAσσσσDδOdααD/2【解】由于對(duì)稱性，通過直徑的任意截面上只有正應(yīng)力且它們大小相等，故所求正應(yīng)力為主應(yīng)力。主應(yīng)力：σ1＝σ2＝σ，σ3＝0。第六頁，共六十六頁，2022年，8月28日§7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析—解析法

一、斜截面上的應(yīng)力1.原始單元體上應(yīng)力標(biāo)注

建立空間直角坐標(biāo)系，使其三軸分別與原始單元體三組正交平面的法線平行，分別稱這三組正交平面為x截面、y截面、z截面。σxσxσyσyτxyτxyτyx

τyx各截面上的應(yīng)力分別記為σx、τxy、σy、τyx。z截面為主平面且σz＝0。Oxyz第七頁，共六十六頁，2022年，8月28日αn2.應(yīng)力公式推導(dǎo)

設(shè)原始單元體的任一斜截面AC的外法線n與x軸正向夾角為α，稱截面AC為α截面。單元體ABC處于平面共點(diǎn)力系平衡狀態(tài)。故：ααατyxσyαατxyσxABCτασα第八頁，共六十六頁，2022年，8月28日由剪應(yīng)力互等定理知：τyx=τxy求解得平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上應(yīng)力公式：

σx、τxy、σy均必須代入相應(yīng)的符號(hào)。從x軸正向到斜截面的外法線n，α逆時(shí)針轉(zhuǎn)取正值，順時(shí)針轉(zhuǎn)取負(fù)值。拉向正應(yīng)力取正值，壓向取負(fù)值；使單元體繞其上任一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力取正值，反之取負(fù)值。第九頁，共六十六頁，2022年，8月28日3.例題

【例7-3】求圖示單元體斜截面上的應(yīng)力。x30on30MPa40MPa60MPa【解】σx

=30MPa,τxy=-60MPa,σy=-40MPa,α=30o

代入平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上應(yīng)力公式得：第十頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、應(yīng)力極值及其作用面

正應(yīng)力極值及其作用面

將任意斜截面上的正應(yīng)力公式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零得到正應(yīng)力的極值。正應(yīng)力極值平面是剪應(yīng)力恒為零的平面，是主平面，正應(yīng)力極值是主應(yīng)力。該式確定了兩個(gè)相差90o的角，α0和(α0＋90o)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)互相垂直的主平面，確定了兩個(gè)正交主平面的法線方向，也確定了兩個(gè)正交的主方向。求解得：第十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日由圖示三角函數(shù)圖知：代入任意斜截面上的正應(yīng)力公式得正應(yīng)力極值：主應(yīng)力σmax的方位與原始單元體上兩箭頭相對(duì)的剪應(yīng)力τxy、τyx的合矢在同一象限內(nèi)。圖示單元體主應(yīng)力分別為：σ1=σmax，σ2=σmin，σ3=σz=0。2α0-2τxyσx-σyσyσxσxσyτxyτxyτyxτyxσminσminσmaxσmax另一個(gè)主應(yīng)力σmin的方位則與σmax的方位垂直。第十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日剪應(yīng)力極值及其作用面

將任意斜截面上的剪應(yīng)力公式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零得到剪應(yīng)力的極值。求解得剪應(yīng)力極值平面與主平面成45o角，可由此直接由主平面確定剪應(yīng)力極值平面，兩剪應(yīng)力極值平面互相垂直。由圖示三角函數(shù)關(guān)系圖知：2α12τxyσx-σy第十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日σyσxσxσyτxyτxyτyxτyx代入任意斜截面上的剪應(yīng)力公式得剪應(yīng)力極值：

τmax和τmin的合矢與原始單元體剪應(yīng)力τxy、τyx的合矢在同一象限內(nèi)。剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力

剪應(yīng)力極值平面上正應(yīng)力一般不為零，而且大小相等，符號(hào)相同。有時(shí)稱剪應(yīng)力極值為主剪應(yīng)力，剪應(yīng)力極值平面稱為主剪切面。σmaxσmaxσminσminσα1τmaxτmin第十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日3.例題

【例7-4】求單向拉伸時(shí)單元體斜截面上應(yīng)力、應(yīng)力極值及其作用面、主應(yīng)力?！窘狻喀?/p>

x

=σ,τxy=0,σ

y=01)任意斜截面上的應(yīng)力2)應(yīng)力極值及其作用面3)主應(yīng)力σσταασασστminτmax第十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日τττττ【例7-5】試求純扭轉(zhuǎn)(純剪切)時(shí)原始單元體上任意斜截面上的應(yīng)力、應(yīng)力極值及其作用面、主應(yīng)力?！窘狻喀襵

=0,τxy=τ,σy=01)任意斜截面上應(yīng)力2)應(yīng)力極值3)主應(yīng)力ταασασ

maxσmin第十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日σbt

<

τb

<

σbc

τs<

σsσbt

<τbτs<

σs

45o最大正應(yīng)力,0o最大剪應(yīng)力0o最大剪應(yīng)力,45o最大正應(yīng)力45o斷裂時(shí)0o未斷裂0o斷裂時(shí)45o未斷裂τb<

σbc

τs<

σs

45o最大剪應(yīng)力,0o最大正應(yīng)力45o最大剪應(yīng)力,0o最大正應(yīng)力45o斷裂時(shí)0o未斷裂45o出現(xiàn)滑痕時(shí)0o未出現(xiàn)滑痕σbt

<τbτs

<

σs0o最大正應(yīng)力,45o最大剪應(yīng)力45o最大剪應(yīng)力,0o最大正應(yīng)力0o斷裂時(shí)45o未斷裂45o出現(xiàn)滑痕時(shí)0o未出現(xiàn)滑痕總結(jié)結(jié)論原因現(xiàn)象扭轉(zhuǎn)結(jié)論原因現(xiàn)象壓縮結(jié)論原因現(xiàn)象拉伸鑄鐵低碳鋼材料實(shí)驗(yàn)【例7-6】試用應(yīng)力分析方法定性比較低碳鋼與鑄鐵的拉伸、壓縮和扭轉(zhuǎn)破壞性能。第十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日【例7-7】求單元體的主平面、主應(yīng)力、主剪切面、主剪應(yīng)力、主剪切面上的正應(yīng)力，并畫出主單元體?！窘狻喀襵

=30MPa,τxy=-60MPa,σy=-50MPa1)主平面：2)正應(yīng)力極值：60MPa30MPa50MPa第十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日4)主剪應(yīng)力：5)主剪切面上正應(yīng)力：6)畫主單元體。σyσxσxσyτxyτxyτyxτyxσ3σ3σ1σ1α0主應(yīng)力：σ1=62MPa，σ2=0，σ3=-82MPa3)主剪切面：第十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日§7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法一、應(yīng)力圓方程

從平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上的應(yīng)力公式中消去參數(shù)2α得應(yīng)力圓方程為：它代表在以σα

為橫坐標(biāo)、τα為縱坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心、為半徑的一個(gè)圓。圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著原始單元體上的一個(gè)斜截面上的應(yīng)力。第二十頁，共六十六頁，2022年，8月28日τyxσy

二、應(yīng)力圓(莫爾圓)畫法

以σ為橫軸、τ為縱軸作σ-τ直角坐標(biāo)系，并規(guī)定適當(dāng)?shù)谋壤挥稍紗卧wx截面、y截面上的應(yīng)力(σ

x,τ

xy)、(σ

y,τ

yx)在σ-τ直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)Dx(σ

x,τ

xy)、Dy

(σ

y,τ

yx)；連接點(diǎn)Dx、Dy交σ軸于點(diǎn)C，C即為應(yīng)力圓的圓心；以C為圓心、為直徑作圓。στOτxyσxDxDy(σx+σy)/2C第二十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日τyxσy

στOτxyσxDxDy(σx+σy)/2C2α02α12αB1B2三、原始單元體上斜截面與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系

原始單元體斜截面α角參考位置為x軸，應(yīng)力圓上Dα(σα,τα)點(diǎn)參考位置為Dx(σx,τxy)點(diǎn)；原始單元體上α截面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上同方向轉(zhuǎn)動(dòng)2α圓心角對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dα(σα,τα)的應(yīng)力相等；左右頂點(diǎn)A1、A2對(duì)應(yīng)著原始單元體的主應(yīng)力，Dx(σx,τxy)點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了2α0圓心角且上下頂點(diǎn)B1、B2對(duì)應(yīng)著原始單元體的主剪應(yīng)力，Dx(σx,τxy)點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了2α1圓心角且A2A1Dα

第二十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日τyxσy

στOτxyσxDxDy(σx+σy)/2C2α02α12αB1B2A2A1Dα

正應(yīng)力極值：剪應(yīng)力極值：剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力：第二十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日ABC§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)

一、主單元體斜截面上的應(yīng)力

σ3σ3Oxyzσ2σ2σ1σ1pxpypznσ3σ2σ1OxyzABC設(shè)面積為dA的斜截面ABC的法線n的三個(gè)方向余弦分別為l、m、n，則：斜截面在三個(gè)方向的投影面積為：將斜截面ABC上的應(yīng)力p正交分解為：px、py、pz。四面體在空間共點(diǎn)力系作用下平衡，故：p第二十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日ABCτnnOxyzpσn同時(shí)，p總可正交分解為σn和τn，即：設(shè)σn為p在n上的投影，故σn應(yīng)等于px、py

、pz在法線上投影的代數(shù)和。由（a)、（b）、（c）式求解得：二、主單元體斜截面上的應(yīng)力圖解法—應(yīng)力圓法第二十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日因主應(yīng)力按代數(shù)值大小約定σ1≥σ2≥σ3，故：故斜截面上的應(yīng)力(σn,τn)由上述三個(gè)不等式表示的圖形的相交（陰影）區(qū)域確定。σ1σ2σ3τmaxσOτ顯然σ1σ1σ2σ2σ3σ3τmax45oτmin第二十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日*§7-6位移與應(yīng)變分量

uΔxvΔyxOy設(shè)Δx微段先伸縮，則A點(diǎn)線應(yīng)變?yōu)椋涸O(shè)Δx微段再旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)角為：同理，得Δ

y微段的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變?yōu)椋篈第二十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日*§7-7平面應(yīng)變狀態(tài)分析

一、任意方向的應(yīng)變公式設(shè)從x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度α為正，則：二、主應(yīng)變及主應(yīng)變方向主應(yīng)變：主應(yīng)變方向：該式僅由幾何角度導(dǎo)出，沒涉及材料的具體性質(zhì)，故在小變形情況下，它對(duì)線彈性或非線彈性材料均適用。第二十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日三、應(yīng)變圓繪制四、應(yīng)變測(cè)量其中γyx＝－γxyεy

ε0.5γO0.5γxyεxDxDy0.5(εx+εy)2α02α12αB1B2A1A2Dα

0.5γyxC應(yīng)變測(cè)量時(shí)，剪應(yīng)變?chǔ)脁y不易測(cè)量，線應(yīng)變易方便測(cè)量，故采用測(cè)量出三個(gè)方向線應(yīng)變后再計(jì)算相應(yīng)的剪應(yīng)變等。顯然由該式可計(jì)算出εx、

εy、

γxy。實(shí)際測(cè)量中可采用

測(cè)量0o、45o、90o方向的直角應(yīng)變花等。第二十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日五、例題【例7-8】用直角應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)的三個(gè)線應(yīng)變?yōu)棣?o=-300×10-6，ε45o=-200×10-6，ε90o=200×10-6，求主應(yīng)變及其方向。ε0°ε45°ε90°【解】1）求εx、εy、γxy2）求主應(yīng)變3）求主應(yīng)變方向第三十頁，共六十六頁，2022年，8月28日一、主單元體廣義虎克定律σxσxσyσyσzσz空間應(yīng)力狀態(tài)主單元體可視為三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)單元體的組合?！?-8廣義虎克定律

σxσx在σx單獨(dú)作用下主單元體沿三個(gè)方向的線應(yīng)變：σyσy在σy單獨(dú)作用下主單元體沿三個(gè)方向的線應(yīng)變：第三十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日σzσz在σz單獨(dú)作用下主單元體沿三個(gè)方向的線應(yīng)變：將三個(gè)方向線應(yīng)變疊加(i=x,y,z)主單元體廣義虎克定律：

二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)廣義虎克定律

最復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)單元體可視為三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)單元體和三個(gè)純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體的組合，根據(jù)線性疊加原理可得到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)廣義虎克定律：

第三十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日三、體積變化與應(yīng)力關(guān)系σ3σ3σ2σ2σ1σ1dxdydz單元體原始體積為：?jiǎn)卧w變形后的體積為：?jiǎn)卧w體應(yīng)變?chǔ)葹椋旱谌?，共六十六頁?022年，8月28日由主單元體虎克定律得：—體積彈性模量體應(yīng)變與單個(gè)主應(yīng)力無關(guān)，它與平均主應(yīng)力成正比。令—平均主應(yīng)力則—體積虎克定律四、例題【例7-9】鋼制圓柱塞直徑d=50mm，放入直徑D=50.01mm的剛性圓孔凹座內(nèi)。當(dāng)在圓柱塞頂部均勻施加F=300kN的壓力時(shí)，求圓柱塞的主應(yīng)力。取圓柱塞的E=200GPa，μ=0.3。dD第三十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日F【解】1）求軸向應(yīng)力σz2）求徑向應(yīng)力σr和周向應(yīng)力σθ徑向應(yīng)力σr與周向應(yīng)力σθ相等，徑向應(yīng)變?chǔ)舝與周向應(yīng)變?chǔ)纽纫蚕嗟?）主應(yīng)力為：σθσθσzσzσrσr第三十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日§7-9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度

一、總應(yīng)變能密度vε假定主應(yīng)力按比例同時(shí)從零增加到最終值，在線彈性范圍內(nèi)，則每一主應(yīng)力與相應(yīng)線應(yīng)變成線性關(guān)系。故三向應(yīng)力狀態(tài)總應(yīng)變能密度vε為三對(duì)主應(yīng)力單獨(dú)作用的應(yīng)變能密度的代數(shù)和。故由主單元體廣義虎克定律知：第三十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日單元體總應(yīng)變能密度可視為兩部分組成：體積改變能密度vV—單元體體積改變而形狀不發(fā)生變化的應(yīng)變能密度；畸變能密度vd—單元體形狀改變而體積不發(fā)生變化的應(yīng)變能密度；由體積變化與應(yīng)力關(guān)系知：?jiǎn)卧w在σ1、σ2、σ3作用下單位體積改變量θ與平均應(yīng)力σm作用時(shí)相等。而平均應(yīng)力σm只可能引起體積改變，故單元體的體積改變能密度vV亦是在σm作用下總應(yīng)變能密度vεm。二、體積改變能密度vV第三十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日由主單元體廣義虎克定律知：故體積改變能密度vV為：三、畸變能密度vd第三十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日【例7-10】導(dǎo)出各向同性線彈性材料的彈性常數(shù)E、G、μ間的關(guān)系。【解】1）純剪切應(yīng)變能密度2）純剪切主應(yīng)力σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ3）用主應(yīng)力表示應(yīng)變能密度4）E、G、μ間關(guān)系由【例7-5】知：四、例題第三十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日一、材料失效的基本形式

脆性斷裂——脆性材料塑性屈服——塑性材料金屬材料具有兩種抵抗破壞的能力：抵抗脆性斷裂的極限抗力，抵抗塑性屈服的極限抗力。一般來說，脆性材料對(duì)塑性屈服的極限抗力大于其對(duì)脆性斷裂的極限抗力，塑性材料對(duì)脆性斷裂的極限抗力大于其對(duì)塑性屈服的極限抗力。材料在受力后是否破壞，取決于構(gòu)件的應(yīng)力是否超過材料的極限抗力?！?-10強(qiáng)度理論概述

第四十頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、應(yīng)力狀態(tài)對(duì)材料失效形式的影響壓應(yīng)力本身不能造成材料的破壞，而是由它所引起的剪應(yīng)力等因素在對(duì)材料的破壞起作用；此外，變形速度和溫度等對(duì)材料的破壞形式也有較大影響。構(gòu)件內(nèi)的剪應(yīng)力將使材料產(chǎn)生塑性變形；在三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，脆性材料也會(huì)發(fā)生塑性變形；拉應(yīng)力則易于使材料產(chǎn)生脆性斷裂；三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)使材料發(fā)生脆性斷裂的傾向最大。第四十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日三、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的常用方法在薄壁圓筒內(nèi)施加內(nèi)壓，可實(shí)現(xiàn)二向應(yīng)力狀態(tài)。若配以軸向拉力，可確保兩個(gè)主應(yīng)力為預(yù)定的比值。若在圓筒兩端施加外力偶，可實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。四、強(qiáng)度理論的概念

簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下建立的強(qiáng)度條件不適合于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，需要建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料失效所遵循的共同假說，即強(qiáng)度理論。按照這些假說，無論是簡(jiǎn)單或復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，引起失效的因素是相同的，亦即造成失效的原因與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。故可由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。第四十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日—由不同強(qiáng)度理論建立的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)相當(dāng)應(yīng)力。它是主應(yīng)力σ1、σ2、σ3的某種組合運(yùn)算式，下標(biāo)i(i=1，2，3，4)與相應(yīng)的強(qiáng)度理論相對(duì)應(yīng)；§7-11四種常用強(qiáng)度理論一、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件

—由簡(jiǎn)單拉壓縮試驗(yàn)確定的材料的許用應(yīng)力?！獜?fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。第四十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為使材料發(fā)生脆性斷裂的主要原因是其最大主應(yīng)力σmax=σ1達(dá)到了某一極限值σu。該理論較適合于脆性材料，對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)特別是塑性材料的屈服破壞該理論不適合。最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為使材料發(fā)生脆性斷裂的主要原因是其最大線應(yīng)變?chǔ)舖ax=ε1達(dá)到了某一極限值εu。二、四種常用強(qiáng)度理論第四十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日該理論考慮了三個(gè)主應(yīng)力的共同影響，曾被廣泛應(yīng)用。但它不僅與塑性屈服破壞結(jié)果不符，還與脆性材料在雙向拉伸或三向壓縮試驗(yàn)結(jié)果不盡相同，故一般只用于脆性材料。最大剪應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

該理論認(rèn)為使材料發(fā)生塑性屈服的主要原因是其最大剪應(yīng)力τmax達(dá)到了某一極限值τu。該理論與許多試驗(yàn)結(jié)果比較吻合，特別適合于塑性材料。它不僅能說明塑性材料的屈服破壞，還能解釋脆性材料的剪切破壞(如鑄鐵試樣在壓縮時(shí)沿45o斜截面剪斷)，但該理論沒有考慮主應(yīng)力σ2的影響，與三向均勻拉伸試驗(yàn)結(jié)果不符，對(duì)脆性材料單向拉伸和壓縮時(shí)極限應(yīng)力值不同的問題也無法解釋。第四十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日畸變能密度理論(第四強(qiáng)度理論)

該理論認(rèn)為使材料發(fā)生塑性屈服的主要原因是其畸變能密度達(dá)到了某一極限值。

三、強(qiáng)度理論的應(yīng)用

1.強(qiáng)度理論選用的一般原則

既要考慮材料性質(zhì)，又要考慮單元體所處應(yīng)力狀態(tài)。一般情況下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，應(yīng)選用第一或第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，選用第三或第四強(qiáng)度理論。第四十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日對(duì)脆性材料，在雙向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論；在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，無論是脆性材料還是塑性材料都會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞，宜選用第一強(qiáng)度理論。但對(duì)塑性材料，由于單向拉伸試驗(yàn)得不到其脆斷的極限應(yīng)力，一般對(duì)[σ]作相應(yīng)的調(diào)整。低碳鋼等常用工程塑性材料在受力和結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單情況下，可選用第四強(qiáng)度理論；對(duì)于受力和結(jié)構(gòu)均較復(fù)雜情況，宜選用第三強(qiáng)度理論。在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，不論是脆性材料還是塑性材料，常呈現(xiàn)塑性屈服，一般選用第四強(qiáng)度理論，此時(shí)脆性材料的許用應(yīng)力[σ]應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。第四十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日2.解題步驟

求危險(xiǎn)點(diǎn)處原始單元體的正應(yīng)力極值，按代數(shù)值從大到小排序主應(yīng)力σ1、σ2、σ3；選合適的強(qiáng)度理論，確定對(duì)應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力σeqi；建立強(qiáng)度條件，計(jì)算強(qiáng)度。3.例題

【例7-11】一正方體鋼塊，體積為10×10×10mm3，放在圖示剛性槽內(nèi)，鋼塊頂部受均勻壓力作用，壓力合力大小為15kN。已知鋼塊的泊松比μ=0.33，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，試校核鋼塊的強(qiáng)度。σxσxσyσy【解】1)求單元體的主應(yīng)力取鋼塊內(nèi)任一原始單元體，其應(yīng)力分布情況如圖示。P第四十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日y方向受壓力P作用，則：σxσxσyσyz方向無外力，則x方向剛性槽約束，則由廣義虎克定律得：因不計(jì)摩擦，故各截面無剪應(yīng)力，所取單元體為主單元體。主應(yīng)力為：2)鋼塊是塑性材料，選用第三、第四強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度第三強(qiáng)度理論：P第四十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日第四強(qiáng)度理論：符合強(qiáng)度要求。第五十頁，共六十六頁，2022年，8月28日【例7-12】從某塑性構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)取出一單元體如圖示。已知材料的屈服應(yīng)力σs=280MPa。試按第三、第四強(qiáng)度理論計(jì)算構(gòu)件的工作安全系數(shù)?！窘狻?）寫原始單元體上的應(yīng)力σx

=100MPa，τxy=-40MPa，σy=-80MPa，σz=150MPa2）求xy平面正應(yīng)力極值3）寫主應(yīng)力σ1=150MPa，σ2

=108.5MPa，σ3=-88.5MPa40MPa150MPa100MPazyx80MPa第五十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日4）求安全系數(shù)顯然，第三強(qiáng)度理論較第四強(qiáng)度理論保守一些。第五十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日【例7-13】試由單向拉伸許用正應(yīng)力[σ]導(dǎo)出純純剪切狀態(tài)下的許用剪應(yīng)力[τ]?！窘狻?、確定單元體純剪切時(shí)的主應(yīng)力由【例7-5】3）知：ττττ2、根據(jù)強(qiáng)度理論計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力、寫強(qiáng)度條件1）對(duì)于塑性材料，選用第三、第四強(qiáng)度理論即第五十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日即故2）對(duì)于脆材料，選用第一、第二強(qiáng)度理論即即故第五十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日【例7-14】寫出平面剪切彎曲塑性梁的強(qiáng)度條件。【解】1)確定單元體主應(yīng)力στστσx

=σ,τxy=τ,σy=02)塑性材料，選用第三、第四強(qiáng)度理論上述二式亦適用于拉壓(彎曲)/扭轉(zhuǎn)、拉壓(彎曲)/剪切組合變形塑性梁強(qiáng)度計(jì)算。第五十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日A【例7-15】圖示軸長(zhǎng)為l，直徑為d，受主動(dòng)力P作用。1）畫出A、B、C、D四點(diǎn)處單元體的應(yīng)力狀態(tài)；2）寫出這四點(diǎn)與第3強(qiáng)度理論相對(duì)應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力σeq3。?AB?C??D【解】1）利用力的平移原理將P向O點(diǎn)簡(jiǎn)化。m=0.5Pd2）A點(diǎn)的應(yīng)力有彎曲引起的正應(yīng)力σA和扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力τAN

。應(yīng)力狀態(tài)單元體為σAτAN相當(dāng)應(yīng)力為PP第五十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日B3）B點(diǎn)的應(yīng)力有剪切引起的剪應(yīng)力τBJ和扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力τBN

。應(yīng)力狀態(tài)單元體為相當(dāng)應(yīng)力為τBJτBN4）C點(diǎn)的應(yīng)力有彎曲引起的正應(yīng)力σC

和扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力τCN

。應(yīng)力狀態(tài)單元體為CσCτCN?AB?C??Dm=0.5PdP第五十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日相當(dāng)應(yīng)力為5）D點(diǎn)的應(yīng)力有剪切引起的剪應(yīng)力τDJ

和扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力τDN

。應(yīng)力狀態(tài)單元體為相當(dāng)應(yīng)力為DτDJτDN?AB?C??Dm=0.5PdP第五十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日§7-12莫爾強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度理論是基于綜合實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立的。一、極限應(yīng)力包絡(luò)線的繪制建立σ-τ直角坐標(biāo)系；作以單向拉伸實(shí)驗(yàn)失效應(yīng)力σut為直徑的極限應(yīng)力圓；作以單向壓縮實(shí)驗(yàn)失效應(yīng)力σuc為直徑的極限應(yīng)力圓；作以純剪切實(shí)驗(yàn)失效應(yīng)力τ

u為半徑的極限應(yīng)力圓；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)作由主應(yīng)力σ1和σ3確定的極限應(yīng)力圓；σutσucτ

u

σ3σ1στO一系列極限應(yīng)力圓上下邊界的光滑切線即為包絡(luò)線。第五十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、極限應(yīng)力包絡(luò)線的性質(zhì)極限應(yīng)力包絡(luò)線與材料的性質(zhì)有關(guān)，不同的材料包絡(luò)線也不相同，但對(duì)同一材料則認(rèn)為它是唯一的；對(duì)一個(gè)已知的應(yīng)力狀態(tài)σ1、σ2、σ3

，如由σ1和