人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步講義第23課垂徑定理（教師版）

第23課垂徑定理目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)理解圓的對(duì)稱性；掌握垂徑定理及其推論；3．學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01垂徑定理1.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2.推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

要點(diǎn)詮釋：(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即SKIPIF1<0(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過(guò)圓心的直線或線段.知識(shí)點(diǎn)02垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.圓的兩條平行弦所夾的弧相等.要點(diǎn)詮釋：在垂徑定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）能力拓展能力拓展考法01應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算與證明【典例1】如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則⊙O的半徑是．【答案】eq\r(,5).【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，連結(jié)OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于垂徑定理的使用，一般多用于解決有關(guān)半徑、弦長(zhǎng)、弦心距之間的運(yùn)算(配合勾股定理)問(wèn)題.【即學(xué)即練1】如圖所示，⊙O兩弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半徑．【答案】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O分別作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，則四邊形MONH為矩形，連結(jié)OB，∴，，∴在Rt△BOM中，．【即學(xué)即練2】如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長(zhǎng)．【答案與解析】解：過(guò)O作OF⊥CD，交CD于點(diǎn)F，連接OD，∴F為CD的中點(diǎn)，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根據(jù)勾股定理得：DF==，則CD=2DF=2．【典例2】已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【思路點(diǎn)撥】在⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長(zhǎng)度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長(zhǎng)表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.【答案與解析】(1)如圖1，當(dāng)⊙O的圓心O位于AB、CD之間時(shí)，作OM⊥AB于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MO，交CD于N點(diǎn).分別連結(jié)AO、CO.

∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.

∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，

=8+6

=14(cm)

圖1圖2(2)如圖2所示，當(dāng)⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓心O的同側(cè))時(shí)，

同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm.

【點(diǎn)評(píng)】解這類問(wèn)題時(shí)，要按平行線與圓心間的位置關(guān)系，分類討論，千萬(wàn)別丟解.【即學(xué)即練3】在⊙O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_________．【答案】2或8．考法02垂徑定理的綜合應(yīng)用【典例3】如圖，某新建公園有一個(gè)圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測(cè)量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn)，在A處測(cè)得∠OAB=45°，在AB延長(zhǎng)線上的C處測(cè)得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案與解析】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，則AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴設(shè)AD=x，則OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50．∵∠OCA=30°，∴=SKIPIF1<0，即=SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0，∴OA=x=×（SKIPIF1<0）=（SKIPIF1<0）（米）．答：人工湖的半徑為（SKIPIF1<0）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【典例4】不過(guò)圓心的直線l交⊙O于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三個(gè)圓中分別畫(huà)出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫(huà)圖形，寫(xiě)出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(OA＝OB除外)(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫(xiě)推理過(guò)程)；(3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．【答案與解析】(1)如圖所示，在圖①中AB、CD延長(zhǎng)線交于⊙O外一點(diǎn)；在圖②中AB、CD交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)；在圖③中AB∥CD．(2)在三個(gè)圖形中均有結(jié)論：線段EC＝DF．(3)證明：過(guò)O作OG⊥l于G．由垂徑定理知CG＝GD．∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴AE∥OG∥BF．∵AB為直徑，∴AO＝OB，∴EG＝GF，∴EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【點(diǎn)評(píng)】在運(yùn)用垂徑定理解題時(shí)，常用的輔助線是過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱軸

B．直徑是圓的對(duì)稱軸C．與圓相交的直線是圓的對(duì)稱軸

D．與直徑相交的直線是圓的對(duì)稱軸【答案】A【詳解】因?yàn)锳選項(xiàng),經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱軸，所以A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng),直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤,C選項(xiàng),與圓相交且經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱軸,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng),與直徑相交且經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱軸,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.點(diǎn)睛:本題考查了圓的對(duì)稱性,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性.2．下列命題中正確的是（）A．經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．長(zhǎng)度相等的弧是等弧C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心【答案】D【分析】利用弦的定義，構(gòu)成圓的條件以及垂徑定理逆定理判斷即可．【詳解】解：A.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；B.在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；C.在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；D.弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心，原題說(shuō)法正確．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，關(guān)鍵是掌握有關(guān)性質(zhì)和定理，能對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷．3．如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定錯(cuò)誤的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．SKIPIF1<0 D．△OCE≌△ODE【答案】B【詳解】試題分析：∵⊙O的直徑AB⊥弦CD，∴CE=DE，SKIPIF1<0，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故選B．考點(diǎn)：垂徑定理．4．如圖，在直徑AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半徑OB的中點(diǎn)，則弦CD的長(zhǎng)是（）A．3 B．3SKIPIF1<0 C．6 D．6SKIPIF1<0【答案】D【解析】連接OC．Rt△OCM中，OC=6，OM=SKIPIF1<0AB=3，由勾股定理得：MC=SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0；∵AB⊥CD，∴CM=MD，∴CD=2MC=6SKIPIF1<0．故選D．點(diǎn)睛：要求弦長(zhǎng)，一般過(guò)圓心作弦的垂線段，連接圓心和弦的一個(gè)端點(diǎn)，結(jié)合垂徑定理、勾股定理求得.5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD=4，AE=1，則⊙O的半徑為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】試題分析：連接OC，則OC=r，OE=r－1，CE=SKIPIF1<0CD=2，根據(jù)Rt△OCE的勾股定理可得：SKIPIF1<0，解得：r=．考點(diǎn)：垂徑定理．6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圓心到AB的距離為5cm，則此圓的半徑等于_______cm.【答案】13【解析】先畫(huà)圖，由于OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理可知AC=BC=SKIPIF1<0先畫(huà)圖，由于OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理可知AC=BC=SKIPIF1<0AB=12，再利用勾股定理易求OA．解：如圖所示，O到弦AB的距離為OC，連接OA，∵OC⊥AB，∴AC=BC=SKIPIF1<0AB=12，在Rt△AOC中，OA==13．故答案是13．7．如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=______cm．【答案】8【解析】如圖：連接SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中,根據(jù)勾股定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<08．如圖，如AE是⊙O的直徑，半徑OD垂直于弦AB，垂足為C，AB=8cm，CD=2cm，則BE=．【答案】6cm【解析】試題分析：根據(jù)垂徑定理可得AC=4cm，然后設(shè)CO=xcm，則DO=AO=（x+2）cm，再利用勾股定理可得（x+2）2=42+x2，解出x=3，再根據(jù)三角形中位線定理可得BE=2CO=6cm．考點(diǎn)：1、垂徑定理，2、勾股定理，3、三角形的中位線定理9．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC=_____．【答案】4cm【詳解】解：連接OA，∵OC⊥AB，∴AC=SKIPIF1<0AB=3cm，∴OC=SKIPIF1<0=4（cm）．故答案為4cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則SKIPIF1<0的度數(shù)為_(kāi)___________．【答案】50°【解析】試題分析：連接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度數(shù)為50°考點(diǎn)：1.圓心角、弧、弦的關(guān)系；2.三角形內(nèi)角和定理；3.直角三角形的性質(zhì)2．如圖，P為⊙O的弦AB上的點(diǎn)，PA=6，PB=2，⊙O的半徑為5，則OP=______．【答案】SKIPIF1<0【分析】連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，由垂徑定理求得AC，再由勾股定理求得OC，再在直角三角形OPC中，利用勾股定理求得OP即可．【詳解】解：如圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，∵PA＝6，PB＝2，∴AC＝4，∴PC＝2，∵OA＝5，∴由勾股定理得：OC＝SKIPIF1<0＝3，∴OP＝SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題再進(jìn)行計(jì)算．3．如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若AB＝6cm，OD＝4cm，則⊙O的半徑為_(kāi)____cm．【答案】5【解析】試題分析：連接OA，根據(jù)垂徑定理可得：AD=3cm，OD=4cm，根據(jù)Rt△OAD的勾股定理可得：OA=5cm，即圓的半徑為5cm.4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，則⊙O的半徑為_(kāi)_____cm．【答案】4SKIPIF1<0【解析】連接OC，如圖所示：∵AB是O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE=DE=SKIPIF1<0CD=3cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE為△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE為等腰直角三角形，∴OC=SKIPIF1<0CE=SKIPIF1<0cm，故答案為SKIPIF1<0.5．如圖所示，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的長(zhǎng)．【答案】AB=8．【解析】試題分析：連接OA，先根據(jù)CD=10cm得出OC的長(zhǎng)，再由OM：OC=3：5得出OM的長(zhǎng)，由勾股定理求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．試題解析：連接OA，∵CD=10cm，∴OC=5cm．∵OM：OC=3：5，∴OM=3，∴AM=OA2?O∴AB=2AM=8．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．6．如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦CD⊥AB，垂足為E，BE=2，求弦CD的長(zhǎng)．【答案】CD=8.【解析】試題分析：連接OC，先根據(jù)直徑AB=10，求出OC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)，由垂徑定理即可得出結(jié)論.試題解析：連接OC，∵直徑AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE=SKIPIF1<0=4，∴CD=2CE=8．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，⊙SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為弦，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交⊙SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求弦SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】8【解析】【分析】求出OD，根據(jù)垂徑定理得出SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理求出AD，即可得出答案．【詳解】解：∵⊙SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理及其推論，勾股定理，解題關(guān)鍵在于得出SKIPIF1<02．如圖，四邊形ABCD是矩形，以AD為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)E、F，AB=4，AD=12.求線段EF的長(zhǎng).【答案】4SKIPIF1<0【分析】作OM⊥BC于M，連接OE，根據(jù)垂徑定理求出EF=2EM，求出OE和OM長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出EM，即可求出EF．【詳解】作OM⊥BC于M，連接OE，

則ME=MF=SKIPIF1<0EF，

∵AD=12，

∴OE=6，

在矩形ABCD中，OM⊥BC，

∴OM=AB=4，

∵在△OEM中，∠OME=90°，

ME=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，

∴線段EF的長(zhǎng)度為4SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理、垂徑定理、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.3．如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，拱高SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有SKIPIF1<0時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施.【答案】不需要采取緊急措施，理由詳見(jiàn)解析.【分析】連接OA′，OA．設(shè)圓的半徑是R，則ON＝R?4，OM＝R?18．根據(jù)垂徑定理求得AM的長(zhǎng)，在直角三角形AOM中，根據(jù)勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根據(jù)勾股定理求得A′N的值，再根據(jù)垂徑定理求得A′B′的長(zhǎng)，從而作出判斷．【詳解】設(shè)圓弧所在圓的圓心為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示設(shè)半徑為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0由垂徑定理可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴不需要采取緊急措施.【點(diǎn)睛】此類題綜合運(yùn)用了勾股定理和垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理的應(yīng)用.4．如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．（1）證明：點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)；（2）若AB=8，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）要證明：E是OB的中點(diǎn)，只要求證OE＝SKIPIF1<0OB＝SKIPIF1<0OC，即證明∠OCE＝30°即可；

（2）在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接AC，如圖

∵直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，

∴SKIPIF1<0，AC＝AD，

∵過(guò)圓心O的線CF⊥AD，

∴AF＝DF，即CF是AD的中垂線，

∴AC＝CD，

∴AC＝AD＝CD．

即：△ACD是等邊三角形，

∴∠FCD＝30°，

在Rt△COE中，OE＝SKIPIF1<0OC，

∴OE＝SKIPIF1<0OB，

∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；

（2）解：在Rt△OC