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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：徐**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：廣東

IP屬地：廣東 上傳時(shí)間：2023-04-05 格式：DOCX 頁(yè)數(shù)：8 大小：18.49KB 積分：2.4 舉報(bào) 版權(quán)申訴

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淺談?wù)ǘ涡偷呐卸ǚ椒?/p>

摘要二次型與其矩陣具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以通過(guò)研究矩陣的正定性來(lái)研究二次型的正定性

及其應(yīng)用.本文主要通過(guò)正定二次型的定義，實(shí)矩陣的正定性的定義，特征值法，矩陣合同以及相應(yīng)的推導(dǎo)性質(zhì)來(lái)判定二次型的正定性。

關(guān)鍵詞二次型矩陣正定性應(yīng)用

1引言

在數(shù)學(xué)中，二次型的理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題.

現(xiàn)在二次型往往出現(xiàn)在大量實(shí)際應(yīng)用和理論研究中，有很大的實(shí)際使用價(jià)值。它不僅在數(shù)學(xué)的大量分支中用到，而且在物理學(xué)中也會(huì)經(jīng)常用到，其中實(shí)二次型中的正定二次型占用特別的位置.二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的正定性判別，下面將用二次型的性質(zhì)來(lái)求函數(shù)的最值和證明不等式因此，對(duì)正定矩陣的探討有重要的意義.

2二次型的相關(guān)概念2.1二次型的定義

設(shè)p是一個(gè)數(shù)域，aij?p，n個(gè)文字x1,x2,…，xn的二次齊次多項(xiàng)式

nnf(x1,x2,?,xn)?ax?2a12x1x2?2a13x1x3???ax?21112nnn??axxijii?1j?1j

(aij?aji,i,j?1,2,...,n)稱為數(shù)域上p的一個(gè)n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型.當(dāng)aij為實(shí)數(shù)時(shí)，f稱

為實(shí)二次型.當(dāng)aij為復(fù)數(shù)時(shí),稱f為復(fù)二次型.假使二次型中只含有文字的平方項(xiàng)，即

f(x1,x2,...,xn)=d1x12?d1x22?...?dnxn2稱f為標(biāo)準(zhǔn)型.

定義1在實(shí)數(shù)域上，任意一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范性

2222f的正慣性指數(shù)，負(fù)平方z1?z2?……?z2p?zp?1?……?zr,其中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為

項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的f負(fù)慣性指數(shù).

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2.2二次型的矩陣形式

二次型f(x1,x2,...,xn)可唯一表示成f(x1,x2,...,xn)=xTAx，其中x?(x1,x2,...,xn)T，

A?(aij)n?n為對(duì)稱矩陣，稱上式為二次型的矩陣形式，稱A為二次型的矩陣（必是對(duì)稱矩陣），

稱A的秩為二次型f的秩.

2.3正定二次型與正定矩陣的概念

定義2.3.1設(shè)f(x1,x2,...,xn)=xTAx是n元實(shí)二次型（A為實(shí)對(duì)稱矩陣），假使對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...cn)?0，則稱f為正定二次型,稱A為正定矩陣；假使f(c1,c2,...cn)?0，則稱f為半正定二次型，稱A為半正定矩陣;假使f(c1,c2,...cn)?0，則稱f為負(fù)定二次型，稱A為負(fù)定矩陣;假使f(c1,c2,...cn)?0，稱f為半負(fù)定二次型，稱A為半負(fù)定矩陣；既不是正定又不是負(fù)定的實(shí)二次型稱為不定的二次型，稱A為不定矩陣.

定義2另一種定義具有對(duì)稱矩陣A的二次型f?XTAX,

(1)假使對(duì)任何非零向量X,都有XTAX?0（或XTAX?0）成立，則稱f?XTAX為正定（負(fù)定）二次型，矩陣A稱為正定矩陣（負(fù)定矩陣）.(2)假使對(duì)任何非零向量X,都有XTAX?0（或XTAX?0）

T成立，且有非零向量X0，使X0AX0?0，則稱f?XTAX為半正定（半負(fù)定）二次型，矩陣

A稱為半正定矩陣（半負(fù)定矩陣）.

注:二次型的正定(負(fù)定)、半正定(半負(fù)定)統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性.不具備有定

性的二次型及其矩陣稱為不定的.

二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的正定性判別.

定義3n階矩陣A?(aij)的k個(gè)行標(biāo)和列標(biāo)一致的子式

ai1i1ai2i1?aiki1稱為A的一個(gè)k階主子式.而子式

ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ik?ai2ik???aikik(1?i1?i2???ik?n)

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a11a|Ak|?21?ak1a12a22?ak2?a1k?a2k???akk(k?1,2,?,n)

稱為A的k階順序主子式.

3實(shí)二次型正定的判別方法及其性質(zhì)

定理1實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要條件是它的

正慣性指數(shù)等于n

證明設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX經(jīng)線形替換X?PY化為標(biāo)準(zhǔn)形

22(1)f?d1y12?d2y2???dnyn其中di?R,i?1,2,?,n.由于p為可逆矩陣,所以x1,x2,?,xn不全為零時(shí)y1,y2,?,yn也不全為零,反之亦然.

(?)假使f是正定二次型,那么當(dāng)x1,x2,?,xn不全為零,即y1,y2,?,yn不全為零時(shí),有

222f?d1y1?d2y2???dnyn?0(2)

若有某個(gè)di(1?i?n),比方說(shuō)dn?0.則對(duì)y1?y2???yn?1?0,yn?1這組不全為零的數(shù),代入(1)式后得f?dn?0.這與f是正定二次型矛盾.因此,必有

di?0.(i?1,2,?,n)

即f的正慣性指數(shù)等于n

(?)假使f的正慣性指數(shù)等于n,則di?0,(i?1,2,?,n)于是當(dāng)x1,x2,?,xn不全為零,即當(dāng)y1,y2,?,yn不全為零時(shí)(2)式成立,從而f是正定型

定理2實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要條件是對(duì)任

AX?0何n維實(shí)的非零列向量X必有X?證明(?)由假設(shè)f是正定二次型,故存在實(shí)的非退化的線形替換X?QY,使

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22(1)X?AX?y12?y2???ynAX?0對(duì)X?0,因Q非奇異,故Y?0,于是由(1)可知X?(?)設(shè)X?AX的秩與正慣性指數(shù)分別為r與p,先證r?p,如p?r,則由慣性定理,

存在非退化的線形替換X?QY,使得

22X'AX?y12???y2p?yp?1???yr(2)

AX?0,但對(duì)列向量由假設(shè),對(duì)任何X?0,X?X?Q(0,?,0,1,0,?,0)??0（因Q是非奇異陣,1是X的第p?1個(gè)分量）卻有

AX??1?0X?這與假設(shè)矛盾.故r?p.再證r?n.假使r?n,則(2)式應(yīng)化為

XAX?y1?y2???yr,r?n(3)于是取

X?Q(0,?,0,1)??0

'222AX?0,又與假設(shè)矛盾,故r?n?p,即f是正定二次型由(3)即得X?定理3實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要條件是f的

222規(guī)范形為f(x1,x2,?,xn)?y1?y2???yn證明(?)實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,則由定理1可知

f的正慣性指數(shù)為n，則二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX可經(jīng)過(guò)非退化實(shí)線形替換成

222f(x1,x2,?,xn)?y1?y2???yn22(?)f的規(guī)范形為f(x1,x2,?,xn)?y12?y2,則f的正慣性指數(shù)為n,由定???yn理1可知f為正定二次型

定理4實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要條件是矩陣

A與單位矩陣合同

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證明(?)實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,則由定理3,可

222知f的規(guī)范形為f(x1,x2,?,xn)?y1?y2???yn此即存在非退化線形替換X?CY(其中C可逆),使得

22f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?y12?y2???yn所以C?AC?E,因此矩陣A單位矩陣合同

(?)矩陣A單位矩陣合同,則存在可逆矩陣C,使得C?AC?E，令X?CY則

22f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?y12?y2???yn因此,由證明4,可知f是正定二次型

定理5實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要條件是矩陣

A的主子式全大于零

證明(?)實(shí)二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,以Ak表示A的

左上角k階矩陣,下證Ak?0,(k?1,2,?,n),考慮以Ak為矩陣的二次型

g(x1,x2,?,xk)???ai?1j?1kkijxixj

由于g(x1,x2,?,xk)?f(x1,x2,?,xk,0,?,0)所以當(dāng)x1,x2,?,xk不全為零時(shí),由f正定二次型可知g?0,從而g為正定二