數(shù)學(xué)史部分古埃及的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)史部分古埃及的數(shù)學(xué)第1頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第一章數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展數(shù)學(xué)的發(fā)源地：古代非洲的尼羅河(Nile)——埃及文明；西亞的底格里斯河(Tigris)和幼發(fā)拉底河(Euphrates)——巴比倫文明；中南亞的印度河(India)和恒河(Ganges)——印度文明東亞的黃河和長(zhǎng)江——中國(guó)文明.第2頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五?數(shù)學(xué)產(chǎn)生于農(nóng)業(yè)文明：歷法，測(cè)量土地，財(cái)富計(jì)算，產(chǎn)品交換，觀測(cè)天體，建造皇宮等一、古埃及的數(shù)學(xué)——尼羅河第3頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第4頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五?

BC4000年的古埃及文明，已有象形文字（Hieroglyphic，意為“圣刻”）；?

BC3000年，埃及成為統(tǒng)一的奴隸制國(guó)家.?

英國(guó)牛津博物館(OxfordMuseuminBritain)的古埃及第一王朝（約BC3400年以前）一個(gè)王室的權(quán)標(biāo)上象形文字.第5頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1、記數(shù)法——以十為基數(shù)的象形文字介于兩符號(hào)之間的各數(shù)由這些符號(hào)的組合表示.但是，他們的符號(hào)缺乏位置上的意義，這使得這種記數(shù)法是很麻煩的，為了表示大數(shù)，必須用相應(yīng)多個(gè)符號(hào).第6頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第7頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五特點(diǎn)：①、最早采用10進(jìn)制的國(guó)家之一；②、但沒有采用位置計(jì)數(shù)法.2、書寫材料－紙草

papyrus

是英文“paper”

的語(yǔ)源.現(xiàn)今保存下來的有兩卷紙草記錄了古埃及的數(shù)學(xué)資料，它們都產(chǎn)生于約BC1700年左右.它們的作者可能是政治機(jī)關(guān)或教堂的書記（秘書），它們的內(nèi)容就是題集和解答.第8頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五古埃及紙草書卷第9頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五①莫斯科紙草(MoscowPapyrus)

（現(xiàn)存于莫斯科美術(shù)博物館，一說現(xiàn)存于莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館）——25個(gè)數(shù)學(xué)問題（俄國(guó)貴族戈蘭尼采夫于1893年在埃及發(fā)現(xiàn)），長(zhǎng)約525cm，寬約8cm，成書于約BC1890年.第10頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第11頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五②蘭德紙草(RhindPapyrus)

（大英博物館）——85個(gè)數(shù)學(xué)問題.最初發(fā)現(xiàn)于埃及的底比斯古都廢虛.（蘇格蘭人蘭德H.Rhind于1858年購(gòu)買于埃及），長(zhǎng)約525cm，寬約33cm.第12頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第13頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五零星的材料：卡呼恩（Kahun）紙草書和柏林紙草書，阿赫姆（Akhmin）木板書（約BC2000年左右）以及克索斯時(shí)代的羊皮書一卷----埃及數(shù)學(xué)的補(bǔ)充信息.注意：希臘人認(rèn)為他們的數(shù)學(xué)是從埃及來的，然而埃及數(shù)學(xué)只限于非常實(shí)用者，古埃及人沒有命題證明的思想，他們的數(shù)學(xué)完全是實(shí)用數(shù)學(xué)，完全找不到推理的數(shù)學(xué)痕跡，而古希臘卻有.第14頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3、古埃及的算術(shù)知識(shí)：（1）古埃及人的計(jì)算具有迭加的特點(diǎn)：任何自然數(shù)都可由2的各次冪的和組成.例如：計(jì)算

27×31

*131*2624124*8248+*16496--------------------

837

第15頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：計(jì)算745÷26，只要連續(xù)地把除數(shù)26加倍，直到再加倍就超過745為止.126252∵745=416+329*4104=416+208+121*8208=416+208+104+17+*16416將上述帶（*）號(hào)的各項(xiàng)相-----------加，得商為16+8+4=28

28

其余數(shù)為17.

第16頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（2）、分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算單位分?jǐn)?shù)的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)的一個(gè)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單位分?jǐn)?shù)（分子為1的分?jǐn)?shù)）的和的形式（2/3例外）.埃及人表示分?jǐn)?shù)的符號(hào)是相當(dāng)復(fù)雜的.用（讀作ro）表示分?jǐn)?shù)線，將或點(diǎn)的記號(hào)放在數(shù)的上方用來表示分?jǐn)?shù).第17頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例如：某些特殊的分?jǐn)?shù)記號(hào)，如

第18頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五蘭德紙草書中數(shù)表：將所有分子為2而分母從5-101的奇數(shù)表示為單位分?jǐn)?shù)之和.

2/5=1/3+1/152/7=1/4+1/282/9=1/6+1/18......2/97=1/56+1/679+1/7762/99=1/66+1/1982/101=1/101+1/202+1/303+1/606第19頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五利用此表可進(jìn)行分?jǐn)?shù)計(jì)算

例如，要用5÷21，可寫成單位分?jǐn)?shù)之和運(yùn)算程序如下：

5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42=1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/42?注意：加倍程序和單位分?jǐn)?shù)概念

第20頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五蘭德紙草書第70題：求100÷(7+1/2+1/4+1/8)的商.答：12+2/3+1/42+1/126.解：將除數(shù)逐漸加倍：15+1/2+1/4→31+1/2→63，是除數(shù)的8倍;另外，除數(shù)與8+4+2/3相乘得，比被除數(shù)100小1/4.第21頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五調(diào)整：因除數(shù)的8倍是63，故(7+1/2+1/4+1/8)×2/63=1/4由2/n數(shù)表查得2/63=1/42+1/126，于是100÷(7+1/2+1/4+1/8)=8+4+2/3+2/63=12+2/3+1/42+1/126.第22頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五埃及人為什么對(duì)單位分?jǐn)?shù)情有獨(dú)鐘，原因尚不清楚.這種運(yùn)算方法冗長(zhǎng)繁復(fù)妨礙了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，這也是古埃及算術(shù)和代數(shù)不能發(fā)展到更高水平的原因之一.但是這種方法對(duì)于解決食物分配和土地分配問題卻十分方便.例如，平均分食物的7個(gè)面包8個(gè)人分.7/8=1/2+1/4+1/8

第23頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3）、完成了基本的算術(shù)四則運(yùn)算（4）、已經(jīng)有了求近似平方根的方法4、古埃及的代數(shù)：①、有漸進(jìn)的代數(shù)，但敘述方式是文詞（即文詞代數(shù)階段），很少引用符號(hào)；②、比例的概念也已有萌芽；三角函數(shù)觀念的萌芽③、一元一次方程求解即形如或某些二次方程第24頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五④、等差級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)的概念及其求和?例1、蘭德紙草書中有一方程問題：有一數(shù)量，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共為33.

用現(xiàn)代的記號(hào)是：只不過分?jǐn)?shù)部分寫為28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388.古埃及人把未知數(shù)稱為“堆”（aha)第25頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五?例2、蘭德紙草書中的第24題：已知“堆”與七分之一“堆”相加為19，求“堆”的值.

“假位法”（methodoffalseposition）—先假設(shè)一個(gè)特殊的數(shù)作為“堆”的值（多半是假值），將其代入等式左邊去運(yùn)算，然后比較得數(shù)與應(yīng)得的結(jié)果，再通過比例的方法算出正確的答案.在上例中，用數(shù)7作為未知數(shù)x的實(shí)驗(yàn)值，于是有，左邊=

而應(yīng)得的結(jié)果是19，這兩個(gè)結(jié)果之比為19/8=2+1/4+1/8，將7乘以（2+1/4+1/18）即得正確的“堆”值為16+1/2+1/8.第26頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3、算術(shù)級(jí)數(shù)問題：5個(gè)人分100個(gè)面包，要求每個(gè)人所得的份數(shù)構(gòu)成一個(gè)算術(shù)級(jí)數(shù)，并且前三個(gè)所得總數(shù)的1/7等于后二人所得之和---下偽法（regulafalsi）

解：先令第一項(xiàng)最大，這使得公差是負(fù)數(shù).令首項(xiàng)和公差分別為a和d,寫出了于是公差為最小項(xiàng)的11/2倍，設(shè)最小項(xiàng)為1.于是得級(jí)數(shù)：但和為60,為滿足條件，各項(xiàng)×5/3，最后得：第27頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例4、幾何級(jí)數(shù)（等比級(jí)數(shù)）.蘭德紙草書第79題：是在數(shù)字7，49，343，2401，16807

旁邊各注有圖人，貓，鼠，大麥，量器等字樣，而且給出總數(shù)為19607.問這個(gè)題目產(chǎn)生的是什么數(shù)列？總數(shù)是多少？---有答案無解法.“出門望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有九鳥，鳥有九毛，毛有九色.”第28頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5、古埃及的幾何：

在蘭德紙草書和莫斯科紙草書中確實(shí)包含有許多幾何性質(zhì)的問題，內(nèi)容大都與土地面積和谷堆體積的計(jì)算有關(guān).

由此可知，古埃及的幾何很發(fā)達(dá).幾何問題多是講度量法，涉及到田地的面積，谷倉(cāng)的容積和有關(guān)金字塔的計(jì)算等.著名的“金字塔之迷”就是其中的代表.

第29頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（1）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)：

興建于齊阿斯王朝（BC2900年左右），高146.5米，塔基寬233米，底邊長(zhǎng)度的誤差為1.6厘米，正方程度與水平程度的平均誤差≤1/10000，塔高與塔基之比非常近似于圓的周長(zhǎng)與其半徑之比.用以砌塔的巨石達(dá)230萬塊，重量從2.5噸到50噸不等.如把這些石頭鑿成平均一立方英尺的小塊并排列成行，其長(zhǎng)度相當(dāng)于地球周長(zhǎng)的2/3.10萬人用了20年的時(shí)間才建成的.第30頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五N.KhufuPyramid第31頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第32頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（2）、阿蒙神廟(OmanTamples)：

阿蒙——埃及的太陽(yáng)神.王殿總面積5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達(dá)21米.第33頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第34頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期五①、正方形,矩形,三角形,梯形面積公式.其他幾何圖形近似計(jì)算.如：任意四邊形的面積②、已經(jīng)知道畢達(dá)哥拉斯定理的特殊情況.③、圓的面積很好的近似.

Rhind50:假設(shè)一直徑為9的圓形土地，其面積=邊長(zhǎng)為8的正方形土地.

由此可知，圓面積為，其中為直徑，相