線性離散系統(tǒng)

線性離散系統(tǒng)1第1頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.1概述1.離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)2.離散控制系統(tǒng)的定義第2頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.1概述1.離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)A/DD/A數(shù)字計(jì)算機(jī)被控對象測量元件圖8.1(數(shù)字)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖r(t)e(t)b(t)c(t)uk(t)A/D：經(jīng)采樣、量化、編碼轉(zhuǎn)換把模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)。D/A：經(jīng)保持、解碼(信號(hào)恢復(fù))將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)。數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。第3頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.1概述1.離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)(a)連續(xù)信號(hào)圖8.2A/D轉(zhuǎn)換過程(c)數(shù)字信號(hào)(b)離散信號(hào)A/D轉(zhuǎn)換過程是A/D轉(zhuǎn)換器每隔一個(gè)采樣周期對輸入的連續(xù)信號(hào)采樣一次，使其變?yōu)殡x散時(shí)間信號(hào)，再通過量化變成以（二進(jìn)制表示的）數(shù)字信號(hào)。通常，采用采樣周期為常數(shù)即等速（單速）采樣的采樣方式。第4頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.1概述1.離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)(b)連續(xù)信號(hào)圖8.3D/A轉(zhuǎn)換過程(a)數(shù)字信號(hào)D/A轉(zhuǎn)換過程是將數(shù)字信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)。第5頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.1概述數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖圖8.4與圖8.1等效的離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖r(t)e(t)b(t)c(t)uk(t)e*(t)u(t)u*(t)TT離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：從信號(hào)上看存在離散時(shí)間信號(hào)(離散信號(hào)、采樣信號(hào)、脈沖序列或數(shù)字序列)；從元件上看有采樣開關(guān)與信號(hào)恢復(fù)器。Gc(s)數(shù)字控制器的等效傳遞函數(shù)Gh(s)信號(hào)恢復(fù)器的傳遞函數(shù)Gp(s)被控對象的傳遞函數(shù)H(s)測量元件的傳遞函數(shù)第6頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.1概述2.離散控制系統(tǒng)的定義離散控制系統(tǒng)的定義：當(dāng)系統(tǒng)中某處或多處的信號(hào)為在時(shí)間上離散的脈沖序列或數(shù)碼形式時(shí)，這種系統(tǒng)稱為離散控制系統(tǒng)或離散時(shí)間控制系統(tǒng)。第7頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)1.信號(hào)采樣2.采樣定理3.信號(hào)恢復(fù)第8頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)1.信號(hào)采樣采樣過程：通過采樣開關(guān)將連續(xù)信號(hào)變?yōu)殡x散信號(hào)(采樣信號(hào))的過程。輸入連續(xù)信號(hào)輸出離散信號(hào)x(t)t0T2T3T4T5T6T7T采樣后x(t)x*(t)TT–采樣周期t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T第9頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)1.信號(hào)采樣離散信號(hào)x*(t)為一理想脈沖序列，脈沖僅在采樣時(shí)刻t=nT(n=0,1,2···)出現(xiàn)，而脈沖強(qiáng)度由nT時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)x

(nT)值來確定。在數(shù)字式儀表或計(jì)算機(jī)中，離散信號(hào)x*(t)為一數(shù)字序列，而數(shù)字序列可以看作是以數(shù)字表示其幅值的脈沖序列，它與上述脈沖序列并沒有本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學(xué)描述：第10頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)2.采樣定理香農(nóng)（Shannon）采樣定理：如果采樣器的輸入信號(hào)x(t)具有有限帶寬，并且有直到ωmax的頻率分量，如果采樣頻率滿足則采樣信號(hào)x*(t)可以完全復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)x(t)。其中，ωs為采樣頻率，T為采樣周期，ωmax為連續(xù)信號(hào)中最高次諧波的角頻率。采樣定理是從離散信號(hào)完全復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)的必要條件。該定理給出了信號(hào)采樣的最小采樣頻率。11第11頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)2.采樣定理采樣周期的選擇：工程實(shí)踐表明，根據(jù)表8.1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。控制過程采樣周期T/s流量1~3壓力1~5液位5~10溫度10~20成分10~20表8.1采樣周期的T參考數(shù)據(jù)第12頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)2.采樣定理采樣周期的選擇：根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率可近似取為即采樣周期可按下式選取為通過單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr或調(diào)節(jié)時(shí)間ts，按下列經(jīng)驗(yàn)公式選?。夯蛘叩?3頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二

信號(hào)的恢復(fù)是指將采樣信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的過程，能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程的裝置稱為保持器。

保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用，表現(xiàn)為現(xiàn)在時(shí)刻的輸出信號(hào)取決于過去時(shí)刻離散信號(hào)的外推。8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)3.信號(hào)恢復(fù)時(shí)，14第14頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二3.信號(hào)恢復(fù)工程實(shí)踐中普遍采用零階保持器。零階保持器：將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換成在兩個(gè)連續(xù)采樣時(shí)刻之間保持常量的信號(hào)。xh(t)x*(t)零階保持器t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T常值外推t0xh(t)T2T3T4T6T7Txh(t)x(t)x(t-T/2)常值外推x(nT+τ)=x(nT)(0<τ<T)第15頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.2信號(hào)采樣與恢復(fù)3.信號(hào)恢復(fù)①T取得越小，xh(t)與x(t)的差別越?。虎谙辔粶?，xh(t)比x(t)平均滯后半個(gè)采樣周期；③時(shí)域特性(單位脈沖響應(yīng))為gh(t)=1(t)-1(t-T)；④零階保持器的傳遞函數(shù)為t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T常值外推t0xh(t)T2T3T4T6T7Txh(t)x(t)x(t-T/2)第16頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換1.Z變換的定義2.Z變換的基本定理3.求Z變換4.求Z反變換第17頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換1.Z變換的定義離散信號(hào)x*(t)表示為作拉氏變換可得令z=eTs，則得離散信號(hào)x*(t)的Z變換，并記為Z變換的定義：上式中的X(z)稱為x*(t)的Z變換。②Z變換是對離散信號(hào)(采樣脈沖序列)進(jìn)行的一種變換；①z=eTs，

z是一個(gè)復(fù)變量；③X(z)=Z[x*(t)]=Z[x(t)]，同一信號(hào)不同表示形式對應(yīng)的脈沖序列的Z變換。第18頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換2.Z變換的基本定理設(shè)x1(z)=Z[x1(t)]，x2(z)=Z[x2(t)]，x

(z)=Z[x(t)]。在Z變換中有一些與拉氏變換類似的基本定理，應(yīng)用這些定理可使Z變換的運(yùn)算變得簡單方便。1)線性定理：離散信號(hào)線性組合的Z變換等于它們的Z變換的線性組合。2)滯后定理(負(fù)偏移定理、右偏移定理)上式表明時(shí)域信號(hào)滯后k個(gè)采樣周期，其Z變換需乘以z-k。式中a1、a2為常數(shù)。第19頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換2.Z變換的基本定理4)(復(fù)數(shù))位移定理5)初值定理如果存在，那么6)終值定理：如果(z-1)X(z)在z平面的單位圓上和單位圓外均無極點(diǎn)，那么x(t)的終值為3)超前定理(正偏移定理、左偏移定理)式中a為常數(shù)。第20頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換3.求Z變換1)級(jí)數(shù)求和法一種直接從Z變換的定義出發(fā)的Z變換方法。Z變換的定義式例8.1求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的Z變換。x(t)=1(t)x(nT)=1(n=0,1,2,3,···)X(z)=1+z-1+z-2+···+z-n+···若|z|>1，上式的無窮級(jí)數(shù)是收斂的，那么可得利用Z變換的定義式及Z變換的基本定理，得到常用函數(shù)的Z變換表，如附錄1所示。解第21頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換3.求Z變換2)部分分式法當(dāng)給定連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)時(shí)，欲求其Z變換，則先將拉氏變換式X(s)進(jìn)行部分分式分解，然后查Z變換表，求得其對應(yīng)的Z變換X(z)。例8.5已知函數(shù)X(s)=a/[s(s+a)]，求對應(yīng)的Z變換X(z)。解將X(s)表示為部分分式之和對應(yīng)的Z變換為第22頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換3.求Z變換3)留數(shù)法已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及其極點(diǎn)si(i=1,2,···,n)時(shí)，則x(t)的Z變換X(z)可通過留數(shù)計(jì)算式求得。式中，ri為重極點(diǎn)si的個(gè)數(shù)；n為彼此不等的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。第23頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換3.求Z變換例8.8連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏變換為求對應(yīng)的Z變換X(z)。解第24頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換4.求Z反變換1)冪級(jí)數(shù)(展開)法—長除法已知象函數(shù)X(z)，求原函數(shù)x*(t)(離散信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào))的運(yùn)算，稱為Z反變換，記為Z-1[X(z)]=x*(t)。設(shè)象函數(shù)X(z)是z的有理函數(shù)將X(z)的分子和分母都寫成z-1的升冪形式，則可以直接用分母去除分子，得到無窮冪級(jí)數(shù)的展開式對應(yīng)的離散信號(hào)x*(t)為第25頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換4.求Z反變換例8.10已知象函數(shù)試求其Z反變換。解將X(z)的分子和分母都寫成z-1的升冪形式應(yīng)用長除法得對應(yīng)的離散信號(hào)x*(t)為x(t)在各采樣時(shí)刻的值為x(0)=0；x(T)=10；x(2T)=30；x(3T)=70；···第26頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換4.求Z反變換2)部分分式法先將X(z)/z展開成部分分式的形式，然后再乘以z，化成的形式，通過查Z變換表求得離散信號(hào)x*(t)或x(kT)或x(k)。第27頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換4.求Z反變換例8.11已知，試求其Z反變換。查Z變換表得那么x(kT)或x(k)=10(-1+2k)(k=0,1,2,···)解第28頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換4.求Z反變換3)留數(shù)法留數(shù)法是求Z反變換的一種普遍方法。x(kT)等于函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點(diǎn)上的留數(shù)和。第29頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.3Z變換與Z反變換4.求Z反變換例8.13已知，試求其Z反變換。那么解第30頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)3.脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)2.脈沖傳遞函數(shù)的定義1.差分方程第31頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.差分方程離散系統(tǒng)各變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以用下列n階后向差分方程描述：式中，ai(i=1,2,···,n)和bj(j=1,2,···,m)為常系數(shù)。上式稱為n階線性常系數(shù)差分方程。也可以用下列n階前向差分方程描述：第32頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.差分方程求解差分方程常用的方法有迭代法和Z變換法。1)迭代法已知線性定常離散系統(tǒng)的差分方程式，并且給定輸出序列的初值，則可以遞推計(jì)算出輸出序列。例已知下列二階差分方程輸入序列r(k)=1，初始條件c(0)=0，c(1)=1，試用迭代法求輸出序列c(k)(k=0,1,2,···,10)。第33頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.差分方程解由給定的差分方程可得遞推關(guān)系根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，求得第34頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.差分方程2)Z變換法例8.14用Z變換法解下列二階差分方程初始條件為c(0)=0，c(T)=1。解設(shè)c*(t)的Z變換為C(z)，由超前定理知對差分方程求Z變換，可得對C(z)求Z反變換，得到或第35頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)(z傳遞函數(shù))：在線性定常離散系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))輸出離散信號(hào)的Z變換與輸入離散信號(hào)的Z變換之比，即。圖8.17開環(huán)離散系統(tǒng)r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)G(z)第36頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)圖8.18輸出為連續(xù)信號(hào)的開環(huán)離散系統(tǒng)r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)G(z)R(z)在大多數(shù)情況下，系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)c(t)，而不是離散信號(hào)，這時(shí)可在輸出端虛設(shè)一個(gè)與輸入采樣開關(guān)同步的采樣開關(guān)得到離散信號(hào)c*(t)，從而推導(dǎo)出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。脈沖過渡函數(shù)：脈沖信號(hào)作用于線性環(huán)節(jié)G(s)上時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)稱為其脈沖過渡函數(shù),為g(t)。第37頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)假設(shè)當(dāng)n=-1,-2,-3,···時(shí)，c(nT)=g(nT)=r(nT)=0，即當(dāng)n>k時(shí)，g(kT-nT)=0。則有輸入脈沖序列根據(jù)疊加原理，輸出量c(t)為一系列脈沖響應(yīng)之和，即第38頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)根據(jù)Z變換的定義，輸出量c(t)的Z變換C(z)為第39頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)那么脈沖傳遞函數(shù)上式可以寫為脈沖傳遞函數(shù)的物理意義：脈沖傳遞函數(shù)G(z)是系統(tǒng)脈沖過渡函數(shù)g(t)經(jīng)采樣后g*(t)的Z變換。第40頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.脈沖傳遞函數(shù)的求取例8.15已知開環(huán)離散系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為G(s)=k/[(s+a)(s+b)]，試求對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解將G(s)展開為部分分式對應(yīng)的Z變換為脈沖響應(yīng)g(t)級(jí)數(shù)求和法脈沖傳遞函數(shù)G(z)傳遞函數(shù)G(s)部分分式法或留數(shù)法差分方程Z變換脈沖傳遞函數(shù)G(z)脈沖傳遞函數(shù)G(z)第41頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)①環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)隔開的情況圖8.23環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)R(z)d(t)d*(t)TD(z)兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，且環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)隔開時(shí)，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。第42頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)②環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)隔開的情況兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，而環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開時(shí)，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積所對應(yīng)的Z變換。圖8.24環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)R(z)第43頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)2)有零階保持器時(shí)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖8.25具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)R(z)式中，則若W(s)所對應(yīng)的Z變換為W(z)，則(1-e-Ts)W(s)所對應(yīng)的Z變換是(1-z-1)W(z)。第44頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)3)連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)的情況圖8-26連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)的開環(huán)離散系統(tǒng)r(t)c(t)c*(t)TC(z)d(t)d*(t)TD(z)D(s)R(s)當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)的輸入端無采樣開關(guān)時(shí)，連續(xù)的輸入信號(hào)就直接進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)，將求不出開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)=C(z)/R(z)，而只能求得系統(tǒng)的輸出表達(dá)式C(z)。45第45頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在離散系統(tǒng)中，由于采樣開關(guān)在系統(tǒng)中所設(shè)置的位置不同，結(jié)構(gòu)形式就不一樣，因此系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)就沒有一般的計(jì)算公式，只能根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)具體地求取。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)離散控制系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比，即當(dāng)連續(xù)的輸入信號(hào)直接進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)時(shí)，將求不出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，而只能求得系統(tǒng)的輸出表達(dá)式C(z)。第46頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二采樣開關(guān)的輸入和系統(tǒng)的輸出分別為：47第47頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二消去，得于是閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為Z變換，得：48第48頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的方法方法一：選擇系統(tǒng)輸出變量和采樣開關(guān)輸出端的變量(中間變量)，用z域象函數(shù)列寫方程組，消去中間變量，得到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式。方法二：選擇系統(tǒng)輸出變量和采樣開關(guān)輸入端的變量(中間變量)用s域象函數(shù)列寫方程組，然后對方程組中的各變量進(jìn)行采樣后取Z變換，消去中間變量，得到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式。s域象函數(shù)采樣的公式[Y(s)X*(s)]*=Y*(s)X*(s)[Y*(s)X*(s)]*=Y*(s)X*(s)[Y(s)X(s)]*=YX*(s)第49頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)例8.23設(shè)有圖8.31所示離散控制系統(tǒng)，在誤差信號(hào)傳遞通道上無采樣開關(guān)。試求系統(tǒng)的輸出表達(dá)式C(z)。圖8.31(a)離散控制系統(tǒng)r(t)c(t)c*(t)TC(z)x(t)x*(t)TX(z)R(s)解方法一：列寫方程組X(z)=RG1(z)-G1G2H(z)X(z)C(z)=G2(z)·X(z)第50頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)消去中間變量，得圖8.31(b)離散控制系統(tǒng)r(t)c(t)c*(t)TC*(s)x(t)x*(t)TX*(s)X(s)R(s)C(s)方法二：列寫方程組X(s)=[R(s)-X*(s)G2(s)H(s)]G1(s)C(s)=X*(s)G2(s)第51頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)消去中間變量，得對以上兩式離散化X*(s)=RG1*(s)-X*(s)G1G2H*(s)C*(s)=X*(s)G2*(s)以上兩式取Z變換X(z)=RG1(z)-X(z)G1G2H(z)C(z)=X(z)G2(z)第52頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析1.穩(wěn)定性2.穩(wěn)態(tài)誤差3.動(dòng)態(tài)性能第53頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析1.穩(wěn)定性1)穩(wěn)定的充要條件線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)pk--閉環(huán)極點(diǎn)zl–閉環(huán)零點(diǎn)M(z)–分子多項(xiàng)式D(z)–分母多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式單位階躍輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出：假設(shè)C(z)無重極點(diǎn)，可展開為：第54頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析1.穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，即|pk|<1，相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對有重極點(diǎn)的情況同樣適用。Z反變換得單位階躍響應(yīng)穩(wěn)定條件第55頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二從s平面到z平面的映射關(guān)系由Z變換的定義若令則有返回子目錄1.穩(wěn)定性2)Z域的穩(wěn)定條件56第56頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二2)Z域的穩(wěn)定條件從z平面到s平面的映射（1）z平面上單位圓上的點(diǎn)，映射到s平面虛軸上（2）z平面上單位圓內(nèi)的點(diǎn)，映射到s平面左半平面對應(yīng)的點(diǎn)（3）z平面上單位圓外的點(diǎn)，映射到s平面右半平面對應(yīng)的點(diǎn)57第57頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二2)Z域的穩(wěn)定條件判定方法：勞斯判據(jù)：系統(tǒng)特征方程的根是否在左半平面超越函數(shù)：不能直接應(yīng)用Routh判據(jù)穩(wěn)定性判別轉(zhuǎn)化為判斷系統(tǒng)代數(shù)方程的根是否全在左半平面58第58頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2)雙線性變換與穩(wěn)定判據(jù)通過一種雙線性變換，使z平面的單位圓內(nèi)映射到一個(gè)新平面的左半平面。雙線性變換或雙線性變換的映射關(guān)系：令z=x+jy，則第59頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析1.穩(wěn)定性①z平面的單位圓內(nèi)部：x2+y2<1u<0，即w平面的左半平面。②z平面的單位圓外部：x2+y2>1u>0，即w平面的右半平面。③z平面的單位圓上：x2+y2=1u=0，即w平面的虛軸。0ujvw平面z平面xjy0-1利用勞斯判據(jù)判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：①通過雙線性變換將特征方程D(z)=0變?yōu)樾碌奶卣鞣匠藾(w)=0；②對于新的特征方程D(w)=0，利用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第60頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析1.穩(wěn)定性解例8.23已知離散系統(tǒng)的特征方程為將代入上面的特征方程，得w32.451.52w23.620.4w11.25w00.4Routh陣列表Routh表中第一列元素均為正，故離散系統(tǒng)穩(wěn)定。試判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第61頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性與連續(xù)系統(tǒng)類似，它是用穩(wěn)態(tài)誤差來表征的，且穩(wěn)態(tài)誤差的大小取決于系統(tǒng)的特性(結(jié)構(gòu)和參數(shù))和輸入信號(hào)的形式，仍然與系統(tǒng)的無差度(或系統(tǒng)的型別)有關(guān)。下面介紹計(jì)算線性離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的終值定理和靜態(tài)誤差系數(shù)法。62第62頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差1)終值定理誤差脈沖傳遞函數(shù)r(t)e(t)e*(t)c(t)E(z)圖8.41單位反饋離散系統(tǒng)誤差當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定，即Φe(z)的全部極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)時(shí)，應(yīng)用終值定理可得穩(wěn)態(tài)誤差63第63頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差2)誤差系數(shù)法系統(tǒng)的型別：若系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)含有ν個(gè)z=1的開環(huán)極點(diǎn)，則稱之為ν型系統(tǒng)或系統(tǒng)的無差度為ν

。①階躍輸入信號(hào)r(t)=r0·1(t)式中--靜態(tài)位置誤差系數(shù)64第64頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差②速度輸入信號(hào)r(t)=v0t式中--靜態(tài)速度誤差系數(shù)65第65頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差③加速度輸入信號(hào)r(t)=a0t2/2式中--靜態(tài)加速度誤差系數(shù)66第66頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差表8.3在給定輸入作用下離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別r(t)=r0·1(t)r(t)=v0tr(t)=a0t2/20型∞∞1型0∞2型0067第67頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差例8.25已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖8.40所示，采樣周期T=1秒，求在r(t)=3+4t作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。r(t)e(t)e*(t)c(t)圖8.40例8.25離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為68第68頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析2.穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)特征方程為即解得特征根特征根均位于平面的單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。靜態(tài)誤差系數(shù)分別為則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為69第69頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能由階躍響應(yīng)求性能指標(biāo)的步驟如下：1)時(shí)域響應(yīng)與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(1)由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)

，求輸出量的z變換：(2)利用長除法將上式展開成冪級(jí)數(shù)，通過z反變換求得c*(t)。(3)由c*(t)在各采樣時(shí)刻的值，得到σp%、tr、tp、ts等性能指標(biāo)。其中σp%為最高采樣值的超調(diào)量；tr為第一次等于或接近穩(wěn)態(tài)值所對應(yīng)的采樣時(shí)刻；tp為最高采樣值所對應(yīng)的采樣時(shí)刻；ts為進(jìn)入允許誤差范圍時(shí)采樣點(diǎn)所對應(yīng)的采樣時(shí)刻。70第70頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例已知離散系統(tǒng)如圖所示，T=1(s)，r(t)=1(t)，試求系統(tǒng)的性能指標(biāo)。r(t)e(t)e*(t)c(t)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為71第71頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能單位階躍響應(yīng)的z變換為用長除法將C(z)展成冪級(jí)數(shù)：72第72頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能z反變換得73第73頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能根據(jù)上述各時(shí)刻采樣值c(nT)(n=0,1,2,···)可以繪出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖所示，由圖可以求得給定離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)為：σp%=40%、tr=2(s)、tp=4(s)、ts=12(s)74第74頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的分布對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有重要影響。確定它們之間的關(guān)系，對分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)具有指導(dǎo)意義。2)閉環(huán)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)第75頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能單位階躍響應(yīng)--穩(wěn)態(tài)分量--暫態(tài)分量第76頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能圖8.41(a)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式0<pk<1單調(diào)衰減過程-1<pk<0：正負(fù)交替振蕩的衰減過程Pk>1單調(diào)發(fā)散過程pk<-1：正負(fù)交替振蕩的發(fā)散過程Pk=1：等幅過程pk=-1：正負(fù)交替振蕩的等幅過程第77頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于右半z平面。輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)為單向正脈沖序列。實(shí)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，脈沖序列收斂；實(shí)極點(diǎn)位于單位圓外，脈沖序列發(fā)散。實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于左半z平面。輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)為雙向交替脈沖序列。實(shí)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，脈沖序列收斂；實(shí)極點(diǎn)位于單位圓外，脈沖序列發(fā)散。3.動(dòng)態(tài)性能78第78頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.5離散系統(tǒng)的分析3.動(dòng)態(tài)性能圖8.41(a)閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式|pk|<1衰減振蕩過程|pk|=1等幅振蕩過程|pk|>1發(fā)散振蕩過程pk越靠近正實(shí)軸，振蕩周期越大；

pk越靠近負(fù)實(shí)軸，振蕩周期越小。|pk|<1衰減振蕩過程第79頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.6數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)1、線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法2、最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)第80頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.6數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)1）間接設(shè)計(jì)法

先按連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后將所設(shè)計(jì)的模擬控制器離散化得到數(shù)字控制器。2）根軌跡法和頻率法

根軌跡法和頻率法在離散系統(tǒng)中的推廣。將控制對象離散化，并用離散系統(tǒng)理論在z平面或w平面上進(jìn)行設(shè)計(jì)的兩種直接設(shè)計(jì)方法。3）直接數(shù)字設(shè)計(jì)法

直接根據(jù)離散系統(tǒng)理論在z域進(jìn)行綜合的解析方法。1、線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法第81頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.6數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)2數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)r(t)e(t)e*(t)c(t)E(z)圖8.52離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

為數(shù)字控制器（數(shù)字校正裝置）的脈沖傳遞函數(shù)，為保持器與被控對象的傳遞函數(shù)。誤差脈沖傳遞函數(shù)82第82頁，共90頁，2023年，2月20日，星期二8.6數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)2數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)的數(shù)字校正問題是：根據(jù)對離散