遼寧省大連市2019屆高三第二次模擬考試數學(文)試題含解析

2019年大連市高三第二次模擬考試數學（文科）一、選擇題.每題各有四個選項，僅有一個選項正確.1.復數（是虛數單位），則的模為（）A.0B.1C.D.2【答案】C【解析】【解析】依照模長的定義求得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題察看復數模長的求解，屬于基礎題.2.已知全集，會集，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】依照補集定義求得，再利用交集定義求得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題察看會集運算中的交集和補集運算問題，屬于基礎題.3.命題“

，

”的否定是（

）A.

，

B.

，C.

，

D.

，【答案】B【解析】【解析】依照特稱量詞的否定獲取結果.【詳解】依照命題否定的定義可得結果為：，本題正確選項：【點睛】本題察看含量詞的命題的否定問題，屬于基礎題.4.以下函數中，既是奇函數又在上單一遞加的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】結合初等函數的奇偶性和單一性可消除選項；再依照奇偶性定義和復合函數單一性的判斷方法可證得正確.【詳解】不是單一遞加函數，可知錯誤；，則函數為偶函數，可知錯誤；上單一遞減，可知錯誤；，則為奇函數；當時，單一遞加，由復合函數單一性可知在上單一遞加，依照奇函數對稱性，可知在上單一遞加，則正確.本題正確選項：【點睛】本題察看函數奇偶性和單一性的判斷，屬于基礎題.5.已知等比數列的前項和為，，則數列的公比（）A.-1B.1C.士1D.2【答案】C【解析】【解析】分別在和列出和，構造方程求得結果.【詳解】當時，，滿足題意當時，由得：，即，解得：綜上所述：本題正確選項：【點睛】本題察看等比數列基本量的求解問題，易錯點是忽略的情況造成求解錯誤.6.過橢圓的中心任作素來線交橢圓于，兩點，是橢圓的一個焦點，則的周長的最小值為（）A.12B.14C.16D.18【答案】D【解析】【解析】依照橢圓對稱性可求得為定值，再結合，進而獲取所求周長的最小值.【詳解】由橢圓的對稱性可知，兩點關于原點對稱設橢圓另一焦點，則四邊形為平行四邊形由橢圓定義可知：又

，又為橢圓內的弦周長的最小值為：本題正確選項：【點睛】本題察看橢圓中三角形

周長最值的求解問題，重點察看學生關于橢圓幾何性質的掌握

，重點是可以利用橢圓的對稱性和定義

求得

的值.7.一個口袋中裝有5個球，其中有3個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完好相同，若一次從2個球，則最少有一個紅球的概率為（）

中摸出A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】列舉出所有可能的結果，再找到吻合題意的結果種數，依照古典概型求得結果.【詳解】有題意知：白球有個記三個紅球為：；兩個白球為：一次摸出個球所有可能的結果為：，，，，，，，，，，共種最少有一個紅球的結果為：，，，，，，，，，共種所求概率本題正確選項：【點睛】本題察看列舉法求解古典概型的概率問題，屬于基礎題.8.已知圓錐的母線長為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【解析】依照母線長和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結果.【詳解】由題意可知，底面半徑圓錐體積本題正確選項：

；圓錐的高【點睛】本題察看錐體體積的求解問題，屬于基礎題.9.執(zhí)行以下列圖的程序框圖，若輸出結果為2，則可輸入的實數值的個數為（）【答案】C【解析】【解析】分別在和兩種情況下構造關于輸出值的方【詳解】若輸入的，則輸出若輸入的，則輸出則輸入的值的個數為個本題正確選項：

程，解方程獲取結果.【點睛】本題察看程序框圖中根

據條件構造的輸出值求解輸入值的問題，屬于基礎

題.10.已知函數

是定義域為的偶函數，且

在

上單一遞加，則不等

的解集為（

）A.

B.C.

D.【答案】B【解析】【解析】依照奇偶性和單一性獲取關于自【詳解】為偶函數，且在

變量的絕對值不等式，解不等式求得結上單一遞加在

果.上單一遞減又即，解得：本題正確選項：【點睛】本題察看利用函數奇偶性和單一性求解不等式的問題，重點是能依照函數性質將問題轉變成自變量大小之間的比較.11.已知是雙曲線的左焦點，過點且傾斜角為30°的直線與曲線的兩條漸近線依次交于，兩點，假如線段的中點，且是線段的中點，則直線的斜率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】聯立直線和漸近線方程求得縱坐標，依照可得之間關系，進而可用表示出坐標，利用中點坐標公式獲取，進而求得斜率.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線為：設直線方程為：由得：；同理可得：是中點，

，，本題正確選項：【點睛】本題察看雙曲線幾何性質的應用，重點是可以經過中點的關系獲取關于交點縱坐標之間系，進而求解出之間的關系.

的關12.函數（，是自然對數的底數，）存在唯一的零點，則實數的取值范圍為（）A.

B.

C.

D.【答案】【解析】【解析】

A依照函數解析式判斷出函數為奇單一遞加或單一遞減的問題，可

函數，且可求出為函數的唯一零點，進而將問題知導函數符號，進而利用兩個函數最值的關系求得范

變成圍.

在上【詳解】為奇函數又，知為若存在唯一的零點，則

的零點在上單一遞加或單一遞減①若單一遞加，則恒建立即恒建立，又②若單一遞減，則恒建立即恒建立，，可知不恒建立，不合題意綜上所述：本題正確選項：【點睛】本題察看函數性質的應用、函數零點問題，重點是可以將問題轉變成函數單一遞加或單一遞減的問題，進而可以利用導數來解決.二、填空題。13.在中，，則角的大小為____．【答案】【解析】【解析】依照正弦定理化簡角的關系式，進而湊出的形式，進而求得結果.【詳解】由正弦定理得：則本題正確結果：

，即【點睛】本題察看利用正弦定理和余弦定理解三角形問題，屬于基礎題.14.若，則______.【答案】【解析】【解析】用對數表示出，再依照對數運算法規(guī)求得結果即可.【詳解】由題意得：則

，本題正確結果：【點睛】本題察看對數的運算，屬于基礎題.15.已知各項都為正數的數列

，其前項和為

，若

，則

____.【答案】【解析】【解析】利用

獲取遞推關系式，整理可知

，吻合等差數列定義，利用求出后，依照等差數列通項公式求得結果.【詳解】由題意得：則即各項均為正數，即由得：數列是認為首項，為公差的等差數列本題正確結果：證明出數列為等差數列，進【點睛】本題察看數列通項公式的求解，重點是可以利用而依照等差數列的通項公式求得結果.16.，為單位圓（圓心為）上的點，到弦的距離為，為此圓上一動點，若，則的取值范圍為____.【答案】【解析】【解析】第一求出與夾角的余弦值；經過平方運算可將線性運算整理為：，利用均值不等式構造關于的不等式，解不等式求得結果.【詳解】到弦距離為即由均值不等式可知：本題正確結果：【點睛】本題察看均值不等式的應用問題，重點是可以經過平方運算，將向量之間的線性運算轉變成向量模長和數量積的運算問題，進而化簡為變量之間的關系，進而可利用均值不等式構造不等式求得結果.三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數，，是函數的零點，且的最小值為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設，若，，求的值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式和輔助角公式整理出，依照周乞求得；(Ⅱ)依照解析式可求解出，；再利用同角三角函數關系求出；代入兩角和差余弦公式求得結果.，【詳解】(Ⅰ)的最小值為,即(Ⅱ)由(Ⅰ)知：又，【點睛】本題察看三角函數解析式的求解及應用問題，重點是察看學生關于二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數關系以及兩角和差公式的掌握情況，察看學生的運算能力，屬于老例題型.在某次測試中，某班40名考生的成績滿分100分統(tǒng)計以下列圖.（Ⅰ）估計這40名學生的測試成績的中位數精確到0.1；（Ⅱ）記80分以上為優(yōu)秀，80分及以下為合格，結合頻率分布直方圖完成下表，并判斷可否有95%的掌握認為數學測試成績與性別有關？合格優(yōu)秀合計男生16女生4合計40附：10.828【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析【解析】【解析】(Ⅰ)依照頻率分布直方圖，找到矩形面積和為時橫坐標的取值即為中位數；(Ⅱ)依照頻率分布直方圖計算頻數可補足列聯表，依據公式計算出，比較臨界值表求得結果.【詳解】(Ⅰ)由頻率分布直方圖易知：即分數在的頻率為：所以解得：名學生的測試成績的中位數為(Ⅱ)由頻率分布直方圖，可得列聯表以下：合格優(yōu)秀合計男生女生合計故沒有的掌握認為數學測試成績與性別有關【點睛】本題察看利用頻率分布直方圖估計中位數、獨立性檢驗問題，屬于老例題型.19.如圖，直三棱柱中，，，為的中點.（I）若為上的一點，且與直線垂直，求的值；與所成的角為45°，求點到平面的距離.（Ⅱ）在（I）的條件下，設異面直線【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【解析】(Ⅰ)取中點，可知，利用面面垂直可證得平面，進而獲取，依照線面垂直性質得，進而可證得；進而利用平行線分線段成比率求得結果；(Ⅱ)利用，依照異面直線成角和分別求解出所需線段長和，進而構造方程求解出點到面的距離.【詳解】(Ⅰ)證明：取中點,連接為中點，則有又由于三棱柱為直三棱柱平面平面平面平面平面又平面,平面,平面平面，又平面連接,設，由于正方形平面，平面為的中點為的中點(Ⅱ)由(Ⅰ)可知可求得由余弦定理可得：連接,連接在三棱錐及三棱錐中，點到平面

的距離為又所以

，即點到平面

的距離為【點睛】本題察看面面垂直、線

面垂直的判判定理和性質定理的應用、平行關系的應用、點到

面的距離的求解.立體幾何問題中點到面的距離常利用體積橋的方式將所求距離變成幾何體的高過解方程求得結果.

，構造方程，通20.已知拋物線，其焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，，與交于點.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求面積的最小值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)最小值4.【解析】【解析】(Ⅰ)依照拋物線的性質即可獲取結果；(Ⅱ)由直線垂直可構造出斜率關系，獲取，經過直線與拋物線方程聯立，依照根與系數關系求得；聯立兩切線方程，可用表示出，代入點到直線距離公式，進而獲取關于面積的函數關系式，求得所求最值.【詳解】(Ⅰ)由題意知，拋物線焦點為：，準線方程為：.焦點到準線的距離為，即(Ⅱ)拋物線的方程為，即，所以設，，由于，所以，即設直線方程為，與拋物線方程聯立，得所以，，所以即聯立方程得：，即：點到直線的距離所以當時，面積獲取最小值【點睛】本題察看拋物線的性質的應用、拋物線中三角形面積最值的求解，重點是可以將所求面積表示為關于斜率的函數關系式，進而利用函數最值的求解方法求出最值.21.已知是函數的極值點.（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）求證：函數存在唯一的極小值點，且.（參照數據：）【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)目擊明【解析】【解析】(Ⅰ)依照求得；經過導數考據函數的單一性，可知時極值點為，滿足題意；(Ⅱ)依照(Ⅰ)可知極小值點位于，此時的零點，且此時為極小值點，代入獲取關于的二次函數，求解二次函數值域即可證得結論.【詳解】(Ⅰ)由于，且是極值點所以，所以此時設，則則當時，，為減函數又當時，，則為增函數當時，，則為減函數此時為的極大值點，吻合題意(Ⅱ)由(Ⅰ)知，時，不存在極小值點當時，，為增函數，且所以存在結合(Ⅰ)可知當時，，為減函數；數存在唯一的極小值點又，所以且滿足.

，

時，

，為增函數，所以函所以由二次函數圖象可知：又，【點睛】本題察看利用函數極值與導數關系的綜合應用問題，解決本題的重點是可以利用零點存在定理確定零點所處的范圍，進而可將證明問題轉變成在某一區(qū)間內二次函數值域問題的求解.選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，直線過原點且傾斜角為軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.在平面直角坐

.以坐標原點為極點，軸正半軸為極標系中，曲線與曲線關于直線對稱.（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；（Ⅱ）若直線過原點且傾斜角為，設直線與曲線訂交于，兩點，直線與曲線訂交于，兩點，當變化時，求面積的最大值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【解析】(Ⅰ)法一：將化為直角坐標方程，依照對稱關系用上的點表示出上點的坐標，代入方程獲取的直角坐標方程，再化為極坐標方程；法二：將化為極坐標方程，依照對稱關系將上的點用上的點坐標表示出來，代入極坐標方程即可獲取結果；(Ⅱ)利用和的極坐標方程與的極坐標方程經坐標用表示，將所求面積表示為與有關的三角函數解析式，經過三角函數值域求解方法求出所求最值.【詳解】(Ⅰ)法一：由題可知，的直角坐標方程為：，設曲線上任意一點關于直線對稱點為，所以又由于，即，所以曲線的極坐標方程為：法二：由題可知，的極坐標方程為：，設曲線上一點關于的對稱點為，所以又由于，即，所以曲線的極坐標方程為：(Ⅱ)直線的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為：設，所以解得，解得由于：，所以立即時，，獲取最大值為：【點睛】本題察看軌跡方程的求解、三角形面積最值問題的求解，涉及到三角函數的化簡、求值問題.求解面積的重點是可以明確極坐標中的幾何意義，進而將問題轉變成三角