利用求函數(shù)極值

利用求函數(shù)極值第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日邊學(xué)邊做：(一)用命令FindMinimum求極小值：FindMinimum[f[x],{x,x0}]FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]（1）先作圖，觀察之后求函數(shù)在[-3，3]內(nèi)的極值（2）作圖之后求函數(shù)的極值(二）用求駐點的方法求函數(shù)極值(1)求函數(shù)的極值(2)求函數(shù)的最值第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日（三）Solve，Which，Print，Plot綜合應(yīng)用求極值（1）求函數(shù)的極值、拐點，描繪該函數(shù)圖像（2）設(shè)函數(shù)在兩點處都取得極值，試確定的值，并問這時在處是取得極大值還是極小值？第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日學(xué)生實驗：一、基礎(chǔ)部分1．求函數(shù)在[5，20]上的極值2．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。3.求函數(shù)的極值點與極值.第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日二、應(yīng)用部分(1)當(dāng)a為何值時,在處有極值,求此極值,并說明是極大值還是極小值.(2)若函數(shù)在x=-1處有極大值為8,在x=2處有極小值為-19,求a,b,c,d.(3)把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁,問矩形截面高h與寬b如何選擇時,才能使梁的抗彎截面系數(shù)達到最大?(4)求表面積為a2且體積最大的長方體體積.第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日實驗六內(nèi)容詳解：一、利用命令FindMinimum求極小值1、命令格式一元函數(shù)：FindMinimum[f[x],{x,x0}]功能：以為初始條件，求函數(shù)的極小值。多元函數(shù)：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]功能：以，為初始條件，求函數(shù)的極小值。

第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日2、邊學(xué)邊做（1）求函數(shù)在[-3，3]內(nèi)的極值解自定義函數(shù)f[x_]:=x^4-2*x^2;作函數(shù)圖像Plot[f[x],{x,-3,3},AxesLabel->{x,y}]因而可確定函數(shù)在[-3，3]內(nèi)有兩個極小值，相應(yīng)選擇初始值求得函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的極小值。FindMinimum[f[x],{x,-2}]\輸出結(jié)果為-1，x->-1FindMinimum[f[x],{x,0.5}]\輸出結(jié)果為1，x->1本題還有一極大值，Mathematics中沒有提供求函數(shù)極大值的命令，因而需作轉(zhuǎn)化FindMinimum[-f[x],{x,-0.5}]

\輸出結(jié)果為0，x->0第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日（2）求函數(shù)的極值解作函數(shù)圖形（作法見第二節(jié)）FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}]

\輸出結(jié)果為{-3.33333,{x->2.66667,y->2.33333}}第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日二、用求駐點的方法求函數(shù)極值邊學(xué)邊做(1)求函數(shù)的極值解自定義函數(shù)f[x_]:=4*(x+1)/(x^2+1);Df=f’[x];Df2[x_]:=f’’[x];

解方程求駐點NSolve[Df==0,x]輸出結(jié)果為x1=-2.41421，x2=0.414214

用二階導(dǎo)數(shù)判別極值f’’[-2.41421]=0.242643>0，函數(shù)有極小值f[-2.41421]\輸出結(jié)果-0.828427f’’[0.414214]=-8.24263<0，函數(shù)有極大值f[0.414214]\輸出結(jié)果4.82843可作圖驗證第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日(2)求函數(shù)的最值解自定義函數(shù)f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;求駐點Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0}]\輸出結(jié)果為{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}比較各點函數(shù)值f[x,y]/.%\輸出結(jié)果為{27，31，-5，-1}可求得最值為31第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日三．Solve，Which，Print，Plot綜合應(yīng)用求極值邊學(xué)邊做1．求函數(shù)的極值、拐點，描繪該函數(shù)圖像解自定義函數(shù)f[x_]:=x^3-3*x^2-9*x+5;畫圖可觀察函數(shù)的主要性態(tài)Plot[f[x],{x,-5,5}]解方程求駐點并賦值m=Solve[f’[x]==0,x];\找駐點結(jié)果為{x->-1},{x->3}取得m中的數(shù)值x1=x/.m[[1]];x2=x/.m[[2]];計算二階導(dǎo)數(shù)值以判別能否取得極值p1=f’’[x1];p2=f’’[x2];判別并輸出結(jié)果Which[p1==0,Print[失效]，p1>0，Print[“f[-1]”極小值]，p1<0，Print[“f[-1]”極大值]]第11頁，共12頁，2023年，2月20日，星期日找二階導(dǎo)數(shù)為零的點并賦值n=Solve[f’’[x]==0,x];\

{x->1}取得n中的數(shù)值y1=x/.n[1]計算x=1近旁兩點二階導(dǎo)數(shù)值以判別能否成為拐點q=f’’[y1-0.1]*f’’[y1+0.1];判別并輸出結(jié)果Which[q>0，Print[無拐點]，p<0，Print[“(“1”,”f[1]”)”,拐點]]注：（1）Which命令格式：Which[條件1，表達式1，條件2，表達式2，…，條件n，表