高中如何提高數(shù)學(xué)解題能力

高中如何進(jìn)步數(shù)學(xué)解題才能

美國著名數(shù)學(xué)家G-波利亞(GeorgePolya，18871985)說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟〞，“掌握數(shù)學(xué)意味著什么?那就是擅長解題。〞但數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，無窮無盡，“題海〞茫茫。要使學(xué)生身臨題海而得心應(yīng)手，身居考室而處之泰然，就必須培養(yǎng)他們的解題應(yīng)變才能。有了較強的應(yīng)變才能，在遨游“題海〞時，才能隨機應(yīng)變?nèi)绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的解題應(yīng)變才能呢?今天給大家講講，希望可以幫助到大家。

一、解題思路的理解和來源

平時大家評論一個孩子“聰明〞或者“不聰明〞的根據(jù)是看這個孩子對某件事或很多事得反應(yīng)以及有沒有他自己的看法。如一個“聰明〞的孩子，往往反應(yīng)快、思路清楚，有自己的主見我們認(rèn)為“反應(yīng)快、思路清楚、有主見〞是聰明的前提。學(xué)習(xí)成績好的同學(xué)，反應(yīng)快、思路清楚、有主見就是他們的必備條件。

那么解題也如此，必須反應(yīng)快、思路清楚、有主見。同一道題，不同的學(xué)生從不同的角度去理解，由不同的看法最終會聚成正確的解題過程，這是解題的必然。無論是推導(dǎo)、還是硬性套用、憑借經(jīng)歷做題，都是思路的一種。有的同學(xué)由開場思路不清漸漸轉(zhuǎn)變?yōu)榍宄?，有的同學(xué)根本沒有思路，這就形成了做題的上的差距。

那么，假如能教會給學(xué)生，在處理數(shù)學(xué)問題上，第一時間最短的考慮途徑，并且明晰無比，這樣，每個學(xué)生都是“聰明的孩子〞，在做題上就能攻無不克戰(zhàn)無不勝。

解題思路的來源就是對題的看法，也就是第一出發(fā)點在哪。

二、如何在短期內(nèi)訓(xùn)練解題才能

數(shù)學(xué)解題思想其實只要掌握一種即可，即必要性思維。這是解答數(shù)學(xué)試題的萬用法門，也是最直接、最快捷的答題思想。什么是必要性思維?必要性思維就是通過所求結(jié)論或者某一限定條件尋求前提的思想。幾乎所有數(shù)學(xué)命題都可以用這一思想進(jìn)展。

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試題，可以看出試題加強了對知識點靈敏應(yīng)用的考察。這就對考生的思維才能要求大大加強。如何才能提升思維才能，很多考生便依靠題海戰(zhàn)術(shù)，寄希望多做題來應(yīng)對多變的考題，然而憑借題海戰(zhàn)術(shù)的功底仍然難以獲得科學(xué)的思維方式，以致收效甚微。最主要的原因就是解題思路隨意造成的，并非所謂“不夠用功〞等原因。由于思維才能的原因，考生在解答高考題時形成一定的障礙。主要表如今兩個方面，一是無法找到解題的切入點，二是雖然找到解題的打破口，但做這做著就走不下去了。如何解決這兩大障礙呢?本章將介紹行之有效的方法，使考生獲得有益的啟示。

三.尋找解題途徑的根本方法從求解(證)入手

遇到有一定難度的考題我們會發(fā)現(xiàn)出題者設(shè)置了種.種障礙。從出發(fā)，岔路眾多，順推下去越做越復(fù)雜，難得到答案，假如從問題入手，尋找要想獲得所求，必需要做什么，找到“需知〞后，將“需知〞作為新的問題，直到與““所能獲得的“可知〞相溝通，將問題解決。事實上，在不等式證明中采用的“分析法〞就是這種思維的充分表達(dá)，我們將這種思維稱為“逆向思維〞目的前提性思維。

四.完成解題過程的關(guān)鍵數(shù)學(xué)式子變形

解答高考數(shù)學(xué)試題遇到的第二障礙就是數(shù)學(xué)式子變形。一道數(shù)學(xué)綜合題，要想完成從到結(jié)論的過程，必須經(jīng)過大量的數(shù)學(xué)式子變形，而這些變形僅靠大量的做題過程是無法真正完全掌握的，很多考生都有這樣的經(jīng)歷，在解一道復(fù)雜的考題時，做不下去了，而回過頭來再看一看答案，才恍然大悟，解法這么簡單，懊悔莫及，抱怨自己怎么糊涂到?jīng)]有把式子再這么變一下呢?

其實數(shù)學(xué)解題的每一步推理和運算，本質(zhì)都是轉(zhuǎn)換(變形).但是，轉(zhuǎn)換(變形)的目的是更好更快的解題，所以變形的方向必定是化繁為簡，化抽象為詳細(xì)，化未知為，也就是創(chuàng)造條件向有利于解題的方向轉(zhuǎn)化.還必須注意的是，一切轉(zhuǎn)換必須是等價的，否那么解答將出現(xiàn)錯誤。解決數(shù)學(xué)問題實際上就是在題目的條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)絡(luò)的橋梁，也就是在分析題目中與待求之間差異的根底上，化歸和消除這些差異。尋找差異是變形依賴的原那么，變形中一些規(guī)律性的東西需要總結(jié)。在后面的幾章中我們列舉的一些思維定勢，就是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下總結(jié)出來的。在解答高考題中時刻都在進(jìn)展數(shù)學(xué)變形由復(fù)雜到簡單，這也就是轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)式子變形的思維方式：時刻關(guān)注所求與的差異。

五.夯實根底----回歸課本

1.提醒規(guī)律----掌握解題方法

高考試題再難也逃不了課本提醒的思維方法及規(guī)律。我們說回歸課本，不是簡單的梳理知識點。課本中定理，公式推證的過程就蘊含著重要的方法，而很多考生沒有充分暴露思維過程，沒有發(fā)覺其內(nèi)在思維的規(guī)律就去解題，而希望通過題海戰(zhàn)術(shù)去“悟〞出某些道理，結(jié)果是題海沒少泡，卻總也不見成效，最終只能留在理解的淺薄，僅會機械的模擬，思維程度低的地方。因此我們要側(cè)重根本概念，根本理論的剖析，到達(dá)以不變應(yīng)萬變。

例如：課本在講絕對值和不等式時，根據(jù)|a-b|le;|a|+|b|推出|a-b|le;|a-c|+|b-c|,這里運用了插值法|a-b|=|(a-c)-(b-c)|le;|a-c|+|b-c|這一思維方法，我們要弄清之所以這樣想，之所以得到這個解法的全部醞釀過程。

2.融會貫穿---構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

在課本函數(shù)這章里，有很多重要結(jié)論，許多學(xué)生由于理解不深化，只靠死記硬背,最后造成記憶不牢，考試時失分。在課本函數(shù)這章里，有很多重要結(jié)論，許多學(xué)生由于理解不深化，只靠死記硬背,最后造成記憶不牢，考試時失分。

例如：假設(shè)f(x+a)=f(b-x)，那么f(x)關(guān)于(a+b)/2對稱。如何理解?我們令x1=a+x,x2=b-x,那么f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b=常數(shù)，即兩自變量之和是定值，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，這樣就理解了對稱的本質(zhì)。結(jié)合解析幾何中的中點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為定值，或用特殊函數(shù)，二次函數(shù)的圖像，記憶這個結(jié)論就很簡單了，只要x1+x2=a+b=常數(shù);f(x1)=f(x2)，它可以寫成許多形式：如f(x)=f(a+b-x)。同樣關(guān)于點對稱，那么f(x1)+f(x2)=b,x1+x2=a(中點坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)都為定值)，關(guān)于(a/2,b/2)對稱。再如，假設(shè)f(x)=f(2a-x),f(x)=(2b-x),那么f(x)的周期為T=2|a-b|。如何理解記憶這個結(jié)論，我們類比三角函數(shù)f(x)=sinx，從正弦函數(shù)圖形中我們可知x=pi;/2,x=pi;3/2為兩個對稱軸，2|3/2pi;-pi;/2|=2pi;，而得周期為2pi;，這樣我們就很容易記住這一結(jié)論，即使在考場上，思維斷路，只要把圖一畫，就可寫出這一結(jié)論。這就是抽象到詳細(xì)與數(shù)形結(jié)合的思想的表達(dá)。

思想提煉總結(jié)在復(fù)習(xí)過程中起著關(guān)鍵作用。類似的結(jié)論f(x)關(guān)于點A(a,0)及B(b,0)對稱，那么f(x)周期T=2|b-a|,假設(shè)f(x)關(guān)于點A(a，0)及x=b對稱，那么f(x)周期T=4|b-a|,

這樣我們就在函數(shù)這章做到由厚到薄，無需死記什么內(nèi)容了，同時我們還要學(xué)會這些結(jié)論的逆用。例：兩對稱軸x=a,x=b當(dāng)b=2a(b>a)那么為偶函數(shù).同樣以對稱點B(b,0),對稱軸x=a,b=2a是為奇函數(shù).

3.加強理解----提升才能

復(fù)習(xí)要真正的回到重視根底的軌道上來。沒有根底談不到不到才能。這里的根底不是指機械重復(fù)的訓(xùn)練，而是指要搞清根本原理，根本方法，體驗知識形成過程以及對知識本質(zhì)意義的理解與感悟。只有深化理解概念，才能抓住問題本質(zhì)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

4.思維形式化----解題步驟固定化

解答數(shù)學(xué)試題有一定的規(guī)律可循，解題操作要有明確的思路和目的，要做到思維形式化。所謂形式化也就是解題步驟固定化，一般思維過程分為以下步驟：

(一)審題

審題的關(guān)鍵是，首先弄清要求(證)的是什么?條件是什么?結(jié)論是什么?條件的表達(dá)方式是否能轉(zhuǎn)換(數(shù)形轉(zhuǎn)換，符號與圖形的轉(zhuǎn)換，文字表達(dá)轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)表達(dá)等)，所給圖形和式子有什么特點?能否用一個圖形(幾何的、函數(shù)的或示意的)或數(shù)學(xué)式子(對文字題)將問題表達(dá)出來?有什么隱含條件?由條件能推得哪些可知事項和條件?要求未知結(jié)論，必須做什么?需要知道哪些條件(需知)?

(二)明確解題目的

關(guān)注與所求的差距，進(jìn)展數(shù)學(xué)式子變形(轉(zhuǎn)化)，在需知與可知間架橋(缺什么補什么)

1.能否將題中復(fù)雜的式子化簡?

2.能否對條件進(jìn)展劃分，將大問題化為幾個小問題?

3.能否進(jìn)展變量交換(換元)、恒等變換，將問題的形式變得較為明顯一些?

4.能否代數(shù)式子幾何變換(數(shù)形結(jié)合)?利用幾何方法來解代數(shù)問題?或利用代數(shù)(解析)