直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

直線與圓曲線的交點(diǎn)數(shù)問題直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題上研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題于元后的一元二次方程須論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，能數(shù)形結(jié)合，借圖形的幾何性質(zhì)則較為簡便。一、直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的探求設(shè)直線l:Ax圓錐曲線:f，由即將直線l的f)方程與圓錐曲線的程聯(lián)立去得到關(guān)于x的元二次方程ax

（當(dāng)然，也可以消去x到關(guān)于一元二次方程一二次方程解的情況判斷關(guān)系下表：注意：對(duì)拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切；有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。例1、討論直線l:ykx與雙曲線C:x的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：聯(lián)立方程整理得(1)xy

，當(dāng)k時(shí)，x1．當(dāng)k時(shí)，8(1k，若，22；0則k；0，或k2．綜上所述，當(dāng)k時(shí)，直線與雙曲線相切于一點(diǎn)；k，直線與雙曲線相交第1頁共頁

22212221于一點(diǎn)；k或時(shí)，線與雙曲沒有公共點(diǎn)；12或k或2，線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上就是相應(yīng)的方程組有無實(shí)數(shù)解的問題．直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，特別是只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相的情況之外，還有直線與雙曲線漸近線相平行時(shí)的情況．拋物線同樣也存在這樣的問題，應(yīng)特別引起注意．二、借助于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)探求直線方程例2、已知雙曲線C：2x－=2與點(diǎn)Q(1，1)，試判斷以中點(diǎn)的弦是否存在解以Q為中點(diǎn)的弦存在AB),B(x,y2x11

－y1

－y22

2

=2兩式相減得2(x－)(x)=(y－)(y+y)11又∵x+x=2,y∴2(x－)=y－，k=12

y1x1

=2但漸近線斜率為±2,結(jié)合圖形知直線AB與C交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q中點(diǎn)的弦不存在.點(diǎn)評(píng)：解答利用點(diǎn)法，前提應(yīng)是直線與曲線有交點(diǎn)，故求出斜率后必須進(jìn)行驗(yàn)證，本題的驗(yàn)證利用了數(shù)形結(jié)合法，也可利用判別式法進(jìn)行驗(yàn)證。三、借助于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)探求參數(shù)x22例3、若直線kx與點(diǎn)在x上的橢圓總公共點(diǎn)，求的值范圍．解法一到線與橢圓總有公共點(diǎn)線圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件可求．解：由橢圓方程及橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，知0m．kx由得(m

)x

kx5(1)．又∵直線與橢圓總有公共點(diǎn)，∴上述方程0一切實(shí)數(shù)成，即(10

k)

5(1)，即

≥

1對(duì)切數(shù)k成立．∴1≤，≥1．的取值范圍為解法二：由于直線過定點(diǎn)(0，而直線與橢圓總有公共點(diǎn)，所以定點(diǎn)必橢圓內(nèi)部或邊界上，由點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系的充要條件易求．解：由橢圓的方程及橢圓的焦點(diǎn)在軸知．又∵直線與橢圓總有公共點(diǎn)．∴直線所經(jīng)過的定點(diǎn)(0必橢圓內(nèi)部或邊界上．∴≤1，m≥．的值范圍為mm點(diǎn)評(píng)：解法一由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件求，思路易得，但計(jì)算量大；解法二首先判斷直線是否過定點(diǎn)點(diǎn)在橢圓內(nèi)外還是干脆就在橢圓上然借助曲線特征判斷，思路靈活，且簡捷．總之，討論直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)實(shí)際上就是討論方程組的解的個(gè)數(shù)，在討論方程組的解時(shí)需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論了類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法第2頁共頁

的運(yùn)用。練一練：直線值范圍。

與雙曲線

的右支交于不同的兩點(diǎn)AB求數(shù)的取解：將直線l的程y=kx+1代雙曲線C的程。①依題意，直線l與曲線的支交于不同兩點(diǎn)，故

后，整理得，解得取值范圍為．已知直線ya與線y

恰一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值．解：聯(lián)立方程

x2，（1當(dāng)，此方程組恰有一解為

（2當(dāng)0時(shí)消去x，整理得

y．若a則方程組恰有一解為

若a，令，解得．所以，當(dāng)

時(shí)，原直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)．．試確定

的取