含參單調(diào)性的分類討論教師版

含參單調(diào)性分類討論一、導(dǎo)函數(shù)可因式分解.已知函數(shù)f(X)=x2-(a—2)x-aInx(aeR).求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(x+1)(2x-a)，(x+1)(2x-a)，f(x)=2x-(a-2)-a=2x2-(a-2)x-a當(dāng)a<0時，ff（x）>0對任意xe（0,+s）恒成立，所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時，由f^(x)>0得x>f，由f^(x)<0得0<x<2，（a\ 一?所以，函數(shù)在區(qū)間行,+8上單調(diào)遞增，在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減.12 ） .一,.a-1.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=ax+ 3(aeR)，求函數(shù)①(x)=f(x)+g(x)的單x調(diào)增區(qū)間.a-1解：因?yàn)棰?x)=f(x)+g(x)=Inx+ax+ 3(x>0)，x1a-1ax2+x-(a-1)(ax-(a-1))(x+1)所以①(x)=-+a = = (x>0)，TOC\o"1-5"\h\zx x2 x2 x2a-1①當(dāng)a=0時，由甲(x)>0，解得x>0；②當(dāng)a>1時，由甲(x)>0，解得x> ；a③當(dāng)0<a<1時，由8(x)>0，解得x>0；④當(dāng)a=1時，由甲'(x)>0，解得x>0；a-1⑤當(dāng)a<0時，由8(x)>0，解得0<x< .aa-1綜上所述，當(dāng)a<0時，8(x)的增區(qū)間為(0,——)；當(dāng)0<a<1時，8(x)的增區(qū)間為(0,+8)；aa-1a>1時，8(x)的增區(qū)間為( ,+8).二、導(dǎo)函數(shù)不可因式分解3.函數(shù)f(x)=alnx-x2+x，當(dāng)a<0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：函數(shù)f(x)的定義域是(0,+s),a -2x2+x+af(x)=--2x+1= xx10當(dāng)a<-1時，1+8a<0，當(dāng)x￡(0,+8)時，ff(x)<0，8函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+s)；-.120當(dāng)—-<a<0，1+8a>0，-2x2+x+a=0兩根分別是:8-\1+8a 1+\'1+8ax= >0,x= >0，1 4 2 4當(dāng)x￡(0,\)時，ff(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x式x/x2)時，ff(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xG(x2,+8)時，f，(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上所述：1當(dāng)a<-8時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8)；1 八當(dāng)一一<a<08函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1-J1+8a1+J1+8a)11-J1+8a47r單調(diào)遞減區(qū)間是0,(1+J1+8a—4—,+8.V 74.已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x-1)2(a>0)，討論f(x)的單調(diào)性.1 2ax2-2ax+1解：f(x)=—+2ax-2a= ，(x>0)xx10當(dāng)0<a<2時，f,(x)>0，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)x￡(0,5當(dāng)x￡(0,5)時，f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;fO<0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;(一1 \0<x<-<x20當(dāng)a>2時，設(shè)2ax2—2ax+1=0的兩個根分別為x「x當(dāng)xe(x2,+s)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上所述：略當(dāng)0<a<2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)；當(dāng)a>2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是a-當(dāng)a>2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是a-Ja2—2aa+da2-2a(單調(diào)遞增區(qū)間是0,Va-《a2-2aa+Ja2-2a2aV習(xí)題鞏固：1.已知函數(shù)f(x)=ex(ax2-2x+2)(a>0)，試討論fx)的單調(diào)性.解：由題意得f<x)=ex(ax2-2x+2+2ax-2)=exax2+(2a-2)x令f，(x)=0,解得x=0,x=22a10當(dāng)0<a<1時，f(x)的遞增區(qū)間為(一*0)和,,+8)(C2-2a)遞減區(qū)間為0, VaJ22。當(dāng)a=1時，f，(x)=x2ex>0恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R30一一\ ( 2-2a\當(dāng)a>1時，f(x)的遞增區(qū)間為I-8, VaJ和(0,+8),遞減區(qū)間為、,0)2.已知函數(shù)gQ)=lnx+ax2-(2a+1)x,若a>0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.解：g'(x解：g'(x)二2ax2一(2a+1)x+1 (2ax-1)(x-1)xx定義域?yàn)?0,+s),所以當(dāng)a=0時，g'(x)=—x-1.x由g'(x)>0，得0<x<1,由g'(x)<0,得x>1.當(dāng)a>0時，令g'(x)=0，得x=1或x=—，2aTOC\o"1-5"\h\z41T 1右—<1，即a>.2a 2由g'(x)>0，得x>1或0<x<—，由g'(x)<0,得—<x<1；2a 2a11若一>1,即0<a<-.2a 2由g由g'(x)>0，得0<x<1或x>—,2a由g'(x)<0,得1<x<!；2a11若-—=1,即a=—.2a 2在(0,+8)上恒有g(shù)'(x)>0.綜上所述：r11在1,—上單調(diào)遞減，I2a)(1 )在［五，+8J上當(dāng)ar11在1,—上單調(diào)遞減，I2a)(1 )在［五，+8J上當(dāng)0<a<2時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，2單調(diào)遞增；當(dāng)a=1時，函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>1時，函數(shù)g(x)在f0,二］上單調(diào)遞增，2 V2a)在f^,1］上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)V2a)遞增..設(shè)函數(shù)/⑴=In%-ox2+ax,。eR.討論函數(shù)y=于（x）的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)/G）的定義域是（。，+8），frfr(<x)=--2ax+a='x-2ax2+ax+19令g(x)=-2〃x2+〃1+1,A-?2+8a.lo當(dāng)一8?oV。時，/'（%）＞0,/G）在（0,+oo）上單調(diào)遞增;gG)=-2ax2++1=。的正根是:2o當(dāng)QgG)=-2ax2++1=。的正根是:2o當(dāng)Q〉。,r（Q＞。,函數(shù)/G）單調(diào)遞增;/'（%）＜o(jì),函數(shù)/G）單調(diào)遞減;30當(dāng)〃<一8,g(x)=-2o￥2+〃1+1=。的根是:當(dāng)X￡（O,X）時，/'（x）〉0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增；1當(dāng)X￡（X,X）時，r（x）＜0,函數(shù)/G）單調(diào)遞減；1 2當(dāng)X￡（X,+oo）時，ffG）＞0,函數(shù)/G）單調(diào)遞增.2綜上所述：略.設(shè)a>0，討論函數(shù)f(x)=lnx+a(1-a)x2—2(1—a)x的單調(diào)性.解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+s),1 2a(1—a)x2-2(1—a)x+1/(x)=+2a(1—a)x—2(1—a)= xx當(dāng)a牛1時，方程2a(1—a)x2—2(1—a)x+1的判別式為：A=12(a—1)(a—1I 3J10當(dāng)0<a<3時，A>0，ff(x)有兩個零點(diǎn)分別為：_1 j(a-1)(3a-1) _1 V(a-1)(3a—1)x=~— (~c\) >°，x=^~+ (~C\)>0'12a 2a(1—a) 22a 2a(1—a)且當(dāng)xG(0,x)或xG(x2,+8)時,f，(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xG(xjx2)時,f，(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；20當(dāng)3<a<1時,A<0,ff(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;30當(dāng)a=1時,尸(x)=J>0，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；4。當(dāng)a>1時,A>0,f'(x)有兩個零點(diǎn)分別為：1(aa—1)(3a—1) 1v;(a—1)(3a—1)xi=o—- y( )>0，x=