因式分解的常用方法方法最全最詳細(xì)

因式分解的常用措施第一部分：措施簡介因式分解：因式分解是指將一種多項(xiàng)式化成幾種整式的積的形式，重要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，換元法等因式分解的一般環(huán)節(jié)是：（1）一般采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的環(huán)節(jié)。即一方面看有無公因式可提，另一方面看能否直接運(yùn)用乘法公式；如前兩個(gè)環(huán)節(jié)都不能實(shí)行，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可運(yùn)用公式法繼續(xù)分解；（2）若上述措施都行不通，可以嘗試用配措施、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等措施；。注意：將一種多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解應(yīng)分解到不能再分解為止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（）A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解：三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都具有a，后兩項(xiàng)都具有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式==每組之間尚有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組；解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。第二、三項(xiàng)為一組。解：原式=原式=====練習(xí)：分解因式1、2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，因此只能此外分組。解：原式===例4、分解因式：解：原式===練習(xí)：分解因式3、4、綜合練習(xí)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接運(yùn)用公式——進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；（2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知0＜≤5，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：但凡能十字相乘的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c，都規(guī)定>0并且是一種完全平方數(shù)。于是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6提成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此措施進(jìn)行分解的核心：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7練習(xí)5、分解因式(1)(2)(3)練習(xí)6、分解因式(1)(2)(3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式——條件：（1）（2）（3）分解成果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=練習(xí)7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將當(dāng)作常數(shù)，把原多項(xiàng)式當(dāng)作有關(guān)的二次三項(xiàng)式，運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、例10、1-2y把看作一種整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1）（2）綜合練習(xí)10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。(1)、換單項(xiàng)式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把單項(xiàng)式x3換元，設(shè)x3=m，則x6=m2，原式變形為m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、換多項(xiàng)式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本題前面的兩個(gè)多項(xiàng)式有相似的部分，我們可以只把相似部分換元，設(shè)x2+6=m，則x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式變形為(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=(m+5x)2=(x2+6+5x)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.以上這種換元法，只換了多項(xiàng)式的一部分，因此稱為“局部換元法”.固然，我們還可以把前兩個(gè)多項(xiàng)式中的任何一種所有換元，就成了“整體換元法”.例如，設(shè)x2+4x+6=m，則x2+6x+6=m+2x，原式變形為m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.此外，還可以取前兩個(gè)多項(xiàng)式的平均數(shù)進(jìn)行換元，這種換元的措施被稱為“均值換元法”，可以借用平方差公式簡化運(yùn)算.對于本例，設(shè)m=eq\f(1,2)[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，則x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：這道題的前面是四個(gè)多項(xiàng)式的乘積，可以把它們提成兩組相乘，使之轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積.無論如何分組，最高項(xiàng)都是x2，常數(shù)項(xiàng)不相等，因此只能設(shè)法使一次項(xiàng)相似.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分組為[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，從而轉(zhuǎn)化成例2形式加以解決.我們采用“均值換元法”，設(shè)m=eq\f(1,2)[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，則x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式變形為(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).(3)、換常數(shù)例1分解因式x2(x+1)-×x.分析：此題若按照一般思路解答，很難奏效.注意到、兩個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，把其中一種常數(shù)換元.例如，設(shè)m=，則=m+1.于是，原式變形為x2(x+1)–m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x2+x-m2-m)=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]=x(x-m)(x+m+1)=x(x-)(x++1)=x(x-)(x+).例13、分解因式（1）（2）解：（1）設(shè)=，則原式===（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式=設(shè)，則∴原式====練習(xí)13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）觀測：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)——是有關(guān)的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。措施：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保存系數(shù)，然后再用換元法。解：原式==設(shè)，則∴原式=======（2）解：原式==設(shè)，則∴原式====練習(xí)14、（1）（2）六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配措施。例15、分解因式（1）解法1——拆項(xiàng)。解法2——添項(xiàng)。原式=原式=========（2）解：原式====練習(xí)15、分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必然可分為解：設(shè)=∵=∴=對比左右兩邊相似項(xiàng)的系數(shù)可得，解得∴原式=例17、（1）當(dāng)為什么值時(shí)，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。（2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：設(shè)=則=比較相應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或∴當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng)時(shí)，原式=；當(dāng)時(shí)，原式=（2）分析：是一種三次式，因此它應(yīng)當(dāng)提成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如的一次二項(xiàng)式。解：設(shè)=則=∴解得，∴=21練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4）為什么值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。第二部分：習(xí)題大全典型一：一、填空題1.把一種多項(xiàng)式化成幾種整式的_______的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_______.4、分解因式：=_________________。5.將xn-yn分解因式的成果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為.6、若，則=_________，=__________。二、選擇題7、多項(xiàng)式的公因式是()A、B、C、D、8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是()A、B、C、D、10.下列多項(xiàng)式能分解因式的是（）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把（x－y）2－（y－x）分解因式為（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）12．下列各個(gè)分解因式中對的的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3cB．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）13.若k-12xy+9x2是一種完全平方式，那么k應(yīng)為（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、15、16、17、18、19、；五、解答題20、如圖，在一塊邊長=6.67cm的正方形紙片中，挖去一種邊長=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。dD21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑，外徑長。運(yùn)用分解因式計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，成果保存2位有效數(shù)字)dD22、觀測下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個(gè)等式。典型二：1.通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例1.分解因式分析：這是一種六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別當(dāng)作一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，，分別當(dāng)作一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式解二：原式=2.通過變形達(dá)到分解的目的例1.分解因式解一：將拆成，則有解二：將常數(shù)拆成，則有3.在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：設(shè)，則4.因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀測a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的措施。解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B闡明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥例1.在中，三邊a,b,c滿足求證：證明：闡明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握此類題不能丟分。例2.已知：__________解：闡明：運(yùn)用等式化繁為易。題型展示1.若x為任意整數(shù)，求證：的值不不小于100。解：闡明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一種多項(xiàng)式的值不不小于100，即規(guī)定它們的差不不小于零，把它們的差用因式分解等措施恒等變形成完全平方是一種常用的措施。2.將解：闡明：運(yùn)用因式分解簡化有理數(shù)的計(jì)算。實(shí)戰(zhàn)模擬1.分解因式：2.已知：的值。3.矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4.求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5.已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值。6.已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。典型三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_____。2、則=____=____3、與的公因式是＿4、若=，則m=_______，n=_________。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其成果是_____________________。6、若是完全平方式，則m=_______。7、8、已知?jiǎng)t9、若是完全平方式M=________。10、，11、若是完全平方式，則k=_______。12、若的值為0，則的值是________。13、若則=_____。14、若則___。15、方程，的解是________。二、選擇題：（10分）1、多項(xiàng)式的公因式是（）A、－a、B、C、D、2、若，則m，k的值分別是（）A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（）A、1個(gè)，B、2個(gè)，C、3個(gè)，D、4個(gè)4、計(jì)算的值是（）A、B、三、分解因式：（30分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、四、代數(shù)式求值（15分）已知，，求的值。若x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值已知，求的值五、計(jì)算：（15）（1）0.75（2）（3）六、試闡明：（8分）1、對于任意自然數(shù)n，都能被動(dòng)24整除。2、兩個(gè)持續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)持續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、運(yùn)用分解因式計(jì)算（8分）1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（成果保存兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長。八、教師給了一種多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同窗分別對這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了描述：甲：這是一種三次四項(xiàng)式乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法若這四個(gè)同窗描述都對的請你構(gòu)造一種同步滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將它分解因式。（4分）典型四：因式分解選擇題1、代數(shù)式a3b2－a2b3,a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（）A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式應(yīng)當(dāng)為（）A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y3、把－8m3＋12m2＋A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋3mC、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－6m4、把多項(xiàng)式－2x4－4x2分解因式，其成果是（）A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－2x2(x2＋2)5、（－2）1998＋（－2）1999等于（）A、－21998B、21998C、－219996、把16－x4分解因式，其成果是（）A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)7、把a(bǔ)4－2a2b2＋b4分解因式，成果是（）A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋b)2(a－b)8、把多項(xiàng)式2x2－2x＋分解因式，其成果是（）A、(2x－)2B、2(x－)2C、(x－)2D、(x－1)29、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，則k的值是（）A、±4B、±2C、3D、4或210、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的成果（）A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y211、多項(xiàng)式x2＋3x－54分解因式為（）A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)二、填空題1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)5、x2－(_______)＋16y2=()26、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－z)·(________)9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，則p=_______.三、解答題1、把下列各式因式分解。(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y22、用簡便措施計(jì)算。（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352(3)3、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。四、探究創(chuàng)新樂園若a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋的值。求證：1111－1110－119=119×109五、證明(求值)1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求證：四個(gè)持續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一種完全平方數(shù)．3．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．當(dāng)a為什么值時(shí)，多項(xiàng)式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積．7．若x，y為任意有理數(shù)，比較6xy與x2＋9y2的大?。?．兩個(gè)持續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．典型五：因式分解分類練習(xí)題因式分解—提公因式法1、下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是()A.B.C. D.2、在把分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是()A.B.C.D.3、下列變形是因式分解的是()A.B.C.D.4、多項(xiàng)式