《高等數(shù)學(xué)》教案 03 格林公式及其應(yīng)用

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用內(nèi)容分布圖示★區(qū)域的連通性 ★格林公式★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5★利用格林公式計(jì)算平面圖形的面積★例6 ★例7★關(guān)于曲線積分的幾個(gè)等價(jià)命題★二元函數(shù)的全微分求積★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★例14 ★例15★內(nèi)容小結(jié) ★課堂練習(xí)★習(xí)題10—3 ★返回講解注意：一、格林公式定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有(3.1)其中L是D的取正向的邊界曲線.若在格林公式(3.1)中，令得，上式左端是閉區(qū)域D的面積的兩倍，因此有二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件定理2設(shè)開區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列命題等價(jià)：（1）曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)；（2）表達(dá)式為某二元函數(shù)的全微分；（3）在內(nèi)恒成立；（4）對(duì)內(nèi)任一閉曲線，.由定理的證明過程可見，若函數(shù)，滿足定理的條件，則二元函數(shù)(3.3)滿足，我們稱為表達(dá)式的原函數(shù).或例題選講：例1（講義例1）求，其中為圓周依逆時(shí)針方向（圖10-3-5）例2計(jì)算其中曲線是半徑為的圓在第一象限部分.例3（講義例2）求，其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周（圖10-3-6）.例4計(jì)算其中是以為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.注：本例中，我們通過添加一段簡單的輔助曲線，使它與所給曲線構(gòu)成一封閉曲線，然后利用格林公式把所求曲線積分化為二重積分來計(jì)算.在利用格林公式計(jì)算曲線積分時(shí)，這是常用的一種方法.例5（講義例3）計(jì)算其中L為一條無重點(diǎn),分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.例6（講義例4）求橢圓，所圍成圖形的面積.例7計(jì)算拋物線與軸所圍成的面積.例8計(jì)算其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線弧平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件例9（講義例5）計(jì)算其中L為如圖10-3-11所示的圓弧段例10（講義例6）計(jì)算積分沿不通過坐標(biāo)原點(diǎn)的路徑.例11試求常數(shù),使與路徑無關(guān),并求的值.驗(yàn)證:在整個(gè)面內(nèi),是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出一個(gè)這樣的函數(shù).例13（講義例7）設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),曲線積分與路徑無關(guān),并且對(duì)任意t,總有求例14（講義例8）設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且計(jì)算例15選取使表達(dá)式為某一函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).課堂練習(xí)1.計(jì)算