數(shù)學(xué)建模講座之三用MATLAB求解線性規(guī)劃lin課件

2020/4/21數(shù)學(xué)建模用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃minz=cXbAXts?..1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）2、模型：minz=cXbAXts?..beqXAeq??命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].bAX?2020/4/21數(shù)學(xué)建模3、模型：minz=cXbAXts?..beqXAeq??VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點(diǎn)beqXAeq??4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval.2020/4/21數(shù)學(xué)建模解編寫M文件xxgh1.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例1

max

6543216.064.072.032.028.04.0xxxxxxz??????

85003.003.003.001.001.001.0..654321??????xxxxxxts

70005.002.041??xx

10005.002.052??xx

90008.003.063??xx

6,2,10???jxj

2020/4/21數(shù)學(xué)建模例2

321436minxxxz???

120..321???xxxts

301?x

5002??x

203?x

解:編寫M文件xxgh2.m如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)?????????321)436(minxxxz?????????????????32120030xxx???????????????????????????50120010111

..321xxxts2020/4/21數(shù)學(xué)建模一、問題提出

市場上有n種資產(chǎn)is（i=1,2……n）可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。這n種資產(chǎn)在這一時(shí)期內(nèi)購買is的平均收益率為ir，風(fēng)險(xiǎn)損失率為iq，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的is中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。

購買is時(shí)要付交易費(fèi)，(費(fèi)率ip)，當(dāng)購買額不超過給定值iu時(shí)，交易費(fèi)按購買iu計(jì)算。另外，假定同期銀行存款利率是0r，既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（0r=5%）

投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)2020/4/21數(shù)學(xué)建模已知n=4時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

is

ir（%）

iq（%）

ip（%）

iu（元）

S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定達(dá)到資金M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

2020/4/21數(shù)學(xué)建?；炯僭O(shè)：

1.

投資數(shù)額M相當(dāng)大,為了便于計(jì)算，假設(shè)M=1；

2．投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越??；

3．總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目is中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；

4．n種資產(chǎn)Si之間是相互獨(dú)立的；

5．在投資的這一時(shí)期內(nèi),ri,pi,qi，r0為定值，不受意外因素影響；

6．凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。

二、基本假設(shè)和符號規(guī)定符號規(guī)定：

Si

——第i種投資項(xiàng)目，如股票，債券

ri,pi,qi----分別為Si的平均收益率,風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率

ui----Si的交易定額

0r-------同期銀行利率

xi-------投資項(xiàng)目Si的資金a-----投資風(fēng)險(xiǎn)度

Q----總體收益

ΔQ----總體收益的增量

2020/4/21數(shù)學(xué)建模三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．購買Si所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù),即

pixi

xi>ui

交易費(fèi)

=

piui

xi≤ui而題目所給定的定值ui(單位:元)相對總投資M很小,piui更小,可以忽略不計(jì),這樣購買Si的凈收益為(ri-pi)xi

3．要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小,這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型:

目標(biāo)函數(shù)

MAX???niiiixpr0)(

MINmax{qixi}

約束條件

???niiixp0)1(=M

xi≥0

i=0,1,…n2020/4/21數(shù)學(xué)建模a．

在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixi/M≤a，可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃。

模型1

固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益

目標(biāo)函數(shù)：Q=MAX????11)(niiiixpr

約束條件：

Mxqii≤a

???Mxpii)1(，

xi≥

0

i=0，1，…n

4.模型簡化：2020/4/21數(shù)學(xué)建模b．若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。

模型2

固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)

目標(biāo)函數(shù)：

R=min{max{qixi}}

約束條件：

???niiiixpr0)(≥k，

???Mxpii)1(

，

xi≥

0

i=0，1，…n

2020/4/21數(shù)學(xué)建模c．投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。

因此對風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重s（0＜s≤1)，s稱為投資偏好系數(shù).

模型3

目標(biāo)函數(shù)：

mins{max{qixi}}-（1-s）???niiiixpr0)(

約束條件

???niiixp0)1(=M，

xi≥0

i=0,1,2,…n2020/4/21數(shù)學(xué)建模四、模型1的求解模型1為:

minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,

-0.185)(x0

x1

x2

x3

x4)T

x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1s.t.

0.025x1

≤a

0.015x2

≤a

0.055x3

≤a

0.026x4≤a

xi

≥0

(i=0,1,…..4)

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開始，以步長△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：2020/4/21數(shù)學(xué)建模max

Q=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0,x1,x2,x3,x4)T

x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1s.t.

0.025x1

≤a

0.015x2

≤a

0.055x3

≤a

0.026x4

≤a

xi

≥0

(i=0,1,…..4)

從a=0開始，以步長△a=0.001對下列組合投資模型求解,并繪圖表示a與目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值Q的對應(yīng)關(guān)系:2020/4/21數(shù)學(xué)建模a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')2020/4/21數(shù)學(xué)建模a=0.0030

x=0.4949

0.1200

0.2000

0.0545

0.1154

Q=0.1266a=0.0060

x=0

0.2400

0.4000

0.1091

0.2212

Q=0.2019a=0.0080

x=0.0000

0.3200

0.5333

0.1271

0.0000

Q=0.2112a=0.0100

x=0

0.4000

0.5843

0

0

Q=0.2190a=0.0200

x=0

0.8000

0.1882

0

0

Q=0.2518a=0.0400

x=0.0000

0.9901

0.0000

0

0

Q=0.2673