湖南省長沙市油麻田中學2021年高一數(shù)學理下學期期末試題含解析

湖南省長沙市油麻田中學2021年高一數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若x0是方程式lgx+x=2的解，則x0屬于區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，1.25） C．（1.25，1.75） D．（1.75，2）參考答案：D【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】構造函數(shù)，利用根的存在性定理只要檢驗兩端點函數(shù)值異號即可．【解答】解：構造函數(shù)f（x）=lgx+x﹣2，由f（1.75）=，f（2）=lg2＞0知x0屬于區(qū)間（1.75，2）．故選D【點評】本題考查方程根的問題，解決方程根的范圍問題常用根的存在性定理判斷，也可轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)圖象的交點問題．2.一個三角形的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則cosB=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點】HR：余弦定理．【分析】直接由等差中項的概念結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值可得答案．【解答】解：∵三角形的三個內(nèi)角A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列，∴A+C=2B，又A+C+B=180°，∴3B=180°，則B=60°．cosB=．故選：A．3.下列說法正確的是（）A．函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域可以是空集C．函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集D．函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對應關系也就確定了參考答案：A【分析】利用函數(shù)的定義知：要求定義域中的元素在值域中有唯一的元素與之對應，定義域、值域是非空的，函數(shù)的定義域和值域相同的兩個函數(shù)，不一定是同一函數(shù)，從而判定結(jié)論的真假．【解答】解：由函數(shù)的定義：設A，B是非空數(shù)集，若存在法則f：對于A中的每一個x都有B中唯一確定的y與之對應，稱f：A→B的函數(shù)．函數(shù)的值域中的每一個數(shù)可以有定義域中多個的自變量與其對應所以B，C錯，A正確．函數(shù)的定義域和值域相同的兩個函數(shù)，不一定是同一函數(shù)，故函數(shù)的對應關系也就不確定，故D錯．故選：A【點評】本題主要考查函數(shù)的定義；函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則，同時考查了分析問題的能力，屬于易錯題4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動，則下列判斷中正確的是（

）①平面平面；②平面；③異面直線與所成角的取值范圍是；④三棱錐的體積不變.A.①② B.①②④ C.③④ D.①④參考答案：C【分析】①連接DB1，容易證明DB1⊥面ACD1，從而可以證明面面垂直；②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得；③分析出A1P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變；【詳解】對于①，連接DB1，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1⊥面ACD1，DB1?平面PB1D，從而可以證明平面PB1D⊥平面ACD1，正確．②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得A1P∥平面ACD1，正確．③當P與線段BC1的兩端點重合時，A1P與AD1所成角取最小值，當P與線段BC1的中點重合時，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，錯誤；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變．∴三棱錐A﹣D1PC的體積不變，正確；正確的命題為①②④．故選：B．【點睛】本題考查空間點、線、面的位置關系，空間想象能力，中檔題．5.已知A（0，﹣2），B（3，2）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點，且f（x）是R上的增函數(shù)，則|f（x）|＜2的解集為（）A．（1，4） B．（﹣1，2） C．（0，3） D．（3，4）參考答案：C【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，求得|f（x）|＜2的解集．【解答】解：∵A（0，﹣2），B（3，2）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點，且f（x）是R上的增函數(shù)，∴當x∈[0，3]時，﹣2≤f（x）≤2，即|f（x）|≤2，故不等式|f（x）|＜2的解集為（0，3），故選：C．6.已知k，b∈R，則一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象可以是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)的圖象．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】通過K的討論，判斷函數(shù)的圖象即可．【解答】解：當k＜0，b＜0時，一次函數(shù)y=kx+b的圖象，反比例函數(shù)，A、B、C、D不成立．當k＜0，b＞0，一次函數(shù)y=kx+b的圖象，反比例函數(shù)，A不成立，B成立，C、D不成立．當k＞0，b＜0時，一次函數(shù)y=kx+b的圖象，反比例函數(shù)，A、B、C、D不成立．當k＞0，b＞0時，一次函數(shù)y=kx+b的圖象，反比例函數(shù)，A、B、C、D不成立．當k＜0，b＞0，一次函數(shù)y=kx+b的圖象，反比例函數(shù)，B成立；故選：B．【點評】本題考查直線方程與反比例函數(shù)圖象的判斷，考查計算能力．7.一個體積為8cm3的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積是（）A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2參考答案：B【考點】球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．【分析】先根據(jù)正方體的頂點都在球面上，求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：正方體體積為8，可知其邊長為2，體對角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，表面積為4π2=12π．故選B．8.有下列四個命題：①是空集；②若，則；③集合有兩個元素；④集合是有限集，其中正確命題的個數(shù)是

A、0

B、1

C、2

D、3參考答案：A9.一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（） A．1+ B．2+ C．1+2 D．2參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為等腰直角三角形的三棱錐，結(jié)合題意畫出圖形，利用圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積． 【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是底面為等腰直角三角形的三棱錐，如圖所示； ∴該幾何體的表面積為 S表面積=S△PAC+2S△PAB+S△ABC =×2×1+2××+×2×1 =2+． 故選：B． 【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖的應用問題，解題的關鍵是由三視圖得出幾何體的結(jié)構特征，是基礎題目． 10.不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設f（x）=，則f[f（2）]的值為

．參考答案：2【考點】函數(shù)的值．【分析】先求出f（2）=log3（4﹣1）=1，從而f[f（2）]=f（1），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=log3（4﹣1）=1，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故答案為：2．12.已知在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，，求三角形ABC的外接圓半徑R為

.參考答案：

13.若向量a，b，c兩兩所成的角相等，且|a|=1,|b|=1,|c|=3,則|a+b+c|等于

參考答案：2或5略14.若log2（a+3）+log2（a﹣1）=5，則a=．參考答案：5【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求出a值．【解答】解：log2（a+3）+log2（a﹣1）=5=log232∴，解得a=5，故答案為：5．15.設為數(shù)列的前n項和,則_______.參考答案：16.不等式（x﹣a）（ax﹣1）＜0的解集是，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣1，0）【考點】一元二次不等式的解法．【專題】計算題；方程思想；分析法；不等式的解法及應用．【分析】利用一元二次不等式的解集和對應方程之間的關系，將不等式轉(zhuǎn)化為為一元二次方程根的問題進行求解即可．【解答】解：由題意，實數(shù)a不為零，不等式（ax﹣1）（x+1）＜0可化為：a（x﹣）（x+1）＜0，而不等式的解集為是，說明一方面a＜0，另一方面＜a，解之得﹣1≤a＜0，∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，0）．故答案為：[﹣1，0）．【點評】本題以一元二次不等式的解集為例，考查了一元二次方程與不等式的聯(lián)系等知識點，屬于基礎題．17.若集合有且僅有一個元素，則滿足條件的實數(shù)的取值集合是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知冪函數(shù)f（x）=x9﹣3m（m∈N*）的圖象關于原點對稱，且在R上函數(shù)值隨x的增大而增大．（1）求f（x）表達式；（2）求滿足f（a+1）+f（3a﹣4）＜0的a的取值范圍．參考答案：【考點】冪函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍，從而求出m的值；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（a+1）＜f（4﹣3a），根據(jù)函數(shù)在R上遞增，得到a+1＜4﹣3a，求出a的范圍即可．【解答】解（1）∵函數(shù)在（0，+∞）上遞增，∴9﹣3m＞0，解得m＜3，…（2分）又m∈N*，∴m=1，2．…又函數(shù)圖象關于原點對稱，∴3m﹣9為奇數(shù)，故m=2．…∴f（x）=x3…（6分）（2）∵f（a+1）+f（3a﹣4）＜0，∴f（a+1）＜﹣f（3a﹣4）…（7分）又f（x）為奇函數(shù)，∴f（a+1）＜f（4﹣3a）…（9分）又函數(shù)在R上遞增，∴a+1＜4﹣3a…（11分）∴．…（12分）【點評】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，是一道中檔題．19.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－1≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求實數(shù)m的值；(2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，又B＝{x|m－1≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝2(2)?RB＝{x|x＜m－1，或x＞m＋2}∵A??RB，∴m－1＞3或m＋2＜－1∴m＞4或m＜－3.即m的取值范圍為(－∞，－3)∪(4，＋∞)．略20.sinα，cosα為方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的兩個實根，，求m及α的值．參考答案：【考點】根與系數(shù)的關系；同角三角函數(shù)間的基本關系．【專題】計算題．【分析】通過根與系數(shù)的關系，得到正弦和余弦之間的關系，又由正弦和余弦本身有平方和為1的關系，代入求解，注意角是第四象限角，根據(jù)角的范圍，得到結(jié)果．【解答】解：sinα，cosα為方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的兩個實根∴，且m2﹣2m+1≥0代入（sinα+cosα）2=1+2sinα?cosα，得，又，∴，，∴，又∵，∴．答：，【點評】本題考查根與系數(shù)的關系與同角的三角函數(shù)之間的關系，本題解題的關鍵是需要自己根據(jù)條件寫出關于正弦和余弦的關系式，然后根據(jù)正弦和余弦本身具有的關系和角的位置求出結(jié)果，本題是一個中檔題目．21.已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求m的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為D，若，求m的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.；（3）.試題分析：（1）對二項式系數(shù)進行討論，可得求出解集即可；（2）分為，，分別解出3種情形對應的不等式即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立，利用分離參數(shù)的思想得恒成立，求出其最大值即可.試題解析：（1）①當即時，，不合題意；②當即時，，即，∴，∴（2）即即①當即時，解集為②當即時，∵，∴解集為③當即時，∵，所以，所以∴解集為（3）不等式的解集為，，即對任意的，不等式恒成立，即恒成立，因為恒成立，所以恒成立，設則，，所以，因為，當且僅當時取等號，所以