2024學(xué)年河北省承德市聯(lián)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2024學(xué)年河北省承德市聯(lián)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個(gè)紅球；取出的球恰有1個(gè)白球C.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個(gè)白球；取出的球恰有2個(gè)白球2．和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（）A.， B.2，C.， D.1，3．已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.4．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.5．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或6．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝07．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，8．在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8209．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，其漸近線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)滿足，則（）A. B.C.2 D.410．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過；③若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.912．對(duì)于圓上任意一點(diǎn)的值與x，y無關(guān)，有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，r有最大值1；②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條直線；③當(dāng)時(shí)，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線AP交E于另一點(diǎn)C，直線BP交E于另一點(diǎn)D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________14．在遞增等比數(shù)列中，其前項(xiàng)和，若，，則_________.15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.16．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若為雙曲線上一點(diǎn)，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，，(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知圓，設(shè)P，A，B是C上不同的三點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為，求直線AB的方程.19．（12分）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱、上·（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積20．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值21．（12分）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn)，（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，，求證：為定值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上（1）求圓C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P(0，－2)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝2，求l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.【題目詳解】A答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，既是互斥事件又是對(duì)立事件D答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對(duì)立事件故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是互斥事件和對(duì)立事件的概念，較簡(jiǎn)單.2、C【解題分析】根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念分別求值即可.【題目詳解】和的等差中項(xiàng)為，和的等比中項(xiàng)為.故選：C.3、A【解題分析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計(jì)算.【題目詳解】.故選：A4、A【解題分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.5、B【解題分析】由題可得，即得.【題目詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.6、B【解題分析】由題意，，所以，即，故選B7、D【解題分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【題目詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.8、C【解題分析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，列出數(shù)列的前6項(xiàng)，將其中是數(shù)列的項(xiàng)的所有數(shù)去掉即可求解.【題目詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列的項(xiàng)，且，所以數(shù)列中第7項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為.故選：C.9、B【解題分析】由題意可設(shè)，則，再由，可得，從而可求出的值【題目詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設(shè)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：B10、C【解題分析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進(jìn)而作出圖像，對(duì)于①，通過圖像可知，所求面積為四個(gè)半圓和一個(gè)正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對(duì)于③，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【題目詳解】當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長(zhǎng)之和，即，故②錯(cuò)誤；因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)最小時(shí)，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖像上，因?yàn)榍€的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.11、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【題目詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B12、B【解題分析】可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無關(guān)，圓在兩直線內(nèi)部，則，的距離為，則，，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，r有最大值1，得出結(jié)論；對(duì)于②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條平行與，的直線，得出結(jié)論；對(duì)于③當(dāng)時(shí)，則得出結(jié)論.【題目詳解】設(shè)，故可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無關(guān)，可知直線平移時(shí)，點(diǎn)與直線，的距離之和均為，的距離，即此時(shí)圓在兩直線內(nèi)部，，的距離為，則，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，r有最大值1，正確；對(duì)于②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對(duì)于③當(dāng)時(shí)，則即，解得或，故錯(cuò)誤.故正確結(jié)論有2個(gè)，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分別設(shè)線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法可表示出，由平行關(guān)系易知三點(diǎn)共線，從而利用斜率相等的關(guān)系構(gòu)造方程，代入整理可得到關(guān)系，利用雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而求得離心率.【題目詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)，兩式相減得：…①設(shè)，，線段的中點(diǎn)同理可得：…②，易知三點(diǎn)共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：14、【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，從而解出、，即可求出公比，從而求出，，即可得解；【題目詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以、為方程的兩根，所以或，因?yàn)闉檫f增的等比數(shù)列，所以，所以所以或（舍去），所以，，所以故答案為：15、【解題分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，由此可得出的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.16、17【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義求解【題目詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：17三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）略（2）【解題分析】（1）題中條件，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉(zhuǎn)化為的遞推公式：，從而，，進(jìn)而得證；（2）由（1）可得，，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.18、（1）（2）【解題分析】（1）由拋物線的定義可得結(jié)論；（2）設(shè)，得PA的兩點(diǎn)式方程為，由在拋物線上，化簡(jiǎn)直線方程為，然后由圓心到切線的距離等于半徑得出的關(guān)系式，并利用得出點(diǎn)滿足的等式，同理設(shè)得方程，最后由直線方程的定義可得直線方程【小問1詳解】由題意得動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以曲線C是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)，則，于是C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)，PA的兩點(diǎn)式方程為.由，，可得.因?yàn)镻A與D相切，所以，整理得.因?yàn)?，可?設(shè)，同理可得于是直線AB的方程為.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算知，即可證得結(jié)論；（2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即【小問2詳解】由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時(shí)設(shè)，而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，解得，從而將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.20、（1）-3（2）2【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值.21、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)題意可列出關(guān)于的三個(gè)方程，解出即可得到橢圓C的方程；（2）根據(jù)對(duì)稱可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式可得，然后由點(diǎn)為橢圓C上的點(diǎn)得，代入化簡(jiǎn)即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得，.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)