2023魯教版七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)-第2課時(shí)等邊三角形

第十章三角形的有關(guān)證明

第2課時(shí)等邊三角形

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)3等邊三角形的性質(zhì)定理

1.（2022貴州畢節(jié)月考）如圖，將一等邊三角形沿虛線剪去一個(gè)角后,Nl+N2=

A.1400B.240°C.280°D.3600

2.（2022河南新鄉(xiāng)原陽期末）如圖,AABC為等邊三角形，延長CB到點(diǎn)。使BD=BC.

延長8C到點(diǎn)￡使。七二3。.連接則NZME的度數(shù)是（）

DUCK

A.130°B.120°C.110°D.100°

3.【手拉手模型】（2022山東淄博博山一模）如圖,△ABO小AEC都是等邊三角形,

則N30。的度數(shù)是()

A.135°B.1250C.1200D.1100

知識(shí)點(diǎn)4等邊三角形的判定定理

4.如圖萬是等邊"BC中AC邊上的點(diǎn),N1=N2,8E=C0則對(duì)"DE的形狀最準(zhǔn)確

的判斷是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.不等邊三角形D.不能確定形狀

5.（2022山東濱州博興期末）如圖,A3=4GDB=QC若/43。=60。乃后=3cm,則AB=

cm.

6.（2022河北石家莊裕華期末）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為9,E,F是邊BC

上的三等分點(diǎn)，分別過點(diǎn)居尸沿著平行于BA,CA方向各剪一刀，則剪下的△。石廠的

周長是.

A

ZA\.C

"EF

7.（2022浙江寧波海曙期末）一艘輪船從海平面上A地出發(fā)，沿北偏東50。方向航行

60海里到達(dá)B地，再由B地沿南偏東10。方向航行60海里到達(dá)C地，則A,C兩地相

距海里.

8.（2021陜西咸陽武功期末）如圖，在△A3C中,A8=8C,NABC=120。,8cAe于點(diǎn)D,

且試判斷的形狀，并說明理由.

cE

知識(shí)點(diǎn)5含30。角的直角三角形的性質(zhì)

9.如圖，在AABC中,NACB=90O,CO，A8于點(diǎn)。/4=30。乃。=1,貝1」AB的長度是

)

A.8B.6C.4D.2

10.如圖，有一張簡易的活動(dòng)小茶桌，現(xiàn)測得04=03=30cm,OC=OD=50cm,兩條桌

腿與地面所夾的銳角為30。,則桌面離地面的高度為

________cm.

11.如圖，已知NAOB=60。,點(diǎn)P在邊0A上，點(diǎn)M、N在邊0B上.

⑴若NPNO=60。,證明:APON是等邊三角形；

⑵若PM=PNQP=12,MN=2,求OM的長度.

A

L

0MNR

知識(shí)點(diǎn)6反證法

12.（2022浙江溫州期末）用反證法證明“在"3。中，若AB=AC,貝時(shí)，應(yīng)假

設(shè)（）

A.NBH90°B.ZB=90°

C.N8>90°D.ZB>90°

能力提升全練

13.（2022山東泰安中考,5,蝴）如圖,/i〃b點(diǎn)A在直線/i上，點(diǎn)8在直線/2上,AB=3G

A.70°B.65°C.60°D.55°

14.1角平分線+平行線模型】（2022山東淄博桓臺(tái)期末,4,倘）如圖，在△ABC中,N

ABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)片過點(diǎn)F作Q￡〃8G交AB于點(diǎn)。交AC于點(diǎn)

若AB=4,AC=5,則△ADE的周長為（）

A

D,E

A.8B.9C.10D.13

15.（2022海南中考,9,俄）如圖，直線m//n,LABC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上,

直線相交A3于點(diǎn)￡交AC于點(diǎn)匕若Nl=140。,則N2的度數(shù)是

A.80°B.100°C.120°D.140°

16.【易錯(cuò)題】（2022山東威海乳山模擬,5,播）若等腰三角形一腰上的高與另一腰

的夾角為54。,則該等腰三角形底角的度數(shù)為

A.72°B.72。或36°C.36°D.72。或18°

17.（2022山東濱州中考,14,解）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形淇中A8=AC立

柱A。，3G且頂角N3AC=120。,貝IZC的大小為.

18.（2022浙江溫州中考,20,饋?）如圖乃。是AABC的角平分線,QE〃8C,交AB于點(diǎn)

E.

⑴求證:NEEANEDB；

⑵當(dāng)A3=A。時(shí),請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系,并說明理由.

19.(2022山東濟(jì)寧魚臺(tái)期中,24/愉如圖,zvlBC是等邊三角形.

⑴如圖L0E〃3C,分別交A3、AC于點(diǎn)。、￡求證:AAOE是等邊三角形;

(2)如圖2,LADE仍是等邊三角形，點(diǎn)B在ED的延長線上，連接CE,求NBEC的度

數(shù)及線段4從BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系

圖1圖2

素養(yǎng)探究全練

20.【推理能力】(2020浙江紹興中考)問題:如圖，在AAB。中，區(qū)4=8D,在BD的延長

線上取點(diǎn)￡C,作使E4=EC，若NA4E=9()o,N8=45。,求ND4C的度數(shù).

答案:ND4C=45。.

思考：

⑴如果把響題”中的條件28=458去掉淇余條件不變，那么ND4C的度數(shù)會(huì)改

變嗎?說明理由.

⑵如果把“問題”中的條件“N3=458去掉，將"N3AE=906'改為其余

條件不變，求ND4c的度數(shù).

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.B等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都是60。,根據(jù)三角形外角的定理得/1=60。+180。-/

2,則Nl+N2=240。.故選B.

2.B△ABC為等邊三角形，，NABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=CA.'：

BD=BC,AB=BD.：.ZBAD=ZD=-ZABC=30°.同理可得NCAE=30°.：,Z

。4￡=120°.故選巳

3.CVAABZ),AAEC都是等邊三角形,.,.AQ=A8,AE=ACND4B=NCAE=NADB=

ZDBA=6Q°,六ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC,：.ZDAC=ZBAE,：.ADAC^A

BAE(SAS),六/ADC=/ABE,：.ZBOC=ZBDO+ZDBA+ZABE=ZBDO+ZDBA+

ZADC=ZADB+ZDBA=600+60°=120°,ZBOC的度數(shù)是120。,故選C.

4.B'..△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°l

又Z1=Z2,BE=CD,：.△48E也△AC。

AE=AD,ZCAD=NBAE=60°,

...△AOE是等邊三角形.故選B.

5.答案6

AB=AC,

解析在△A3。和△ACO中,DB=DC,：.AABD^AACD.：.NBAD=/CAD.又：

AD=AD,

AB=AC,：.BE=EC=3cm.BC=6cm.'：AB=AC,NABC=60。,

，AABC為等邊三角形.：.AB=BC=6cm.

6.答案9

解析???等邊三角形紙片ABC的邊長為9.E,F是邊BC上的三等分點(diǎn),，EF=3,

'：/\ABC是等邊三角形,ZB=ZC=60°,

又，：DE〃NB,DF//AC,

：.ZDEF=ZB=60°,ZDFE=ZC=60°,

...△。石廠是等邊三角形，

，4DEF的周長是3x3=9.

7.答案60

解析如圖，

由題意得AB=BC=60海里,/BAD=5。。,NCBE=l()o,AD〃BE,

，ZABE=ZBAD=50°,

，ZABC=ZABE+ZCBE=60°,

.'.△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=60海里，故4c兩地相距60海里.

8.解析是等邊三角形.

理由：：AB=BC,ZABC=120°,BE±AC,

，/CBE=NABE=6U。.

又DE=DB,BELAC,：.CB=CE.

.'.△CEB是等邊三角形.

9.CAABC中,NACB=90o,NA=30。,，ZB=60°,'：CD±AB,：.ZBDC=90°,Z.Z

BCD=30。.在Rt^BCD中，N38=30。/。=1,30=233=2.在RtAABC中，N

A=30°,BC=2,.?.A3=23C=4.故選C.

10.答案40

解析如圖，過O作NMLCD,交AB于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)M,

ANB

C.MI)

'：AB//CD,：.MN±AB,

ZOCD=30°,：.ZABO=30°,

：.ON=^OB=15cm,OgOC=25cm,

：.MN=ON+OM=15+25=4Qcm,

，桌面離地面的高度為40cm.

11.解析⑴證明：：ZAOB=60°,ZPNO=60°,

，ZOPN=60°,：.ZPON=ZPNO=ZOPN,

.'.△PON是等邊三角形.

⑵過P作PHVMN于H,如圖,：PM=PN,

1

：.MH=NH=-MN=1,

2'

在R3PO”中，

NPO”=60。,

11

ZOPH=30°,：.OgOP=；xl2=6,

：.OM=OH-MH=6-1=5.

12.D

能力提升全練

13.A如圖，

AB=BC,ZC=25°,，ZBAC=ZC=25°,：l\//h,Z1=60°,Z

3￡4=180。-60。-25。=95。，

ZBEA=ZC+Z2,/2=95。-25。=70。.故選A.

14.B?/B/平分平分N4GB,

，ZABF=ZFBC,ZACF=ZFCB,

'：DE//BC,

：.ZBFD=ZFBC,ZCFE=ZFCB,

：.NABF=ZBFD,ZACF=ZCFE,

：.BD=FD,CE=FE,

'：AB=4,AC=5,

...△AQE的周長為

AD+DE+AE=AD+FD+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=4+5=9.^^B.

15.BVAABC是等邊三角形,.,.NA=NABC=NC=60o.：Nl=NA+NAEF=140。,

，/4石/=140°-60°=80°,，ZDEB=ZAEF=SQ°,'Zm//n,：.Z2+ZZ)EB=180°/.Z

2=180。-80。=100。,故選區(qū)

16.D在等腰△ABC中,AB=AC,8D為腰AC上的高,N480=54。.

當(dāng)BD在AABC內(nèi)部時(shí)，如圖1,:BD為高，

ZADB=9Q°,ZBAD=90o-54o=36°,；AB=AC,：.ZABC=Z

ACfi=|x(180o-36o)=72°；

當(dāng)BD在外部時(shí)，如圖2；：BD為高，

，ZADB=90°,ZBAD=90°-54o=36o,'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,^'：NBAD=N

ABC+ZACB,：.ZACB=-ZBAD=\S°.

綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為72?；?8。.故選D.

17.答案30°

解析AB=ACSLZBAC=120°,Z.ZC=Zfi=|(180°-ZBAC)=|x60°=30°.

18.解析(1)證明:：8。是△ABC的角平分線，

，ZCBD=ZEBD,

'：DE//BC,：.ZCBD=ZEDB,：.ZEBD=ZEDB.

⑵C￡>=ED,理由如下：

,

：AB=AC,：.ZC=ZABCI

'：DE//BC,：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

，ZADE=ZAED,：.AD=AE,：.CD=BE,

由(1)得/EBD=/EDB,：.BE=DE,：.CD=ED.

19.解析⑴證明:'..△ABC是等邊三角形，

，ZA=ZB=ZC=60o,

'：DE//BC,

：.ZADE=ZB=60°,/AED=ZC=60°,

...是等邊三角形.

⑵由題意知AB=AC,AD=DE=AE,Z34060°,ZDAE=ZADE=ZAED=