高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)(新)第八章.軌跡問題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8.5軌跡問題鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1.曲線與方程的關(guān)系曲線C方程f(x,y）=0.2.求軌跡方程的基本方法①直接求；②代入(相關(guān)點(diǎn)）法;③參數(shù)法;④定義法;⑤待定系數(shù)法.二、點(diǎn)擊雙基1。動(dòng)點(diǎn)P到直線x=1的距離與它到點(diǎn)A(4,0)的距離之比為2，則P點(diǎn)的軌跡是…（）A.中心在原點(diǎn)的橢圓B.中心在（5，0）的橢圓C.中心在原點(diǎn)的雙曲線D。中心在(5,0）的雙曲線答案：B2.若動(dòng)圓與圓(x+2）2+y2=4外切，且與直線x=2相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(）A.y2+8x=0B.y2—8x=0C。y2-12x+12=0D。y2+12x-12=0解析：定義法。動(dòng)圓圓心到定圓圓心（—2，0）與到直線x=4的距離相等(都是動(dòng)圓的半徑），∴p=6?！鄖2=12（x—1)，即選C.答案：C3.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)A（3，1)、B（-1,3)，若點(diǎn)C滿足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()A。3x+2y-11=0B.（x—1）2+（y-1）2=5C。2x-y=0D。x+2y—5=0解析:直接代入法.設(shè)C（x，y),∴（x，y)=α(3，1）+β（—1，3）.∴利用α+β=1，消去α、β得x+2y=5.答案:D4.F1、F2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),A為橢圓上任一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D,則點(diǎn)D的軌跡方程是________________________________。解析：延長F1D與F2A交于B，連結(jié)DO，可知DO=F2B=2，∴動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為x2+y2=4.答案：x2+y2=45。已知A(0，7)、B（0，-7)、C(12，2），以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A、B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是（）A。y2—=1（y≤-1)B.y2-=1C。y2-=—1D。x2—=1解析：由題意｜AC｜=13，｜BC|=15，｜AB|=14,又|AF｜+|AC｜=|BF|+|BC|，∴｜AF｜—|BF｜=｜BC｜—｜AC|=2。故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線下支.又c=7,a=1，b2=48,所以軌跡方程為y2-=1(y≤-1）。答案:A誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】求過點(diǎn)(0,2）的直線被橢圓x2+2y2=2所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)直線方程為y=kx+2，把它代入x2+2y2=2,整理得（2k2+1）x2+8kx+6=0。要使直線和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則Δ＞0,即k＜—或k＞.設(shè)直線與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)、B（x2，y2),中點(diǎn)坐標(biāo)為C(x,y)，則x==-,y=-=.從參數(shù)方程(k＜-或k＞）,消去k得x2+2（y—1）2=2,且｜x｜＜，0＜y＜．【例2】在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=-2，且△PMN的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓的方程.剖析：如下圖，以直線MN為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則所求橢圓方程為+=1。顯然a2、b2是未知數(shù)，但a2、b2與已知條件沒有直接聯(lián)系,因此應(yīng)尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元，或改造已知條件。解法一：如下圖，過P作PQ⊥MN，垂足為Q，令｜PQ|=m，于是可得｜MQ|=｜PQ｜c(diǎn)ot∠PMQ=2m,|QN|=｜PQ|cot∠PNQ=m?！啵麺N|=｜MQ|—｜NQ|=2m-m=m。于是S△PMN=|MN|·|PQ｜=·m·m=1。因而m=，｜MQ｜=2，|NQ|=,｜MN｜=.｜MP|===，|NP｜===。以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0）.則2a=｜MP|+｜NP|=,2c=|MN｜=,故所求橢圓方程為+=1.解法二:設(shè)M（—c,0)、N(c,0），P（x，y）,y＞0,則解之，得x=,y=，c=.設(shè)橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2，則解之，得a2=，b2=3。（以下略）講評：解法一選擇了與a較接近的未知元｜PM|、｜PN|，但需改造已知條件,以便利用正弦定理和面積公式；解法二以條件為主，選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多，但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學(xué)生易于理解和接受的是這兩種解法.鏈接·拓展若把△PMN的面積為1改為·=，求橢圓方程。提示：由tan∠PMN=,tan∠MNP=—2，易得sin∠MPN=,cos∠MPN=。由·=,得||｜｜=.易求得|PM｜=,|PN|=。進(jìn)而求得橢圓方程為+=1.【例3】（2005江蘇高考)如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得PM=2PN,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.剖析:此題是以O(shè)1O2所在直線為x軸,線段O1O2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，把PM、PN的關(guān)系轉(zhuǎn)化為PO1與PO2的關(guān)系，這樣就把P、M、N三個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的問題.解：作直線O1O2，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，連結(jié)O1M、O2N，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y).∵PM、PN分別為⊙O1、⊙O2的切線，∴O1M⊥PM,O2N⊥PN?！唷鱌O1M，△PO2N為直角三角形?！郟O12=PM2+O1M2=PM2+1，PO22=PN2+O2N2=PN2+1?！逷M=PN,∴PM2=2PN2.∴PO12=2PN2+1，①2PO22=2(PN2+1)=2PN2+2。②由②—①得2PO22—PO12=1?！逷O22=(x—2）2+y2，PO12=(x+2)2+y2,∴2[(x—2)2+y2］—[（x+2）2+y2］=1?！?x2-8x+8+2y2—x