新教材數(shù)學人教A版選擇性課件4311等比數(shù)列的概念

第1課時等比數(shù)列的概念1.等比數(shù)列一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的_______的比都等于_______常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(顯然q≠0).必備知識·素養(yǎng)奠基前一項同一個【思考】(1)定義中為什么“從第2項起”,從第1項起可以嗎?提示:因為數(shù)列的第1項沒有前一項,因此必須“從第2項起”.(2)怎樣利用遞推公式表示等比數(shù)列?提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).2.等比中項在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成_________,那么G叫做a與b的等比中項.等比數(shù)列【思考】G是a與b的等比中項,a與b的符號有什么特點?a,G,b滿足的關系式是什么?提示:a與b同號,滿足的關系式是G2=ab.3.等比數(shù)列的通項公式首項為a1,公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項公式為________.an=a1qn-1【思考】等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1與指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)有什么聯(lián)系?提示:an=a1·qn-1=·qn,當q>0且q≠1時,等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)=·qx(x∈R)在x=n時的值,即an=f(n).數(shù)列{an}圖象上的點(n,an)都在指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象上.反之指數(shù)函數(shù)f(x)=ax=a·ax-1(a>0,a≠1)可以構成一個首項為a,公比為a的等比數(shù)列{a·an-1}.

【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于常數(shù),這個數(shù)列一定是等比數(shù)列. ()(2)若G是a與b的等比中項,則G=. ()(3)若a,G,b滿足G2=ab,則a,G,b一定是等比數(shù)列. ()提示:(1)×.應等于同一個常數(shù).(2)×.G=±.(3)×.如0,0,0滿足02=0×0,但不是等比數(shù)列.2.若三個正數(shù)1,b,16成等比數(shù)列,則b=________.

【解析】因為三個正數(shù)1,b,16成等比數(shù)列,所以b==4.答案:43.在等比數(shù)列{an}中,a1=-3,a4=81,則an=________.

【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,解得q=-3,則該數(shù)列的通項an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.答案:(-3)n關鍵能力·素養(yǎng)形成類型一等比數(shù)列基本量的計算【典例】1.在等比數(shù)列{an}中,若a2=3,a5=-24,則a1= ()

2.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2=1,a4a6=64,則公比q= () D.3.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=,則{an}的通項公式an=________.

【思維·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解題.2.將條件用a1,q表示,消元求公比.3.聯(lián)立方程組,利用兩式相除計算解題.【解析】1.選C.設公比為q,則=q3=-8,則q=-2,則a1=2.選C.因為各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以且q>0,解得a1=,q=2,所以公比q=2.3.設等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,因為a2-a3=-2,a1+a3=,所以兩式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q為整數(shù)可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.答案:3n-2【內(nèi)化·悟】計算等比數(shù)列的基本量時常用到哪種運算?提示:常用到兩式相除.【類題·通】關于等比數(shù)列基本量的運算(1)基本量:a1,q,n,an;(2)聯(lián)系:基本量之間的聯(lián)系就是通項公式an=a1qn-1,將條件表示后采用代入、等式相除、整體構造等方法計算.【習練·破】1.(2020·天津高二檢測)在等比數(shù)列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,則a5= ()【解析】選C.根據(jù)題意,在等比數(shù)列{an}中,設其公比為q,已知a3=6,a3-a5+a7=78,則6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.2.(2020·開封高二檢測)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a1=()【解析】選A.設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a1+a2=-1,a1-a3=-3,所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,顯然q≠±1,解得a1=1,q=-2.【加練·固】已知an=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1==5,故a1=5.類型二等比中項及其應用【典例】1.若三個實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其中a=3-,c=3+,則b=()

2.設等差數(shù)列{an}的公差d不為0,a1=9d,若ak是a1與a2k的等比中項,則k等于 ()

【思維·引】1.利用b是a,c的等比中項求值.2.將ak,a2k用d表示出來,再利用等比中項列式求值.【解析】1.選C.三個實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,則b=±2.2.選B.因為an=(n+8)d,又因為=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【內(nèi)化·悟】等比數(shù)列中,a1和a5的等比中項是哪一項?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中項是a3,a2和a8的等比中項是a5.

【類題·通】應用等比中項解題的兩個關注點(1)如果出現(xiàn)等比數(shù)列兩項的乘積時,就要注意考慮是否能轉(zhuǎn)化為等比中項表示;(2)等比中項一般不唯一,但是如果在等比數(shù)列中,還要關注項的關系,如a4是a2,a6的等比中項,而a4=a2q2,因此a4與a2的符號相同.【習練·破】-1,a,b,c,-25是等比數(shù)列,則abc=________.

【解析】設該等比數(shù)列的公比為q,因為b是a,c的等比中項,也是-1,-25的等比中項,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因為b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加練·固】已知數(shù)列-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,求的值.【解析】因為-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,設公差為d,則a2-a1=d=×[(-4)-(-1)]=-1,因為-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若設公比為q,則b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以類型三等比數(shù)列的判定角度1利用定義證明等比數(shù)列【典例】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,2an+1=3an+1.證明:{an+1}是等比數(shù)列.【思維·引】證明為常數(shù),或整體構造證明.【證明】方法一:因為2an+1=3an+1,所以an+1=所以方法二:因為2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以.所以是以為公比的等比數(shù)列.【素養(yǎng)·探】在利用定義法證明等比數(shù)列的過程中,常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理,利用等比數(shù)列的定義進行證明.若將本例中的條件改為“an+1=2an+1”,其他條件不變,證明:{an+1}是等比數(shù)列.證明:因為an+1=2an+1,所以所以{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列.角度2已知Sn與an的關系證明等比數(shù)列【典例】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=an+b(n∈N*,b∈R,b≠0).(1)求證:{an}是等比數(shù)列;(2)求證:{an+1}不是等比數(shù)列.【思維·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的關系證明;(2)算出數(shù)列的前三項進行證明.【證明】(1)因為Sn=an+b,所以當n≥2時Sn-1=an-1+b,兩式相減得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,所以an=an-an-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比為q=3的等比數(shù)列.(2)令n=1,則S1=a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以數(shù)列{an+1}的前三項為a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因為b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.

【類題·通】關于等比數(shù)列的證明(1)定義法①涉及an+1,an,an-1的式子,將關系式代入后證明或(n≥2)為常數(shù).②涉及Sn與an的式子,則利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判斷an,an-1或an+1,an的關系證明.(2)等比中項法證明=an-1an+1(n≥2)即可,常用于證明表達式較為復雜的三項成等比數(shù)列.【習練·破】(2020·西城高二檢測)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=p-23-n,其中n∈N*.(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項公式;(2)判斷數(shù)列{}和{nan}是否為等比數(shù)列?證明你的結論.【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q.因為Sn=p-23-n,所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1,因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列,所以q=,所以

所以p=8,a1=4,所以an=4×=23-n;(2)數(shù)列{}是等比數(shù)列,{nan}不是等比數(shù)列.證明如下:由(1)得=(23-n)2=43-n,所以所以數(shù)列{}是以為公比的等比數(shù)列,由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3項分別為4,4,3構不成等比數(shù)列,故{nan}不是等比數(shù)列.【加練·固】已知數(shù)列{an}是首項為2,公差為-1的等差數(shù)列,令bn=,求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項公式.【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,故所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.因為b1=所以bn=×2n-1=2n-3.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且a1=1,a4=8,則a6= ()【解析】選C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.2.在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=6,a3=3,則公比q的值為 ()C.-或1 D.-或-1【解析】選C.因為a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以=2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=-.3.已知