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2024年甘南市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則A. B. C. D.2.已知橢圓:的左,右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,且的三邊長(zhǎng),,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.3.已知曲線的一條對(duì)稱軸方程為,曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B. C. D.4.一個(gè)頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有()A. B. C. D.5.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,例如:,,,那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.6.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該校考生的升學(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同7.在中,D為的中點(diǎn),E為上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且,相交于點(diǎn)P,則()A. B.C. D.8.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}9.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.10.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為()A. B. C. D.11.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}12.已知直線與圓有公共點(diǎn),則的最大值為()A.4 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若圓上有且僅有一對(duì)點(diǎn),使得的面積是的面積的2倍,則的值為_(kāi)______.14.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).15.已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,則的值為_(kāi)_16.雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______,離心率為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與曲線C交于點(diǎn)A(不同于極點(diǎn)O),與直線l交于點(diǎn)B,求的最大值.18.(12分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡(jiǎn)求值:.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對(duì)于,使得成立,求的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:,恒成立.21.(12分)已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊,滿足(1)求內(nèi)角的大?。?)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.22.(10分)已知拋物線,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為,.(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí),求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點(diǎn)睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.2、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡(jiǎn)得;由橢圓定義知的周長(zhǎng)為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.3、C【解析】
在對(duì)稱軸處取得最值有,結(jié)合,可得,易得曲線的解析式為,結(jié)合其對(duì)稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對(duì)稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對(duì)稱性,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.4、B【解析】
計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個(gè),從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線人數(shù),2016年二本達(dá)線人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線人數(shù),2019年藝體達(dá)線人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類的題目.7、B【解析】
設(shè),則,,由B,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,,因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,所以,,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛?,所?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和,進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集,補(bǔ)集的概念,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】
根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn),得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A,所以,解得,因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離,即,解得,此時(shí),因?yàn)?,在遞增,所以的最大值.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
寫出所在直線方程,求出圓心到直線的距離,結(jié)合題意可得關(guān)于的等式,求解得答案.【詳解】解:直線的方程為,即.圓的圓心到直線的距離,由的面積是的面積的2倍的點(diǎn),有且僅有一對(duì),可得點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍,可得過(guò)圓的圓心,如圖:由,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.14、(1),;(2),.【解析】
(1)利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)利用參數(shù)方程,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問(wèn)題,即可求得.【詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及利用參數(shù)方程求距離的最值問(wèn)題,屬中檔題.15、1【解析】
根據(jù)弦長(zhǎng)為半徑的兩倍,得直線經(jīng)過(guò)圓心,將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得.【詳解】解:圓的圓心為(1,1),半徑,
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2,
所以直線經(jīng)過(guò)圓心(1,1),
,解得.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.16、22【解析】
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,根據(jù)周長(zhǎng)為,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長(zhǎng)為:.當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立,故,即實(shí)軸長(zhǎng)為,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,離心率,實(shí)軸長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1):,直線:;(2).【解析】
(1)由消參法把參數(shù)方程化為普通方程,再由公式進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化;(2)由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程,求出極徑,把比值化為的三角函數(shù),從而可得最大值、【詳解】(1)消去參數(shù)可得曲線的普通方程是,即,代入得,即,∴曲線的極坐標(biāo)方程是;由,化為直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,,,當(dāng)時(shí),取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,掌握公式可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.18、(1)(2)【解析】
(1)求曲線和曲線圍成的圖形面積,首先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0、1,然后求在區(qū)間上的定積分.(2)首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計(jì)算出,然后再整體代入可得;【詳解】解:(1)聯(lián)立解得,,所以曲線和曲線圍成的圖形面積.(2)∴【點(diǎn)睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論確定的正負(fù),確定單調(diào)區(qū)間;(2)題意說(shuō)明,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,由(1)可得的最小值,從而得出結(jié)論.【詳解】解:(1)定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),即在上增;當(dāng)時(shí),即得得綜上所述,當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)由題在上增由(1)當(dāng)時(shí),在上增,所以此時(shí)無(wú)最小值;當(dāng)時(shí),在上減,在上增,即,解得綜上【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查不等式恒成立問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,求出兩函數(shù)的最小值后可得結(jié)論.20、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)將不等式化為,利用零點(diǎn)分段法,求得不等式的解集.(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證,恒成立,由的最小值為,得到只要證,即證,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式,證得上式成立.【詳解】(1)∵,∴,即當(dāng)時(shí),不等式化為,∴當(dāng)時(shí),不等式化為,此時(shí)無(wú)解當(dāng)時(shí),不等式化為,∴綜上,原不等式的解集為(2)要證,恒成立即證,恒成立∵的最小值為-2,∴只需證,即證又∴成立,∴原題得證【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法,基本不等式等知識(shí);考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類與整合思想.21、(1)(2)【解析】
(1)首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到,再由同角三角三角的基本關(guān)系得到,即可求出角;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理可得:,則,得到,再利用輔助角公式化簡(jiǎn),最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值
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