湖北省黃石市第八中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

湖北省黃石市第八中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，，若，則（

）A．{－1,3}

B．{－2,3}

C．{－1,－2,3}

D．{3}參考答案：A2.若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則的值為（

）A.

B.3

C.0

D.參考答案：A，因?yàn)閺?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，所以。3.已知集合，則a=() A．1

B．-1

C．±1 D．0參考答案：C略4.執(zhí)行右邊的程序框圖1，輸出的T=A．6

B．8

C．10

D．15

參考答案：C略5.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，且其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=sin（ωx）的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于直線x=對稱 B．關(guān)于直線x=對稱C．關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱 D．關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由條件利用正弦函數(shù)的周期性，以及正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=sin（2x）的圖象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心為（﹣，0），k∈Z，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，以及正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．6.定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)，均有成立，則稱函數(shù)f(x)在定義域D上滿足利普希茨條件.若函數(shù)滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值為（）A.4 B.3 C.1 D.參考答案：D試題分析：由已知中中利普希茨條件的定義，若函數(shù)滿足利普希茨條件，所以存在常數(shù)k，使得對定義域[1，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)，均有成立，不妨設(shè)，則．而0＜＜，所以k的最小值為．故選D.考點(diǎn)：1.新定義問題；2.函數(shù)恒成立問題．7.右邊是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入的x值為3時(shí)，輸出y的結(jié)果也恰好是，則？處的關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的公差等于（

）

A.1

B.3

C.5

D.6

參考答案：B略9.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:根據(jù)下表可得回歸方程中的b=10.6，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為10萬元時(shí)銷售額為A.112.1萬元 B.113.1萬元 C.113.9萬元 D.111.9萬元參考答案：D【知識點(diǎn)】線性回歸方程I4

∵==3.5，==43，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴線性回歸方程是y=10.6x+5.9，∴廣告費(fèi)用為10萬元時(shí)銷售額為10.6×10+5.9=111.9萬元，故選：C．【思路點(diǎn)撥】求出所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，求出方程中的一個(gè)系數(shù)，得到線性回歸方程，把自變量為10代入，預(yù)報(bào)出結(jié)果．10.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：6.12u1.54.047.51218.01則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是 ()A．u＝log2t

B．u＝2t－2C． D．u＝2t－2x參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），給出下列結(jié)論：①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]；②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是≤a≤，其中所有正確結(jié)論的序號為．參考答案：①②④【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；分類討論；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】①分段求函數(shù)的值域，從而確定分段函數(shù)的值域，②由三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；③g（x）∈[﹣3a+2，2﹣a]，f（x）∈[0，]，從而判斷；④可判斷若不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立時(shí)，﹣3a+2＞或2﹣a＜0，從而解得．【解答】解：∵0≤x≤，∴0≤﹣x+≤，=2（x+2）+﹣8，∵＜x≤1，∴＜x+2≤3，∴＜2（x+2）+﹣8≤，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]，故①正確；∵x∈[0，1]，∴x+π∈[π，π+]，∴函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，故②正確；∵g（x）=asin（x+π）﹣2a+2∈[﹣3a+2，2﹣a]，而函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]，∴當(dāng)2﹣a＜0，即a＞2時(shí)，[﹣3a+2，2﹣a]∩[0，]=?，故③錯(cuò)誤；∵x∈[0，1]，∴x+π∈[π，π+]，∴sin（x+π）∈[﹣1，﹣]，∴asin（x+π）﹣2a+2∈[﹣3a+2，2﹣a]，若不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴﹣3a+2＞或2﹣a＜0，解得，a＜或a＞；故實(shí)數(shù)a的取值范圍是≤a≤，故正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的化簡與應(yīng)用．12.已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)其導(dǎo)函數(shù)的值為

參考答案：2略13.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件（為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)的最大值是，則實(shí)數(shù)的值是

▲

.參考答案：14.正方體的棱長為，是它的內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點(diǎn)之間的連線段稱為球的弦），為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦最長時(shí)，的取值范圍是

．參考答案：略15.設(shè)函數(shù),則＿＿＿參考答案：16.（文）某高校隨機(jī)抽查720名的在校大學(xué)生，詢問他們在網(wǎng)購商品時(shí)是否了解商品的最新信息，得到的結(jié)果如右表，已知這720名大學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，了解商品最新信息的概率是，則

.參考答案：200了解商品最新信息的人數(shù)有，由，解得17.已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），則雙曲線的焦距為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值．參考答案：(1)當(dāng)對稱軸x＝a<0時(shí)，如圖①所示．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且滿足a<0，∴a＝－1；(1)當(dāng)對稱軸0≤a≤1時(shí)，如圖②所示．當(dāng)x＝a時(shí)，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝．∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；(3)對稱軸x＝a，當(dāng)a>1時(shí)，如圖③所示．當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且滿足a>1，∴a＝2.綜上可知，a的值為－1或2.

19.（本小題13分）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．參考答案：解：（Ⅰ），.當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于單調(diào)遞減.所以.所以對任意，于是，所以是等差數(shù)列.（Ⅱ）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以①當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因此.此時(shí)，是等差數(shù)列.②當(dāng)時(shí)，對任意，此時(shí)，是等差數(shù)列.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有.所以對任意正數(shù)，取正整數(shù)，故當(dāng)時(shí)，.

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分10分）設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)和的解析式；（2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）定義，且

①當(dāng)時(shí)，求的解析式；已知下面正確的命題：當(dāng)時(shí)，都有恒成立.②對于給定的正整數(shù)，若方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定的取值范圍；

若將這些根從小到大排列組成數(shù)列，求數(shù)列所有項(xiàng)的和.參考答案：解：（1）函數(shù)函數(shù)

……4分（2），……6分當(dāng)時(shí)，則有恒成立.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有恒成立.綜上可知當(dāng)或時(shí)，恒成立；………8分（3）①當(dāng)時(shí)，對于任意的正整數(shù)，都有故有…13分②由①可知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)命題的結(jié)論可得，當(dāng)時(shí)，有，故有.因此同理歸納得到，當(dāng)時(shí)，……15分對于給定的正整數(shù)，時(shí)，解方程得，，要使方程在上恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對于任意，必須恒成立，解得,若將這些根從小到大排列組成數(shù)列，由此可得

.……17分故數(shù)列所有項(xiàng)的和為：.……18分

略21.（13分）（2014秋?豐臺區(qū)期末）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=λan﹣1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求證：當(dāng)λ≠0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）如果λ=2，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅲ）如果[an]表示不超過an的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列{[（λ﹣1）an]}的通項(xiàng)公式．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列的概念及簡單表示法；等比關(guān)系的確定．

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）當(dāng)λ≠0，1時(shí)，設(shè)，由于an=λan﹣1+1，可得當(dāng)n≥2時(shí)，=λ為常數(shù)．即可證明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=2時(shí)，{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的是等比數(shù)列，可得an+1=2n，即nan=n?2n﹣n．再利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：an=．設(shè)cn=（λ﹣1）an=λn﹣1=，由二項(xiàng)式定理可知：為整數(shù)，即可得出．解答：（Ⅰ）證明：當(dāng)λ≠0，1時(shí)，設(shè)，∵an=λan﹣1+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，===λ為常數(shù)．∵，∴數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為λ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知λ=2時(shí)，{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的是等比數(shù)列，∴an+1=2n，nan=n?2n﹣n．設(shè)An=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，則2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1．相減得=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴．設(shè)Bn=1+2+…+n=，則Sn=An﹣Bn=．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：=．設(shè)cn=（λ﹣1）an=λn﹣1=，由二項(xiàng)式定理可知：為整數(shù)，∴[cn]=，（k∈N*）．∴[cn]=﹣．點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、“取整函數(shù)的性質(zhì)”、二項(xiàng)式定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．22.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列.（1）若，且成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）在（1）的條件下，數(shù)列{an}的前n和為Sn，設(shè)，若對任意的，不等式恒成立，求突數(shù)的最小值:（3）若數(shù)列{an}中有兩項(xiàng)可以表示位某個(gè)整數(shù)的不同次冪，求證:數(shù)列{an}中存在無窮多項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.參考答案：（1）的通項(xiàng)公式．（2）實(shí)數(shù)的最小值為．（3）有等比數(shù)列，其中．本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。（1）因?yàn)橐驗(yàn)橛忠驗(yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列，故，利用等差數(shù)列的某兩項(xiàng)可知其通項(xiàng)公式的求解。（2）因?yàn)?，可知其的通?xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。（3）因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù)，并且不相等，所以，設(shè)其中是數(shù)列的項(xiàng)，是大于1的整數(shù)，