中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題08-《一次函數(shù)》解答題重點題型分類（有解析）

中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題08-《一次函數(shù)》解答題重點題型分類（有解析）中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題08-《一次函數(shù)》解答題重點題型分類（有解析）PAGEPAGE1中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題08-《一次函數(shù)》解答題重點題型分類（有解析）專題08《一次函數(shù)》解答題重點題型分類專題簡介：本份資料專攻《一次函數(shù)》中"待定系數(shù)法求解析式”、"交點問題及直線圍成的面積問題”、"一次函數(shù)的應(yīng)用”解答題重點題型;適用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者考前刷題時使用.考點1：待定系數(shù)法求解析式方法點撥：依據(jù)兩個獨立的條件確定k,b的值,即可求解出一次函數(shù)y=ｋx＋ｂ(ｋ≠0)的解析式.已知是直線或一次函數(shù)可以設(shè)y＝ｋx＋ｂ(ｋ≠０);若點在直線上,則可以將點的坐標(biāo)代入解析式構(gòu)建方程.1．已知直線經(jīng)過點,兩點,求這條直線的表達式．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法將兩個點代入解析式求解即可得出一次函數(shù)解析式．【詳解】解：依題意把點、分別代入得：,解之得：,∴該直線的表達式為．【點睛】題目主要考查利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式,熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．2．若y﹣2與2x+3成正比例,且當(dāng)x＝1時,y＝12．(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)求當(dāng)x＝1時,函數(shù)y的值．【答案】(1)y＝4x+8;(2)12【分析】(1)利用正比例函數(shù)的定義,設(shè)y﹣2＝k(2x+3),然后把已知的對應(yīng)值代入求出k得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)計算自變量為1對應(yīng)的y的值即可．【詳解】解：(1)設(shè)y﹣2＝k(2x+3),把x＝1,y＝12代入得12﹣2＝5k,解得k＝2,所以y﹣2＝2(2x+3),所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x+8;(2)當(dāng)x＝1時,y＝4x+8＝4+8＝12．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函數(shù)y=kx的定義條件是：k為常數(shù)且k≠0．3．已知y+3與x+2成正比例,且當(dāng)x＝﹣3時,y＝7．(1)寫出y與x之間的函數(shù)表達式;(2)當(dāng)x＝﹣3時,求y的值;(3)若y的取值范圍是﹣3≤y≤3,求x的取值范圍．【答案】(1)y＝﹣10x﹣23;(2)7;(3)﹣2.6≤x≤﹣2【分析】(1)設(shè),把x、y的值代入求出k的值,即可求得函數(shù)表達式;(2)把代入函數(shù)表達式,即可求得y的值;(3)由題意得出關(guān)于x的不等式組,求解不等式組即可得到x的取值范圍．【詳解】解：(1)設(shè),把,代入得：,解得：,∴,∴y與x之間的函數(shù)表達式為：;(2)把代入,得：;(3)根據(jù)題意得：,解得：,∴x的取值范圍為：．【點睛】題目主要考查利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式及解不等式組,熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．4．已知y是x的一次函數(shù),下表列出了部分y與x的對應(yīng)值,求m的值．x102y5m7【答案】3【分析】利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式,然后把x＝0代入解析式即可求得m的值．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的表達式為．代入(1,5),(2,7)兩點,得：∴解得：∴一次函數(shù)表達式為y=2x+3．把(0,m)代入y=2x+3,解得m=3【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,正確解方程組求得k和b的值是關(guān)鍵．5．如圖,已知點A(﹣6,0)、點B(0,4)．(1)求直線AB所對應(yīng)的函數(shù)表達式;(2)在直線AB上有點P,滿足點P到x軸的距離等于8,求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=x+4(2)點P的坐標(biāo)為(6,8)或(-18,-8)【分析】(1)設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y=kx+b,把點A(﹣6,0)、點B(0,4)分別代入y=kx+b,解出k、b即可;(2)在直線AB上有點P,滿足點P到x軸的距離等于8,那么點P的縱坐標(biāo)可能是8也可能是-8,把它代入直線AB的解析式求出點P的橫坐標(biāo)即可．(1)解：設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y=kx+b,把點A(﹣6,0)、點B(0,4)分別代入y=kx+b得,解得：∴直線AB的函數(shù)表達式為y=x+4(2)解：∵點P到x軸的距離等于8∴點P的縱坐標(biāo)為,則當(dāng)y=8時,x+4＝8解得：x=6當(dāng)y=-8時,x+4＝-8解得：x=-18∴點P的坐標(biāo)為(6,8)或(-18,-8)【點睛】本題考查了一次函數(shù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點,解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．6．如圖,已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過,B(1,4)兩點．(1)求一次函數(shù)的解析式,并在直角坐標(biāo)系中畫出其圖象．(2)當(dāng)時,求x的取值范圍．【答案】(1),見解析(2)當(dāng)時,【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式;用描點法即可作出函數(shù)圖象;(2)求出直線與x軸的交點,利用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果．(1)將,B(1,4)兩點代入,得,解得所以一次函數(shù)的解析式為．作圖如圖．(2)令,得．∴一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為．由圖可知,當(dāng)時,．7．已知一次函數(shù)y＝kx﹣2,當(dāng)x＝2時,y＝﹣3．(1)求一次函數(shù)的解析式;(2)將該函數(shù)的圖象向上平移6個單位長度,求平移后的圖象與x軸交點的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,直接寫出y＞0時,x的取值范圍．【答案】(1)(2)(8,0)(3)x＜8【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可;(2)根據(jù)題意求得平移后的解析式,令即可求解;(3)根據(jù)與x軸交點的坐標(biāo)以及一次函數(shù)的增減性即可求解．(1)解：當(dāng)x＝2時,y＝﹣3,∴﹣3＝2k﹣2,

則,

∴,(2)圖象向上平移6個單位長度,∴,

當(dāng)y＝0時,x＝8,

∴平移后的圖象與x軸交點的坐標(biāo)為(8,0),(3)與x軸交點的坐標(biāo)為(8,0),則y＞0時,x的取值范圍為x＜8【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式,一次函數(shù)的平移,一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點,根據(jù)直線與軸的交點求不等式的解集,掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．一次函數(shù)為常數(shù),且．(1)若點,在一次函數(shù)的圖象上,求的值;(2)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、三象限,求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)把點,代入函數(shù)解析式進行求解即可;(2)根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,然后問題可求解．(1)解：將點代入,,,;(2)解：∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、三象限,∴,解得：．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點2：交點問題及直線圍成的面積問題方法點撥：兩直線交點坐標(biāo)必滿足兩直線解析式,求交點就是聯(lián)立兩直線解析式求方程組的解;復(fù)雜圖形"外補內(nèi)割”即：往外補成規(guī)則圖形,或分割成規(guī)則圖形(三角形);往往選擇平行于坐標(biāo)軸的線段作為底,底所對的頂點的坐標(biāo)確定高;1．如圖,直線L1的解析表達式為：y＝?3x＋3,且L1與x軸交于點D,直線L2經(jīng)過點A、B,直線L1,L2交于點C,點C的橫坐標(biāo)為2．(1)求點D的坐標(biāo);(2)求直線L2的解析表達式;(3)求△ADC的面積;(4)在直線L2上存在異于點C的另一點P,使得△ADP與△ADC的面積相等,求出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)D(1,0)(2)y＝x﹣6(3)(4)(6,3)【分析】(1)把代入,得出一元一次方程,解方程,得出點的橫坐標(biāo),則點的坐標(biāo)為;(2)根據(jù)點在的函數(shù)圖象上,可求點坐標(biāo)為,通過圖象可知用待定系數(shù)法,求出直線的函數(shù)關(guān)系式;(3)先根據(jù),的函數(shù)關(guān)系式,求出兩條直線的交點坐標(biāo),把作為的底,點的縱坐標(biāo)的絕對值為邊上的高,即可求解;(4)根據(jù)與的面積相等,底相等,得出邊上的高也相等,在根據(jù)點縱坐標(biāo)為,則點的縱坐標(biāo)為3,然后把代入,得出點的橫坐標(biāo),即可求解．(1)解：,令,得,解得：,;(2)解：設(shè)直線的解析式為,點的橫坐標(biāo)為2,且在上,,圖象可得：,,代入表達式,,解得,直線的解析式為,(3)解：如圖所示：,令,得,解得：,,;,,;(4)解：點與點到的距離相等,點的縱坐標(biāo)為3,當(dāng)時,,解得,點坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系的方法,解題的關(guān)鍵是利用二元一次方程組與一次函數(shù)之間關(guān)系,求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．2．如圖,正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點,一次函數(shù)圖象經(jīng)過點,與y軸的交點為D,與x軸的交點為C．(1)求一次函數(shù)表達式;(2)求D點的坐標(biāo);(3)求的面積．(4)不解關(guān)于x、y的方程組,直接寫出方程組的解．【答案】(1)y=－x+2(2)D(0,2)(3)3(4)【分析】(1)根據(jù)題意可得m=-1,進而得到P(-1,3),再利用待定系數(shù)法,即可求解;(2)令x=0,即可求解;(3)先求出點C(2,0),再根據(jù)三角形的面積公式,即可求解;(4)根據(jù)正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點,即可求解．(1)解：∵正比例函數(shù)y=-3x的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點P(m,3),∴-3m=3,解得：m=-1,∴P(-1,3),把(1,1)和(-1,3)代入一次函數(shù)y=kx+b,得：,解得,,∴一次函數(shù)解析式是y=-x+2

;(2)解：由(1)知一次函數(shù)表達式是y=-x+2

令x=0,則y=2

即點D(0,2);(3)解：由(1)知一次函數(shù)解析式是y=-x+2令y=0,

∴-x+2=0,解得：x=2,

∴點C(2,0),∴OC=2,

∵P(-1,3),∴△COP的面積=OC.=×2×3=3;(4)解：∵正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點,∴方程組的解為．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),兩直線的交點問題,熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖,一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像與x軸正半軸交于點A,與一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖像交于點B(m,1),且OA＝4(1)求k,b的值;(2)求一次函數(shù)y＝kx＋b,y＝2x﹣3的圖像與x軸所圍成的三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)點B(m,1)在一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖像上,求出m的值,從而求出B點坐標(biāo),由A、B兩點坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝kx＋b列出方程組求出結(jié)果;(2)設(shè)一次函數(shù)y=2x一3的圖象與x軸的交點為C,求出C點坐標(biāo),根據(jù)三角形面積公式即可求得結(jié)論．(1)解：點B(m,1)在一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖像上,解得m=2,B(2,1),OA＝4,A在x軸上,A(4,0),A(4,0),B(2,1)兩點在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像上,,解得,(2)解：如圖1,直線BC：y＝2x﹣3,C(,0),A(4,2),B(2,1),．答：圖像與x軸所圍成的三角形的面積為．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,兩直線平行或相交問題,三角形的面積．利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,進而求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點是解題的關(guān)鍵．4．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象分別與x,y軸交于A,B兩點,正比例函數(shù)的圖象與交于點．(1)求m的值及的解析式;(2)若點M是直線上的一個動點,連接OM,當(dāng)?shù)拿娣e是面積的2倍時,請求出符合條件的點M的坐標(biāo);(3)一次函數(shù)的圖象為,且,,不能圍成三角形,直接寫出k的值．【答案】(1),的解析式為(2)或(3)或【分析】(1)設(shè)的解析式為,將點的坐標(biāo)代入的解析式,即可求解;(2)設(shè),進而根據(jù)題意列出方程,解方程求解即可;(3)根據(jù)題意,則或,進而即可求得的值(1)與交于點．設(shè)的解析式為,將點的坐標(biāo)代入的解析式,可得,,,解得,,的解析式為(2)設(shè),,令,則,令,則,又的面積是面積的2倍,即解得或或(3)一次函數(shù)的圖象為,且,,不能圍成三角形,或或【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合,求一次函數(shù)解析式,求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積,一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題,一次函數(shù)的平移,掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示,平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線相交于點,直線與軸相交于點．過直線上的一點作軸的垂線,交直線于點,連接．(1)求點的坐標(biāo);(2)求的面積;(3)將直線向下平移4個單位長度得到直線,設(shè)直線與軸相交于點,則直線上是否存在一點,使得是以為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出的坐標(biāo),若不存在,請說明理由．【答案】(1)點A的坐標(biāo)為()(2)(3)(0,1)或(,)或(,)【分析】(1)聯(lián)立方程組,求出方程組的解即可得到答案;(2)把P(a,-1)代入y=x+1求得a=-2,即P(-2,-1),再求出點C的坐標(biāo)為(2,-1),故可得PC=4,點A到PC的距離為,點B到PC的距離為1,求出和,依據(jù)可得結(jié)論;(3)求出平移后的直線與y軸的交點D的坐標(biāo)(0,-1),得DP=2,設(shè)Q(m,m+1),根據(jù)兩點間距離公式求出DQ,PQ的長,然后分DP=DQ,DP=PQ兩種情況討論求解即可．(1)∵直線與直線相交于點,∴聯(lián)立方程組,解得,∴點A的坐標(biāo)為()(2)∵點在直線上∴∴∴∵軸∴點C的縱坐標(biāo)為-1又點C在直線上,∴∴∴∴,點A到PC的距離為∴∵直線與軸相交于點,∴當(dāng)y=0時,x+1=0,解得,x=-1∴B(-1,0)∴點B到PC的距離為1∴∴;(3)把直線y=-2x+3向下平移4個單位后得直線y=-2x+3-4=-2x-1令x=0,則y=-1∴D(0,-1)∴DP=0-(-2)=2∵Q在直線上,∴設(shè)Q(m,m+1)∴當(dāng)DP=DQ時,即∴經(jīng)檢驗,是原方程的解,當(dāng)m=0時,Q(0,1)當(dāng)m=-2時,Q(-2,-1)與點P重合,不存在,故舍去;當(dāng)DP=PQ時,即∴經(jīng)檢驗,是原方程的解,當(dāng)時,Q(,)當(dāng)時,Q(,)綜上,點Q的坐標(biāo)為(0,1)或(,)或(,)【點睛】本題主要考查了兩條相交直線的交點求法,一次函數(shù)圖象的平移,等腰三角形的性質(zhì)以及運用割補法求三角形面積等知識,熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l：分別交x軸,y軸于點A、B,將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到．(1)求直線的解析式;(2)若直線與直線l相交于點C,求的面積．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)直線l的解析式先確定出點A、B的坐標(biāo),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合圖象可得,設(shè)直線的解析式為(為常數(shù)),將兩點代入求解即可得;(2)聯(lián)立兩個一次函數(shù)求解可得點,結(jié)合圖形得出,利用三角形面積公式求解即可得．(1)解：由直線分別交x軸、y軸于點A、B,當(dāng)時,;當(dāng)時,;∴,∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)而得到,∴,故,設(shè)直線的解析式為(為常數(shù)),∴,解得：,∴直線的解析式為;(2)解：聯(lián)立兩個一次函數(shù)為：,解得：,∴點,∵,∴,∴的面積為．【點睛】題目主要考查直線與坐標(biāo)軸交點問題及利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),兩個函數(shù)交點問題等,理解題意,結(jié)合圖象,綜合運用一次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖,過點A的兩條直線l1,l2分別與y軸交于點B,C,其中點B在原點上方,點C在原點下方,已知AB＝,B(0,3)．(1)求點A的坐標(biāo);(2)若△ABC的面積為4,求直線l2的表達式．(3)在(2)的條件下,在直線l1上是否存在點M,使得△OAM的面積與△OCA的面積相等?若存在,求出M點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由．【答案】(1)A(2,0)(2)y＝(3)存在,M的坐標(biāo)為(,1)或(,﹣1)【分析】(1)先根據(jù)勾股定理求得AO的長,再寫出點A的坐標(biāo);(2)先根據(jù)△ABC的面積為4,求得CO的長,再根據(jù)點A、C的坐標(biāo),運用待定系數(shù)法求得直線l2的解析式;(3)求出直線l1的表達式為y=?x+3,設(shè)M(m,-m+3),根據(jù)△OAM的面積與△OCA的面積相等且△OAM與△OCA同底,即可得到結(jié)論．(1)解：∵B(0,3),∴OB=3,在Rt△AOB中,OA=,∴A(2,0);(2)解：∵S△ABC=BC?OA,∴4=?BC×2,解得BC=4,∴OC=BC-OB=4-3=1,∴C(0,-1),設(shè)直線l2的表達式為y=kx+b,將A(2,0),C(0,-1)代入y=kx+b,得：,解得,∴直線l2的表達式為y=x?1;(3)(3)設(shè)直線l1的表達式為y=k1x+b1將A(2,0),B(0,3)代入y=k1x+b1,得,解得,∴直線l1的表達式為y=?x+3,∵△OAM的面積與△OCA的面積相等且△OAM與△OCA同底,∴兩個三角形的高都為OC=1,∴點M的縱坐標(biāo)為±1且點M在直線l1上,令y=1,則1=?x+3,解得x=,令y=-1,則?1=?x+3,解得x=,∴M的坐標(biāo)為(,1)或(,-1)．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了兩條直線的交點問題,三角形的面積公式,解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理以及待定系數(shù)法．8．如圖,已知直線經(jīng)過點,與x軸交于點B,點C在x軸上,且,直線與y軸交于點D．(1)求點A,B的坐標(biāo);(2)求直線的表達式;(3)若點P是線段上的一點,求與面積之差的最大值．【答案】(1),(2)直線的表達式為;(3)△PBO與△PCO面積之差的最大值為12.【分析】(1)將代入直線中,得出a值,即可求得點A坐標(biāo),令y=0,得x值,即可得到點B坐標(biāo);(2)過A作AE⊥x軸于點E,則E(-2,0),由等腰三角形三線合一性質(zhì),可得EC=8,進而OC=EC-OE=6,可得點C坐標(biāo),待定系數(shù)法即可求直線的表達式;(3)過點P作PF⊥x軸于點F,連接PO、PB,可得S△PBO-S△PCO=2PF,當(dāng)點P與A重合時,PF最大,即可求得△PBO與△PCO面積之差的最大值.(1)解：將代入直線中,得：=6,,令y=0,得=0,解得x=-10,,即：,(2)解：過A作AE⊥x軸于點E,則E(-2,0),∵AB=AC,∴EC=BE=(-2)-(-10)=8,∴OC=EC-OE=8-2=6,∴C(6,0),設(shè)直線的表達式為y=kx+b,把、C(6,0)代入,得,解得：,∴直線的表達式為;(3)解：過點P作PF⊥x軸于點F,連接PO、PB,∵S△PBO=OB·PF,S△PCO=OC·PF,∴S=S△PBO-S△PCO=PF·(OB-OC)=×(10-6)·PF=2PF,∵點P在線段AD上,∴當(dāng)點P與A重合時,PF=AE最大,∴S最大=2×6=12,因此△PBO與△PCO面積之差的最大值為12.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積、直線與坐標(biāo)軸的交點、等腰三角形三線合一等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會添加輔助線．9．在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=8cm,BC=6cm,AD=10cm,以CD所在直線為x軸,以經(jīng)過點A并且與CD垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)．點P,Q分別是線段AB和CD上的動點,點P以1cm/s的速度從點B向點A運動,同時點Q以2cm/s的速度從點D向點C運動,當(dāng)其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t(s)(0＜t＜8),請回答下列問題：(1)用含t的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo);(2)設(shè)四邊形PBCQ的面積為Scm2,求S與t之間的關(guān)系式．(3)在運動過程中,是否存在某一時刻t,使四邊形PBCQ的面積恰為四邊形ABCD面積的?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;(4)連接BQ,求t為何值時,直線BQ與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-2)?【答案】(1)點P的坐標(biāo)為(t-8,6);(2)S=-3t+48(0＜t＜8);(3)不存在,理由見解析(4)t=5時,直線BQ與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-2)．【分析】(1)首先求出PB=tcm,則AP=(8-t)cm,再利用平行線的性質(zhì)得OA=BC=6,AP=8-t,即可求解;(2)用含t的代數(shù)式表示BP,CQ,再利用梯形的面積公式即可求解;(3)求出四邊形ABCD面積,根據(jù)四邊形PBCQ的面積恰為四邊形ABCD面積的可得關(guān)于t的方程,解方程即可求解;(4)由題意得直線BQ過點B(-8,6),點(0,-2),利用待定系數(shù)法求直線BQ的解析式,可得直線BQ與x軸的交點Q的坐標(biāo),求出DQ的值,由DQ=2t即可求解．(1)解：由題意得：PB=tcm,則AP=(8-t)cm,∵AB∥CD,∠BCD=90°,∴∠ABC=∠BCD=90°,∵∠AOC=90°,∴四邊形ABCO是矩形,∴AB=OC=8cm,OA=BC=6cm,∴點P的坐標(biāo)為(t-8,6);(2)解：由題意得：PB=tcm,CQ=CD-DQ,∵AD=10cm,OA=BC=6cm,∠AOD=90°,∴OD==8(cm),∴CQ=CD-DQ=OC+OD-DQ=(16-2t)cm,∴四邊形PBCQ的面積為S=(t+16-2t)×6=-3t+48(0＜t＜8);(3)解：不存在,理由如下：四邊形ABCD面積：(AB+CD)?BC=×(8+16)×6=72(cm2),由題意得：-3t+48=×72,解得t=10,∵0＜t＜8,∴t=10不合題意,∴不存在某一時刻t,使四邊形PBCQ的面積恰為四邊形ABCD面積的;(4)解：由題意得直線BQ過點B(-8,6),點(0,-2),設(shè)直線BQ的解析式為y=kx+b,∴,解得,∴直線BQ的解析式為y=-x-2,當(dāng)y=0時,0=-x-2,解得x=-2,∴直線BQ與x軸的交點Q的坐標(biāo)為(-2,0),∵OD=8cm,∴D(8,0),∴DQ=10=2t,解得t=5,∴t=5時,直線BQ與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-2)．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題,考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,面積的計算,勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．考點3：一次函數(shù)的應(yīng)用方法點撥：(1)認(rèn)真分析實際問題中變量之間的關(guān)系;(2)若具有一次函數(shù)關(guān)系,則建立一次函數(shù)的關(guān)系式;(3)利用一次函數(shù)的有關(guān)知識解題1．某公司經(jīng)營甲、乙兩種商品,每件甲種商品進價12萬元,售價14.5萬元;每件乙種商品進價8萬元,售價10萬元,且它們的進價和售價始終不變．(1)現(xiàn)準(zhǔn)備購進甲、乙兩種商品共20件,所用資金不低于190萬元不高于200萬元,該公司有哪幾種進貨方案?(2)在第(1)小題的條件下,該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤?最大利潤是多少?(3)利用第(2)小題中所求得的最大利潤再次進貨,請直接寫出獲得最大利潤的進貨方案．【答案】(1)有三種進貨方案：①購甲種商品8件,乙種商品12件;②購甲種商品9件,乙種商品11件;③購甲種商品10件,乙種商品10件(2)乙種商品10件時,可獲得最大利潤,最大利潤是45萬元(3)購甲種商品1件,乙種商品4件時,可獲得最大利潤為10.5萬元【分析】(1)關(guān)系式為：甲種商品總進價乙種商品總進價,根據(jù)此不等關(guān)系列不等式組求解即可;(2)利潤甲種商品數(shù)量乙種商品數(shù)量,整理后按(1)中自變量的取值算出最大利潤;(3)用最大利潤45萬元來進貨,用最大利潤進貨,沒有總件數(shù)限制,但要考慮盡量把錢用完．分以下五種情況討論,通過計算比較即可．①全進甲,能購買3件;②全進乙,能購買5件;③甲進1件,同時乙進4件;④甲進2件,同時乙進2件;⑤甲進3件,同時乙進1件．(1)解：設(shè)購進甲種商品件,乙種商品件,根據(jù)題意得,解得,為非負整數(shù),取8,9,10,有三種進貨方案：①購甲種商品8件,乙種商品12件;②購甲種商品9件,乙種商品11件;③購甲種商品10件,乙種商品10件．(2)設(shè)利潤為元,則,購甲種商品10件,乙種商品10件時,可獲得最大利潤,最大利潤是45萬元．(3)①全進甲,能購買3件,利潤為萬元;②全進乙,能購買5件,利潤為萬元;③甲進1件,同時乙進4件,利潤為萬;④甲進2件,同時乙進2件,利潤為萬元;⑤甲進3件,同時乙進1件,利潤為萬元;所以購甲種商品1件,乙種商品4件時,可獲得最大利潤為10.5萬元．【點睛】解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意,找到符合題意的不等關(guān)系式,及所求量的等量關(guān)系．要會用分類的思想來討論問題并能用不等式的特殊值來求得方案的問題．2．某市出租車計費方法如圖所示,x(km)表示行駛里程,y(元)表示車費,請根據(jù)圖象回答下面的問題：(1)出租車的起步價是多少元?當(dāng)時,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)若行駛2km、8km分別要多少車費?(3)若某乘客有一次乘出租車的車費為32元,求這位乘客乘車的里程．【答案】(1)起步價8元,(2)8元,18元(3)15km【分析】(1)從圖像上可以看出起步價為8元,當(dāng)x>3時,設(shè)函數(shù)關(guān)系式為,利用待定系數(shù)法求解析式即可;(2)x<3時,付費為8元,x>3時,將x=8代入即可;(3)將y=32代入,即可求出里程．(1)解：由圖可知,出租車的起步價為8元;當(dāng)x>3時,設(shè)函數(shù)關(guān)系式為,將x=3,y=8;x=5,y=12代入得：,解得：,∴當(dāng)x>3時,設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：．(2)∵2<3,∴行駛2km,費用為8元,∵8>3,∴將x=8代入,得：y=18,即：行駛8km,費用為18元．(3)∵32>8,∴將y=32代入,得：x=15,∴這位乘客乘車的里程為15km．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)應(yīng)用題中的生活問題,能夠看懂函數(shù)圖像代表的意義,了解打車問題中的起步價的意義是解題的關(guān)鍵．3．如圖,直線y＝﹣3x+6交x軸和y軸于點A和點B,點C(0,﹣3)在y軸上,連接AC．(1)求點A和點B的坐標(biāo);(2)若點P是直線AB上一點,若△BCP的面積為18,求點P的坐標(biāo);(3)過點B的作直線BE交x軸于點E(E點在點A右側(cè)),當(dāng)∠ABE＝45°時,直接寫出直線BE的函數(shù)表達式．【答案】(1)A(2,0),B(0,6)(2)P(4,-6)或(﹣4,18)(3)【分析】(1)將分別代入解析式,求解相應(yīng)的的值即可;(2)：如圖1,連接PC,設(shè)點P(a,﹣3a+6),則,計算求解的值,進而可得點坐標(biāo);(3)當(dāng)∠ABE＝45°,如圖2,過點A作AD⊥AB交BE于點D,過點D作DH⊥x軸,△BAD為等腰直角三角形,證明△AOB≌△DHA(AAS),進而可得D,設(shè)直線BE的表達式為y＝kx+b,待定系數(shù)法求解即可．(1)解：∵y＝﹣3x+6交軸和y軸于點A和點B,∴當(dāng)x＝0時,y＝6;當(dāng)y＝﹣3x+6＝0時,解得x＝2,∴A(2,0),B(0,6)．(2)解：如圖1,連接PC,設(shè)點P(a,﹣3a+6)則,解得a＝±4,∴點P(4,-6)或(﹣4,18)．(3)解：當(dāng)∠ABE＝45°,如圖2,過點A作AD⊥AB交BE于點D,過點D作DH⊥x軸,∵∠ABE＝45°,∴△BAD為等腰直角三角形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°,∴∠BAO+∠DAH＝90°,∠DAH+∠ADH＝90°,∴∠BAO＝∠ADH,在△AOB與△DHA中,∵,∴△AOB≌△DHA(AAS),∵OA＝2,OB＝6,∴OH＝OA+AH＝2+6＝8,DH＝2,∴D(8,2),設(shè)直線BE的表達式為y＝kx+b,將D(8,2),B(0,6),代入得,解得∴故直線BE的表達式為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點,三角形全等,一次函數(shù)與幾何綜合,一次函數(shù)解析式等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運用．4．某書店計劃同時購進A,B兩類圖書,已知購進3本A類圖書和4本B類圖書共需288元;購進6本A類圖書和2本B類圖書共需306元,(1)A,B兩類圖書每本的進價各是多少元?(2)該書店計劃用4500元全部購進兩類圖書,設(shè)購進A類x本,B類y本．①求y關(guān)于x的關(guān)系式;②進貨時,A類圖書的購進數(shù)量不少于60本,已知A類圖書每本的售價為38元,B類圖書每本的售價為50元,若書店全部售完可獲利W元,求W關(guān)于x的關(guān)系式,并說明應(yīng)該如何進貨才能使書店所獲利潤最大,最大利潤為多少元?【答案】(1)A,B兩類圖書每本的進價分別是36元和45元．(2)①;②應(yīng)該購進A類圖書60本,B類圖書52本才能使書店所獲利潤最大,最大利潤為380元．【分析】(1)設(shè)A,B兩類圖書每本的進價分別是a和b元,根據(jù)題意即可列出關(guān)于a、b的一元二次方程組,解出a、b,即得出答案．(2)①根據(jù)題意即可直接得出關(guān)系式為;②將①所求關(guān)系式變形為．根據(jù)題意可列出W與x、y的關(guān)系式,再將代入,即得出W與x的關(guān)系式．最后根據(jù)題意,結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì),即得出答案．(1)解：設(shè)A,B兩類圖書每本的進價分別是a和b元．依題意可列方程組：,解得：．故A,B兩類圖書每本的進價分別是36元和45元．(2)解：①根據(jù)題意即得出關(guān)系式為：．②∵,∴根據(jù)題意可知：,且,將代入,得：,整理得：．∵,∴W隨x的增大而變小,∴當(dāng)時,W有最大值,最大值為．將代入,得：．故應(yīng)該購進A類圖書60本,B類圖書52本才能使書店所獲利潤最大,最大利潤為380元．【點睛】本題考查一元二次方程組的實際應(yīng)用,一次函數(shù)的實際應(yīng)用．理解題意,找出等量關(guān)系,列出等式是解題關(guān)鍵．5．為了凈化空氣,美化校園環(huán)境,某學(xué)校計劃種植A,B兩種樹木．已知購買20棵A種樹木和15棵B種樹木共花費2680元;購買10棵A種樹木和20棵B種樹木共花費2240元．(1)求A,B兩種樹木的單價分別為多少元．(2)如果購買A種樹木有優(yōu)惠,優(yōu)惠方案是：購買A種樹木超過20棵時,超出部分可以享受八折優(yōu)惠．若該學(xué)校購買m(m＞0,且m為整數(shù))棵A種樹木花費w元,求w與m之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)在(2)的條件下,該學(xué)校決定在A,B兩種樹木中購買其中一種,且數(shù)量超過20棵,請你幫助該學(xué)校判斷選擇購買哪種樹木更省錢．【答案】(1)A種樹木的單價為80元,B種樹木的單價為72元;(2);(3)當(dāng)20＜m＜40時,選擇購買B種樹木更省錢;當(dāng)m＝40時,選擇購買兩種樹木的費用相同;當(dāng)m＞40時,選擇購買A種樹木更省錢【分析】(1)設(shè)A種樹每棵x元,B種樹每棵y元,根據(jù)"購買20棵A種樹木和15棵B種樹木共花費2680元;購買10棵A種樹木和20棵B種樹木共花費2240元”列出方程組,解方程組即可;(2)分0≤m≤20,m＞20兩種情況根據(jù)(1)求出的單價即可得w與m之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)根據(jù)B種樹的單價求出費用和(2)求得的函數(shù)關(guān)系式進行解答即可．(1)解：設(shè)A種樹木的單價為α元,B種樹木的單價為b元．根據(jù)題意,得,解得：,答：A種樹木的單價為80元,B種樹木的單價為72元;(2)解：根據(jù)題意得,當(dāng)0＜m≤20時,w＝80m;當(dāng)m＞20時,w＝80×20+80×0.8(m﹣20)＝64m+320,∴w與m之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝;(3)解：根據(jù)題意購買B種數(shù)目的費用為72m當(dāng)64m+320＞72m時,解得m＜40,即當(dāng)20＜m＜40時,選擇購買B種樹木更省錢;當(dāng)64m+320＝72m時,解得m＝40,即當(dāng)m＝40時,選擇購買兩種樹木的費用相同;當(dāng)64m+320＜72m時,解：m＞40,即當(dāng)m＞40時,選擇購買A種樹木更省錢．答：當(dāng)20＜m＜40時,選擇購買B種樹木更省錢;當(dāng)m＝40時,選擇購買兩種樹木的費用相同;當(dāng)m＞40時,選擇購買A種樹木更省錢．【點睛】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題,列分段函數(shù),最佳省錢方案設(shè)計,解不等式,掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題方法與步驟,列分段函數(shù)的方法,最佳省錢方案設(shè)計是解題關(guān)鍵．6．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB和直線BC相交于點,直線AB與y軸相交于點A,直線BC與x軸、y軸分別交于點,點C．(1)求直線AB的解析式．(2)過點A作BC的平行線交x軸于點E,求點E的坐標(biāo)．(3)在(2)的條件下,點P是直線AB上一個動點,且點P在x軸的上方,如果以點D、E、P、Q為頂點的平行四邊形的面積等于三角形ABC的面積．①求出點P的坐標(biāo)．②畫出所有情況并直接寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=x+4(2)(2,0)(3)①P(-2,2);②畫見解析,Q1(1,2),Q2(-5,2),Q3(3,-2)【分析】(1)設(shè)過點A,B的直線,求得b,k而求得直線解析式;(2)首先設(shè)過點A且平行于直線BC的直線為y=kx+c,則可求得k的值,所求直線后代入點A,求得c則得到直線;(3)在(2)的基礎(chǔ)上,求得點P的有關(guān)坐標(biāo),求得△ABC面積,代入點P而求得點P,進而求得點Q．(1)解：設(shè)直線AB為y=kx+b,代入點B,A,則,解得b=4,k=1,∴直線AB為y=x+4;(2)設(shè)過點A且平行于直線BC的直線為y=kx+c,根據(jù)題意得：k=＝?2,則直線AE的直線為y=-2x+c,則代入點A得c=4,則直線AE為y=-2x+4,則點E為(2,0);(3)①∵點D(-1,0)、點B(-2,2),設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,則,解得：,∴直線BD的解析式為：y=-2x-2,∴點C(0,-2),∴AC=6,∴S△ABC=×6×2=6,∵DE=2-(-1)=3,∴以點D、E、P、Q為頂點的平行四邊形的高為6÷3=2,∵點P是直線AB上一動點且在x軸的上方,∴點P的縱坐標(biāo)為4,∴2=x+4,∴x=-2,即點P的坐標(biāo)為(-2,2);②若點Q在x軸上方,則PQ∥DE,且PQ=DE,此時點Q1(1,2),Q2(-5,2);若點Q在x軸下方,則Q3(3,-2);∴Q1(1,2),Q2(-5,2),Q3(3,-2)．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的運用,考查了過兩點確定一條直線,考查了知道直線斜率和一點求直線,直線間的交點,形成四邊形而求面積．7．如圖1,在一次航海模型船訓(xùn)練中,A1B1和A2B2是水面上相鄰的兩條賽道(看成兩條互相平行的線段)．甲船在賽道A1B1上從A1處出發(fā),到達B1后,以同樣的速度返回A1處,然后重復(fù)上述過程;乙船在賽道A2B2上以2m/s的速度從B2處出發(fā),到達A2后以相同的速度回到B2處,然后重復(fù)上述過程(不考慮每次折返時的減速和轉(zhuǎn)向時間)．若甲、乙兩船同時出發(fā),設(shè)離開池邊B1B2的距離為y(m),運動時間為t(s),甲船運動時,y(m)與t(s)的函數(shù)圖象如圖2所示．(1)甲船在30≤t≤60時,y關(guān)于t的函數(shù)表達式為;(2)求出乙船由B2首次到達A2的時間,并在圖2中畫出乙船在3分鐘內(nèi)的函數(shù)圖象;(3)請你根據(jù)(2)中所畫的圖象直接判斷,若從甲、乙兩船同時開始出發(fā)到3分鐘為止,甲、乙兩船共相遇了幾次?并求出第二次相遇的時間．【答案】(1)y=3t-90(2)45秒,圖象見解析(3)5次,54秒【分析】(1)由于甲船在賽道A1B1上從A1處出發(fā),到達B1后,以同樣的速度返回A1處,然后重復(fù)上述過程,又因為y表示船離開池邊B1B2的距離,所以圖2中當(dāng)t=0時對應(yīng)的y值即為賽道的長度;因為30秒鐘甲船從A1處運動到B1處,即30s運動90m,根據(jù)速度=路程÷時間,即可求出甲船的速度;根據(jù)圖象的形狀,可判斷出甲船在30＜t≤60時,y都是t的一次函數(shù),設(shè)出其解析式,再運用待定系數(shù)法求解;(2)乙船的速度為2m/s,由B2到達A2的路程為賽道的長度90m,根據(jù)時間=路程÷速度,即可求出乙船由B2到達A2的時間為45s;乙船在3分鐘內(nèi)可運動2個來回,每45s可從賽道一端運動到另外一端,起點在原點,據(jù)此在圖2中畫出乙船在3分鐘內(nèi)的函數(shù)圖象;(3)兩個圖象的交點個數(shù)即為相遇次數(shù),聯(lián)立2個解析式可求出第二次相遇的時間;(1)解：圖2中,∵t=0時,y=90,∴賽道的長度是90m;∵甲船30s運動90m,∴速度為90÷30=3(m/s);當(dāng)30＜t≤60時,設(shè)y=mt+n,將(30,0),(60,90)代入,得,解得,則y=3t-90(30＜t≤60);故答案為：y=3t-90．(2)解：∵賽道的長度為90米,乙船的速度為2米/秒,∴乙船由B2到達A2的時間為90÷2=45(秒);∴乙船在3分鐘內(nèi)的函數(shù)圖象如圖3所示：(3)解：從圖3可知甲、乙共相遇5次．設(shè)乙第二段的解析式為：y=ax+b,把(45,90),(90,0)代入,得,解得,∴y=-2t+180,令-2t+180=3t-90,解得t=54;∴共相遇了5次,第二次相遇的時間為54s．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用,主要涉及了分段函數(shù),數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y＝﹣2x＋2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B．線段AB的垂直平分線交y軸于點C．(1)點A的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為;(2)試求點C的坐標(biāo);(3)如圖2,作直線AC,小明認(rèn)為,直線AC在第二象限的部分上存在一點P使得△PAB≌△OBA,連接OP,求證：．【答案】(1),(2)(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)題目所給一次函數(shù)解析式,當(dāng)y=0時,可求得A的橫坐標(biāo),當(dāng)x=0時,可以求出B點的縱坐標(biāo),進而求得結(jié)果;(2)設(shè),根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到,再列出方程,即可求得,從而求得點C的坐標(biāo);(3)根據(jù),即可證得,再根據(jù),證得,進而求得,從而命題得證．(1)解：當(dāng)y=0時,,∴,∴點,當(dāng)x=0時,,∴點,故答案為：,;(2)解：設(shè),則,在中,,∵的垂直平分線交于點C,∴,∴,∴,∴;(3)證明：∵,∴,∴,即：,∴,∵,∴,∴,∴．【點睛】本題考察了由一次函數(shù)的解析式求點的坐標(biāo),線段垂直平分線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識,