2022-2023學(xué)年河北省石家莊市辛集市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年河北省石家莊市辛集市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①?1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)是某一元二次方程的根，則a?A.3 B.2 C.0 D.12.下列命題中成立的是(

)A.各個面都是三角形的多面體一定是棱錐

B.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

C.一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐

D.各個側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體3.在所有的兩位數(shù)(10?99)中，任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被2或3A.13 B.23 C.124.從3，4，5，6四個數(shù)中任取三個數(shù)作為三角形的三邊長，則構(gòu)成的三角形是銳角三角形的概率是(

)A.14 B.13 C.125.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：

甲組：27，30，37，m，40，50；

乙組：24，n，33，44，48，52．

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則mn等于(

)A.43 B.107 C.1276.某地區(qū)為了解最近11天該地區(qū)的空氣質(zhì)量，調(diào)查了該地區(qū)過去11天PM2.5的濃度(單位：μg/m3)，數(shù)據(jù)依次為53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，m(A.71 B.75.5 C.79 D.727.在△ABC中，AD為BC上的中線，G為AD的中點，M，N分別為線段AB，AC上的動點(不包括端點A，B，C)，且M，N，G三點共線，若A.32 B.52 C.2 8.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosAA.(23,1) B.(1二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，則下列命題中正確的是A.若sinA>sinB，則A>B

B.若△ABC是邊長為1的正三角形，則AB?BC=10.設(shè)有兩條不同的直線m、n和兩個不同的平面α、β，下列命題中錯誤的命題是(

)A.若m/?/α，n/?/α，則m/?/n

B.若m?α，n?α，m//β，11.若z(1+i)=A.|z|=1 B.z2=2i

C.12.甲、乙兩盒中皆裝有若干個不同色的小球，從甲盒中摸出一個紅球的概率是13，從乙盒中摸出一個紅球的概率是12，現(xiàn)小明從兩盒各摸出一個球，每摸出一個紅球得3分，摸出其他顏色小球得0分，下列說法中正確的是(

)A.小明得6分的概率為56 B.小明得分低于6分的概率為56

C.小明得分不少于3分的概率為56 D.小明恰好得三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知OA=(?2,m)，OB，=(n,1)，OC14.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如8=3+5，在不超過11的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是______(用分數(shù)表示15.在擲一個骰子的試驗中，事件A表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則事件A+B?發(fā)生的概率為______.(B?16.在△ABC中，已知AB=2，AC=2四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知a,b是兩個單位向量，且a與b的夾角為π4．

(1)求|2a+b18.(本小題12.0分)

已知復(fù)數(shù)z1=1a+2+(a2?1)i，z2=2+2(a19.(本小題12.0分)

在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°．

(120.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=∠BCD=π2，AB=BC=1，P21.(本小題12.0分)

甲，乙兩人進行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，設(shè)有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為12，負的概率為13，且每局比賽之間的勝負相互獨立．

(1)求第三局結(jié)束時乙獲勝的概率；

22.(本小題12.0分)

我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(單位：噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費，為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求直方圖中a的值；

(2)設(shè)該市有50萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：對于①，?1的平方根有兩個，分別為i和?i，故①錯誤；

對于②，1的平方根是?1和1，故②錯誤；

對于③，令a=1，b=0，則a+bi=1是方程x2+x?2=0的一個根，但方程x2+x?2=0的另一個根是x=?2，并非a?bi=1，

實際上，只有實系數(shù)方程的虛根才是共軛復(fù)數(shù)，故③錯誤；

對于④，設(shè)z=i的平方根為x+yi(x,y∈R)，則(x+2.【答案】B

【解析】解：對A，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起，

所得多面體的每個面都是三角形，但這個多面體不是棱錐，如圖，故A錯誤；

對B，若棱柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，

則側(cè)棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；

對于C，如圖所示，若AB=AC=CD=BD=4，BC=AD=3，

滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時底面BCD不是正三角形，故C錯誤；

3.【答案】B

【解析】解：在所有的兩位數(shù)(10?99)共有90個，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共計45個．

被3整除的有12，15，18，…，99，共計30個，被6整除的有12，18，24，…，96，共計15個，

故能被2或3整除的數(shù)有45+30?15=60個．

任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被2或3整除的概率為6090=23，

故選：B．

在所有的兩位數(shù)(10?99)共有90個，求得其中被2整除的有45個，被3整除的有30個，被6整除的有15個，可得能被24.【答案】A

【解析】解：從3，4，5，6四個數(shù)中任取三個數(shù)，所有基本事件為(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(3,5,5.【答案】A

【解析】解：因為甲乙兩組都有6個數(shù)據(jù)，30%×6=1.8，50%×6=3，

所以第30百分位數(shù)為n=30，

第50百分位數(shù)為37+m2=33+442，

6.【答案】C

【解析】解：數(shù)據(jù)依次為53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，m(m>50).而這組數(shù)據(jù)的極差為40，數(shù)據(jù)中最小值為41，

故m應(yīng)為最大值81，

則81%×11=8.91，

將數(shù)據(jù)從小到大排列：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，

故這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為79，

故選：C．7.【答案】D

【解析】解：由題意AG=12AD=12(AB+BD)=12(AB+12BC)=12AB+14(AC?AB)=14AB+14AC，

設(shè)MG=xMN，0<x<1，

8.【答案】A

【解析】解：因為cosA=b?c2c，

所以2sinCcosA=sinB?sinC=sin(A+C)?sinC，

則2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC9.【答案】AD【解析】解：A，∵sinA>sinB，由正弦定理可得a>b，∴A>B，∴正確，

B，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴AB?BC=1×1×(?12)=?12，∴錯誤，

C，∵B=π6，b=2，c=2，由余弦定理得，2=4+a2?2×2×a×310.【答案】AB【解析】解：對于A，若m/?/α，n/?/α，則m，n可能平行、異面或相交，A錯誤；

對于B，若m?α，n?α，m//β，n/?/β，m，n不一定為相交直線，

只有當(dāng)m，n為相交直線時，才可得到α/?/β，故B錯誤；

對于C，當(dāng)m/?/n，m?α?xí)r，可能是n?α，推不出一定是n/11.【答案】BD【解析】解：由題意，z=2i1+i=2i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i，

則|z|=1+1=2，選項A錯誤；

z2=12.【答案】BD【解析】【分析】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)相互獨立事件的乘法公式逐一求解即可．【解答】解：對選項A，小明得6分的概率為13×12=16，故A錯誤；

對選項B，小明得分低于6分的概率為1?16=56，故B正確；

對選項C，小明得分不少于3分的概率為1?23×

13.【答案】92【解析】解：∵m=2n；

∴OA=(?2,2n)；

A，B，C三點在同一條直線上；

∴存在λ使AB=λBC；

∴OB?OA=λ(OC?OB)；

∴(n,1)?(?2,2n)=λ[14.【答案】35【解析】解：因為不超過11的素數(shù)有2，3，5，7，11五個數(shù)，

從中選取兩個不同的數(shù)的基本事件有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)15.【答案】23【解析】解：隨機擲一個骰子一次共有6種不同的結(jié)果，

事件A表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，

則事件A包括2，4兩種結(jié)果，P(A)=26=13，

事件B包括1，2，3，4四種結(jié)果，P(B)=46=23，P(B?)=13，

且事件A和B是互斥事件，

∴事件A+B?發(fā)生的概率為P(A+B16.【答案】4

【解析】解：在△ABC中，已知AB=2，AC=27，∠ABC=120°，

利用余弦定理：AC2=AB2+BC2?217.【答案】解：(1)因為a,b是兩個單位向量，且a與b的夾角為π4，

所以a?b=|a|×|b|cosπ4=22，【解析】(1)根據(jù)模長公式結(jié)合向量的數(shù)量積公式求解計算即可；

(2)18.【答案】解：(1)由已知得到z1?z2=1a+2?2+(a2?2a?3)i，

因為在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，

所以1a+2?2>0a2?2【解析】(1)由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限得到實部大于0，虛部大于0，解不等式組即可；

(2)利用z1是實系數(shù)一元二次方程4x2?4x19.【答案】解：(1)∵在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°．

∴由余弦定理可得：BC=AB2+AC2?2AB【解析】(1)由余弦定理可得BC的值，根據(jù)正弦定理可得sin∠ACB的值．

(2)由D為BC的中點，可求C20.【答案】解：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

所以PA⊥AB，

因為∠BAD=π2，

所以AB⊥AD，

因為PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

因為CF/?/AB，

所以CF⊥平面PAD，

因為CF?平面CFG，

所以平面CFG⊥平面PAD；

(2)連結(jié)AC，過點B作BE⊥PC于點E，連接DE，如圖，

PA⊥平面ABCD，AD，AC?平面ABCD，

所以PA⊥AD，PA⊥AC【解析】(1)證明出AB⊥平面PAD，由CF/?/AB，得到CF⊥平面21.【答案】解：(1)設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”．

由題意知，乙每局獲勝的概率為13，不獲勝的概率為23．

若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝)．

故P(A)=13×23×13+23×13×13=427．

(2)設(shè)事件B為“甲獲勝”．

若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時的概率P1=12×12=14．

若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝)．

此時的概率P2=12×12×12+12×12×12=14，

若第四局結(jié)束甲以積分(2分)獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負，總共有9種情況：(勝，平，平，勝)，(平，勝，平，勝)，(平，平，勝，勝)，【解析】(1)若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝)，利用相互獨立事件概率乘法公式求解；

(2)甲獲勝分為：甲兩局連勝，第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，第四局結(jié)束甲以積分(2分)獲勝，則甲第四局必定獲勝，第四局結(jié)束甲以積分(1分)2