華科傳熱學(xué)課件

2023/7/261傳熱學(xué)主講：劉志春能源與動(dòng)力工程學(xué)院華中科技大學(xué)2023/7/261傳熱學(xué)主講：劉志春2023/7/262第九章流動(dòng)與傳熱的數(shù)值計(jì)算§9-1

數(shù)值計(jì)算的基本思想*§9-2

流動(dòng)與傳熱的數(shù)值計(jì)算§9-3Saints2D軟件簡介2023/7/262第九章流動(dòng)與傳熱的數(shù)值計(jì)算§9-12023/7/263首先，我們以導(dǎo)熱問題為例，介紹計(jì)算區(qū)域離散化的概念、內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)方程式的建立方法、節(jié)點(diǎn)方程組的求解過程，以及非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的顯示與隱示差分格式。然后，介紹在上述思想的基礎(chǔ)上開發(fā)的流動(dòng)與傳熱計(jì)算軟件Saints2D，并給出傳熱問題虛擬實(shí)驗(yàn)的計(jì)算示例。2023/7/263首先，我們以導(dǎo)熱問題為例，介紹計(jì)算區(qū)域離2023/7/264§9-1數(shù)值計(jì)算的基本思想數(shù)值求解通常是對微分方程直接進(jìn)行數(shù)值積分或者把微分方程轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)方程組再進(jìn)行求解。這里要介紹的是后一種方法。如何實(shí)現(xiàn)從微分方程到代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化又可以采用不同的數(shù)學(xué)方法，如有限差分法、有限元法和邊界元法等。這里僅向讀者簡要地介紹用有限差分方法從微分方程確立代數(shù)方程的處理過程。2023/7/264§9-1數(shù)值計(jì)算的基本思想數(shù)值求解通常2023/7/265有限差分法的基本思想是把原來在時(shí)間和空間坐標(biāo)中連續(xù)變化的物理量（如溫度、壓力、速度和熱流等），用有限數(shù)目的離散點(diǎn)上的數(shù)值集合來近似表達(dá)。有限差分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是用差商代替微商（導(dǎo)數(shù)）。幾何意義是用函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)的平均變化率代替函數(shù)的真實(shí)變化率。2023/7/265有限差分法的基本思想是把原來在時(shí)間和空間2023/7/266在圖中可以看出有限差分表示的溫度場與真實(shí)溫度場的區(qū)別。圖中用T0、T1、T2…表示連續(xù)的溫度場T；Δx為步長，它將區(qū)域的x方向劃分為有限個(gè)數(shù)的區(qū)域，Δx0、Δx1、Δx2…，它們可以相等，也可以不相等。當(dāng)Δx相等時(shí)，T1處的真實(shí)變化率a可以用平均變化率b、c或d來表示，其中b、c和d分別表示三種不同差分格式下的溫度隨時(shí)間的變化率Δx1Δx2Δx3Δx0xTT3T2T1T0bdca2023/7/266在圖中可以看出有限差分表示的溫度場與真實(shí)2023/7/267b為向后差分格式c為向前差分格式

d為中心差分格式

Δx1Δx2Δx3Δx0xTT3T2T1T0bdca2023/7/267b為向后差分格式c為向前差分格式d為中2023/7/268這種差分格式可推廣到高階微商（導(dǎo)數(shù)）。對于二階導(dǎo)數(shù)的差分格式可以在一階差分格式的基礎(chǔ)上得出：這樣處理后，反映溫度場隨時(shí)間、空間連續(xù)變化的微分方程就可以用反映離散點(diǎn)間溫度線性變化規(guī)律的代數(shù)方程來表示。當(dāng)利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)辦法求解這些代數(shù)方程組之后，我們就能獲得離散點(diǎn)上的溫度值。這些溫度值就可以近似表示溫度場的連續(xù)的溫度分布。2023/7/268這種差分格式可推廣到高階微商（導(dǎo)數(shù)）。這2023/7/269從上面的分析不難看出，當(dāng)我們要對流動(dòng)與傳熱問題進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)一定要采取三個(gè)大的步驟，即：a)

研究區(qū)域的離散化；b)散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）差分方程的建立；c)節(jié)點(diǎn)方程（代數(shù)方程）的求解。2023/7/269從上面的分析不難看出，當(dāng)我們要對流動(dòng)與傳2023/7/26101時(shí)間與空間的離散化

進(jìn)行數(shù)值求解時(shí),首先是在所研究的時(shí)間和空間區(qū)域內(nèi)把時(shí)間和空間分割成為有限大小的小區(qū)域。圖表示了長柱體矩形截面上區(qū)域離散化的情況。K-1時(shí)刻SWENPSWENPSWENPτxyK時(shí)刻K+1時(shí)刻ΔxΔy2023/7/26101時(shí)間與空間的離散化進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)2023/7/2611對于給定的空間區(qū)域，在x方向上的步長為Δx，在y方向上的步長為Δy，用它們作為空間尺度可以將矩形區(qū)域劃分成縱橫交錯(cuò)的網(wǎng)格系統(tǒng)。計(jì)算區(qū)域就被這些網(wǎng)格線分隔成一系列的小的區(qū)域，稱為控制面積，對于三維情況則為控制體積或控制容積，因而在一般意義上稱之為控制體；控制體的中心點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。K-1時(shí)刻SWENPSWENPSWENPτxyK時(shí)刻K+1時(shí)刻ΔxΔy2023/7/2611對于給定的空間區(qū)域，在x方向上的步長為2023/7/2612控制體的形狀是隨著坐標(biāo)系的不同而改變的，這里的控制體是一個(gè)個(gè)的矩形面積。網(wǎng)格的步長在每一個(gè)方向上可以均勻劃分，也可以不均勻的劃分；所得到網(wǎng)格，相應(yīng)地被稱為均勻網(wǎng)格或者非均勻網(wǎng)格。選用不同的步長和不同的劃分方法，可以將同一區(qū)域劃分出不同大小、不同數(shù)目的控制區(qū)域，以及不同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)數(shù)。2023/7/2612控制體的形狀是隨著坐標(biāo)系的不同而改變的2023/7/2613獲得每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的溫度值，就是導(dǎo)熱數(shù)值計(jì)算的目的。，隨著步長的不斷減小，節(jié)點(diǎn)數(shù)目的不斷增加，由節(jié)點(diǎn)溫度表示的離散溫度場就更接近連續(xù)溫度場，但計(jì)算工作量也會(huì)增加。在時(shí)間方向上離散化的步長常用Δτ來表示，Δτ的選取也是可大可小的，也可以隨時(shí)間的進(jìn)程而變化。顯然，無限小的時(shí)間步長Δτ亦會(huì)使得離散溫度變化接近連續(xù)的溫度改變，但隨之而來的是相應(yīng)的計(jì)算工作量將會(huì)增加。2023/7/2613獲得每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的溫度值，就是導(dǎo)熱數(shù)值計(jì)2023/7/26142節(jié)點(diǎn)方程的建立建立節(jié)點(diǎn)差分方程可采用不同的方法，主要分為兩大類：第一類包括泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開法和多項(xiàng)式擬合法，它偏重于從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行推導(dǎo)，其優(yōu)點(diǎn)是便于對離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析，但缺點(diǎn)是變步長網(wǎng)格的離散方程形式復(fù)雜、導(dǎo)出過程的物理概念不清晰、不能保證差分方程具有守恒特性。2023/7/26142節(jié)點(diǎn)方程的建立建立節(jié)點(diǎn)差分方程可采2023/7/2615第二類包括控制體熱平衡法和控制容積積分法，其優(yōu)點(diǎn)是推導(dǎo)過程的物理概念清晰、離散方程系數(shù)具有一定物理意義、保證差分方程具有守恒特性，但缺點(diǎn)是不便于對離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析。下面我們采用控制體熱平衡法來建立節(jié)點(diǎn)方程。2023/7/2615第二類包括控制體熱平衡法和控制容積積分2023/7/2616①

內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程控制體熱平衡法建立節(jié)點(diǎn)方程的過程是將能量守恒方程應(yīng)用于控制體，建立該節(jié)點(diǎn)與周圍節(jié)點(diǎn)之間的能量平衡關(guān)系式。(i+1,j)E(i,j)oyx(i-1,j)W(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy再利用傅里葉導(dǎo)熱定律，最后獲得控制體節(jié)點(diǎn)溫度與周圍節(jié)點(diǎn)溫度之間的關(guān)系式。2023/7/2616①內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程控制體熱平衡法建立節(jié)點(diǎn)方2023/7/2617考察圖中的節(jié)點(diǎn)P及其控制體，由能量平衡關(guān)系應(yīng)有式中，ФW、ФE、ФS和ФN分別為鄰近節(jié)點(diǎn)W、E、S和N通過傳導(dǎo)方式傳給節(jié)點(diǎn)P的熱流量；ФV為單位時(shí)間控制體內(nèi)熱源發(fā)熱量；(i+1,j)E(i,j)oyx(i-1,j)W(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyyΔE為控制體單位時(shí)間內(nèi)熱能的增加量。2023/7/2617考察圖中的節(jié)點(diǎn)P及其控制體，由能量平衡2023/7/2618由導(dǎo)熱傅里葉定律，在線性溫度分布的假設(shè)下，時(shí)刻K周圍節(jié)點(diǎn)傳給節(jié)點(diǎn)P的熱流量分別為：(i+1,j)E(i,j)oyx(i-1,j)W(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy2023/7/2618由導(dǎo)熱傅里葉定律，在線性溫度分布的假設(shè)2023/7/2619控制體的發(fā)熱流量其中qV為內(nèi)熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間單位體積的內(nèi)熱源發(fā)熱量?？刂企w單位時(shí)間的內(nèi)能增加量為前者為時(shí)間上的向前差分，而后者為時(shí)間上向后差分。以上關(guān)系式中溫度T的上標(biāo)為所在時(shí)刻，下標(biāo)為所在空間位置。2023/7/2619控制體的發(fā)熱流量控制體單位時(shí)間的內(nèi)能增2023/7/2620假設(shè)Δx=Δy，經(jīng)整理可以得出二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的兩種差分格式的差分方程，即a)

顯式差分格式

定義網(wǎng)格傅里葉數(shù)

其物理意義是表征控制體的導(dǎo)熱性能與熱儲(chǔ)蓄性能之間的對比關(guān)系，反映控制體溫度隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)特性。顯式差分格式簡化為2023/7/2620假設(shè)Δx=Δy，經(jīng)整理可以得出二維非穩(wěn)2023/7/2621b)

隱式差分格式

或改寫為2023/7/2621b)隱式差分格式或改寫為2023/7/2622顯示差分格式最突出的優(yōu)點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)溫度表達(dá)式的右邊只涉及K時(shí)刻(前一時(shí)刻)的節(jié)點(diǎn)溫度值，只要知道前一時(shí)刻周圍節(jié)點(diǎn)的溫度值就可以求出該節(jié)點(diǎn)的K+1時(shí)刻(當(dāng)前時(shí)刻)的溫度值；2023/7/2622顯示差分格式最突出的優(yōu)點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)溫度表達(dá)2023/7/2623隱示差分格式溫度表達(dá)式的右端除了K時(shí)刻(前一時(shí)刻)的節(jié)點(diǎn)溫度值以外，還含有K+1時(shí)刻(當(dāng)前時(shí)刻)的溫度值，這就意味著必須同時(shí)計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)的溫度值，即必須聯(lián)立求解K+1時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)的差分方程組，計(jì)算工作量增大也就是顯而易見的了。2023/7/2623隱示差分格式溫度表達(dá)式的右端除了K時(shí)刻2023/7/2624雖然顯示差分格式計(jì)算比較方便，但它存在一個(gè)缺點(diǎn)，即計(jì)算式中FOΔ值必須滿足一定的條件才不至于引起數(shù)值計(jì)算出現(xiàn)不收斂的問題，這在數(shù)值計(jì)算中稱為差分格式的不穩(wěn)定性。這里差分方程穩(wěn)定性的條件是式(9-2)中的變量T前面的系數(shù)必須大于或等于零，分析一下差分方程中的各項(xiàng)系數(shù)，有2023/7/2624雖然顯示差分格式計(jì)算比較方便，但它存在2023/7/2625此式稱為顯示差分格式的穩(wěn)定性判據(jù)，從中看出時(shí)間步長和空間步長是相互制約的。為了獲得較為精確的節(jié)點(diǎn)溫度值，空間步長Δx的選擇不能太小，按照穩(wěn)定性判據(jù)的要求勢必會(huì)使時(shí)間步長Δτ也要相應(yīng)地不能太大，因而必須在增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目的同時(shí)增多時(shí)間間隔，從而使計(jì)算工作量加大。隱示差分格式是無條件穩(wěn)定的。2023/7/2625此式稱為顯示差分格式的穩(wěn)定性判據(jù)，從中2023/7/2626這里指出，以上的討論及結(jié)果適用于對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。對于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其實(shí)應(yīng)更簡單,只需要在式(9-2)或者式(9-3)中令或均可得到二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程式2023/7/2626這里指出，以上的討論及結(jié)果適用于對非穩(wěn)2023/7/2627②

邊界節(jié)點(diǎn)方程以對流換熱邊界為例，從流體側(cè)來看，應(yīng)用牛頓冷卻公式，流體與壁面之間的對流換熱量再者，從控制體側(cè)來看，應(yīng)用傅里葉定律，假定壁面處的溫度梯度取向后差分格式，則應(yīng)有SNWPT∞ΔyΔxh2023/7/2627②邊界節(jié)點(diǎn)方程以對流換熱邊界為例，從2023/7/2628只要網(wǎng)格步長Δx足夠小，兩者的結(jié)果應(yīng)該是一致的。從而可消去未知量Te，得到代入式(9-1)，得到對流換熱邊界節(jié)點(diǎn)的兩種差分格式，即a)

顯式差分格式顯式差分格式的穩(wěn)定性判據(jù)為2023/7/2628只要網(wǎng)格步長Δx足夠小，兩者的結(jié)果應(yīng)該2023/7/2629b)

隱式差分格式隱式差分格式仍然是無條件穩(wěn)定的定義網(wǎng)格畢渥數(shù)其物理意義是體現(xiàn)控制體和環(huán)境間的換熱性能與其導(dǎo)熱性能之間的對比關(guān)系。2023/7/2629b)隱式差分格式隱式差分格式仍然是2023/7/2630這里指出，上面的結(jié)果是在對流換熱邊界的情況下得到的，但經(jīng)過簡單處理，可直接用于絕熱邊界條件與恒壁溫邊界條件。令，則有即可簡化為恒壁溫邊界條件下對應(yīng)的差分格式。而令，即即可簡化為絕熱邊界條件下對應(yīng)的差分格式。2023/7/2630這里指出，上面的結(jié)果是在對流換熱邊界的2023/7/2631由上面的討論可以看出，對應(yīng)于離散溫度場的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可以列出相應(yīng)的差分方程，這樣就可以得出與節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的一組代數(shù)方程組。當(dāng)聯(lián)立求解這個(gè)代數(shù)方程組時(shí)，最后就可以得出每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度值。2023/7/2631由上面的討論可以看出，對應(yīng)于離散溫度場2023/7/26323節(jié)點(diǎn)方程的求解

一般情況下，差分方程組是線性代數(shù)方程組，而線性代數(shù)方程組是可以用直接法和迭代法求解的。常用的直接法有高斯消元法、列主元素消去法和矩陣求逆法，而迭代法常用的有高斯－賽德爾迭代和超（欠）松弛迭代。2023/7/26323節(jié)點(diǎn)方程的求解一般情況下，差分方2023/7/2633迭代求解該方程組的思路為，尋找一個(gè)由（T1，T2，…，Tn）組成的列向量，使其收斂于某一個(gè)極限向量（T1*,T2*,…，Tn*）,且該極限向量就是該方程的精確解。2023/7/2633迭代求解該方程組的思路為，尋找一個(gè)由（2023/7/2634當(dāng)這個(gè)線性代數(shù)方程組的系數(shù)項(xiàng)aii≠0（i=1,2,…,n）時(shí)，可將其改寫成迭代形式，有：2023/7/2634當(dāng)這個(gè)線性代數(shù)方程組的系數(shù)項(xiàng)aii≠02023/7/2635步驟是，合理選擇（假設(shè)）各節(jié)點(diǎn)的初始溫度，將其作為第零次迭代的近似溫度值，記為Ti(0)(i=1,2,…,n);將Ti(0)代入上式的右端，得到第一次迭代的近似值Ti(1)

；之后將Ti(1)再代入上式的右端，則得出第二次的近似值Ti(2)

；如此反復(fù)進(jìn)行下去，直至進(jìn)行到K次，使相鄰的兩次近似解Ti(K+1)和Ti(K)(i=1,2,…,n)之間的偏差小于預(yù)先設(shè)定的小量ε時(shí)，即滿足∣Ti(K+1)

－Ti(K)

∣≤ε或∣(Ti(K+1)

－Ti(K))/Ti(K)

∣≤ε2023/7/2635步驟是，合理選擇（假設(shè)）各節(jié)點(diǎn)的初始溫2023/7/2636*§9-2流動(dòng)與傳熱的數(shù)值計(jì)算

1

交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng)2

通用輸運(yùn)方程及離散化3壓力修正方程：SIMPLE算法4

紊流壁面法則2023/7/2636*§9-2流動(dòng)與傳熱的數(shù)值計(jì)算12023/7/2637通用輸運(yùn)方程SoftwareforArbitraryIntegrationofNavier-StokesEquationwithaTurbulenceandPorousMediaSimulator

§9-3Saints2D軟件簡介

Saints2D中的坐標(biāo)系統(tǒng)與控制方程2023/7/2637通用輸運(yùn)方程Softwarefor2023/7/2638Saints2D中的非獨(dú)立變量Dependentvariables2023/7/2638Saints2D中的非獨(dú)立變量Dep2023/7/2639選用適當(dāng)?shù)膮?shù)帶*的特征值表示無量綱量2023/7/2639選用適當(dāng)?shù)膮?shù)帶*的特征值表示無量綱量2023/7/2640Saints2D中的標(biāo)準(zhǔn)源項(xiàng)S*

Normalizedsourceterms2023/7/2640Saints2D中的標(biāo)準(zhǔn)源項(xiàng)S*No2023/7/2641其中①

特征長度

選取任一有代表性的長度如平板長度、管子直徑

Referencelength有量綱和無量綱計(jì)算2023/7/2641其中①特征長度選取任一有代表性的長2023/7/2642②

特征速度強(qiáng)迫對流:選取一個(gè)確定的速度尺度，如進(jìn)口處平均流速自然對流：考慮浮力與慣性力之間的平衡關(guān)系，可取混合對流：選取兩者中的較大者，或是有助于得到較好結(jié)果的那一個(gè)Referencevelocity2023/7/2642②特征速度強(qiáng)迫對流:選取一個(gè)確定的2023/7/2643③特征溫差已知壁面溫度時(shí)：選取進(jìn)口處平均溫度與壁面溫度之差已知壁面熱流密度時(shí)：考慮壁面熱流密度與對流項(xiàng)的平衡注意：無量綱形式的熱流密度為Referencetemperaturedifference2023/7/2643③特征溫差已知壁面溫度時(shí)：選取進(jìn)口處2023/7/2644④其它無量綱數(shù)

雷諾數(shù)格拉曉夫數(shù)Darcy數(shù)Dimensionlessnumbers2023/7/2644④其它無量綱數(shù)雷諾數(shù)格拉曉夫數(shù)2023/7/2645⑤有量綱計(jì)算簡單地將所有特征數(shù)設(shè)為它們各自的單位量前述無量綱數(shù)則為Dimensionalsolutions2023/7/2645⑤有量綱計(jì)算簡單地將所有特征數(shù)設(shè)為2023/7/2646基本思想：根據(jù)邊界處速度矢量是已知還是未知來劃分邊界條件的類型。1速度已知邊界、速度未知邊界的概念2023/7/2646基本思想：根據(jù)邊界處速度矢量是已知還是2023/7/2647①速度已知邊界：在邊界處，除壓力已知外，速度矢量及所有變量的值或密度都是已知的。固體壁面x邊界：固體壁面y邊界：流動(dòng)進(jìn)口邊界：Known-velocityboundary2023/7/2647①速度已知邊界：在邊界處，除壓力已2023/7/2648②速度未知邊界：在邊界處已知速度是正態(tài)分布的，但其絕對值未知（變量值或密度都是未知的）。流動(dòng)出口x邊界：流動(dòng)出口y邊界：Unknown-velocityboundary2023/7/264