建筑結構抗震設計多自由度彈性體系的地震反應

2023/9/2結構抗震設計1第三章地震作用和結構抗震驗算一、課程內(nèi)容二、重點、難點和基本要求2023/9/2結構抗震設計2第三章課程內(nèi)容§3-1概述§3-2單自由度彈性體系的地震反應§3-3單自由度彈性體系的水平地震作用——地震反應譜法§3-4多自由度彈性體系的地震反應§3-5多自由度彈性體系的水平地震作用——振型分解反應譜法§3-6底部剪力法和時程分析法§3-7水平地震作用下的扭轉效應§3-8結構的豎向地震作用§3-9結構自振周期的近似計算§3-10地震作用計算的一般規(guī)定§3-11結構抗震驗算2023/9/2結構抗震設計3第三章重點、難點和基本要求重點和難點：1、重要術語、概念、定義2、單（多）自由度體系地震反應和地震作用計算3、底部剪力法4、結構抗震驗算基本要求：掌握結構抗震驗算基本方法2023/9/2結構抗震設計4§3-4多自由度彈性體系的地震反應一、多質(zhì)點和多自由度體系二、兩自由度彈性體系的自由振動1、兩自由度運動方程的建立2、兩自由度彈性體系的運動微分方程組3、兩自由度彈性體系的自由振動三、多自由度彈性體系的自由振動1、n自由度體系運動微分方程組2、n自由度彈性體系的自由振動四、振型分解法1、兩自由度體系振型分解法2、n自由度體系振型分解法2023/9/2結構抗震設計5一、多質(zhì)點和多自由度體系在進行建筑結構地震反應分析時，除了少數(shù)質(zhì)量比較集中的結構可以簡化為單質(zhì)點體系外，大量的多層和高層工業(yè)與民用建筑、多跨不等高單層工業(yè)廠房等，質(zhì)量比較分散，則應簡化為多質(zhì)點體系來分析，這樣才能得出比較符合實際的結果。

一般，對多質(zhì)點體系，若只考慮其作單向振動時，則體系的自由度與質(zhì)點個數(shù)相同。2023/9/2結構抗震設計6二、兩自由度彈性體系的自由振動左圖為一兩自由度彈性體系在水平地震作用下，在時刻t的變形情況。Xg(t)為地震時地面運動的水平位移，質(zhì)點1和質(zhì)點2沿地面運動方向產(chǎn)生的相對于地面的水平位移分別為x1(t)和x2(t)，而相對速度則為和，相對加速度為

和

，絕對加速度分別為+和+。2023/9/2結構抗震設計71、兩自由度運動方程的建立單自由度體系相似，取質(zhì)點1作隔離體，則作用在其上的慣性力為：彈性恢復力為：阻尼力為：式中

k11——使質(zhì)點1產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點2保持不動時，在質(zhì)點1處所需施加的水平力；k12——使質(zhì)點2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點1保持不動時，在質(zhì)點1處引起的彈性反力；c11——質(zhì)點1產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點2保持不動時，在質(zhì)點1處產(chǎn)生的阻尼力；c12——質(zhì)點2產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點1保持不動時，在質(zhì)點1處產(chǎn)生的阻尼力；m1——集中在質(zhì)點1上的質(zhì)量。

2023/9/2結構抗震設計82、兩自由度彈性體系的運動微分方程組根據(jù)達朗貝爾原理，I1+R1+S1=0，經(jīng)整理得下列運動方程

同理對于質(zhì)點2:上二式就是兩自由度彈性體系在水平地震作用下的運動微分方程組。上述列動力平衡方程求解的方法常稱為剛度法。運動方程中的系數(shù)kij反映了結構剛度的大小，稱為剛度系數(shù)。2023/9/2結構抗震設計93、兩自由度彈性體系的自由振動

以兩自由度體系為例，令方程組等號右邊荷載項為零，由于阻尼對體系自振周期影響很小，故略去阻尼，即得該體系無阻尼自由振動方程組：設兩個質(zhì)點作同頻率、同相位的簡諧振動，則上列微分方程組的解為：式中

X1和X2——分別為質(zhì)點1和質(zhì)點2的位移振幅；

ω——振動頻率；

φ——初相位。經(jīng)整理后得下列振幅方程：2023/9/2結構抗震設計101）、自振頻率和自振周期上式為Xl和X2的線性齊次方程組；體系在自由振動時，X1和X2不能同時為零，否則體系就不可能產(chǎn)生振動。為使上式有非零解，其系數(shù)行列式必須等于零，即：展開行列式，可得ω2的二次方程：上式稱為頻率方程，解之得：由此可求得ω的兩個正實根，它們就是體系的兩個自振圓頻率。其中較小的一個用ωl表示，稱為第一頻率或基本頻率，較大的一個ω2稱為第二頻率。利用式可由ωl和ω2求得體系的兩個自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1稱為第一周期或基本周期，T2稱為第二周期。2023/9/2結構抗震設計112）、主振型

由于線性齊次方程組的系數(shù)行列式等于零，所以兩個頻率方程并不是獨立的，振幅方程的解只能是兩質(zhì)點位移振幅的比值，如：

或當，振幅比值為：當，振幅比值為：

式中：——體系按頻率ωj(頻率序號j=1，2)自由振動時，質(zhì)點i

(質(zhì)點編號i=1，2)的位移振幅。當，質(zhì)點位移：和當，質(zhì)點位移：和式中——體系按頻率ωj(頻率序號j=1，2)自由振動時，質(zhì)點i

(質(zhì)點編號i=1，2)的位移

2023/9/2結構抗震設計12則在兩種不同頻率的自由振動過程中，兩質(zhì)點的位移比值分別為：當時，當時，上式中每一比值均與時間無關，且為常數(shù)。這就表明，對應于各個自振頻率，體系在相應自由振動過程中的任意時刻，兩質(zhì)點的位移比值(或振動曲線形狀)始終保持不變，且等于Xj2／Xj1，改變的只是位移大小和方向。這種保持質(zhì)點位移比值不變的振動形式(或形狀)稱為主振型。當體系按第一頻率ω1振動時的振動形式稱為第一主振型(簡稱第一振型或基本振型)，而對應于第二頻率ω2的振動形式稱為第二主振型(簡稱第二振型)。主振型是彈性體系的重要固有特征，它們完全取決于體系的質(zhì)量和剛度的分布，體系有多少個自由度就有多少個頻率，相應地就有多少個主振型。

2023/9/2結構抗震設計133）、自由振動方程的通解兩自由度彈性體系自由振動方程式的通解為其特解即分別對應兩個自振圓頻率的質(zhì)點位移的線性組合，也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始條件確定。由上式可見，在一般初始條件下，任一質(zhì)點的振動都是由各主振型的簡諧振動疊加而成的復合振動。

2023/9/2結構抗震設計144）、質(zhì)點復合振動振型曲線和慣性力兩自由度彈性體系分別按頻率ω1和ω2作簡諧振動時，兩個振型的變形曲線及兩質(zhì)點上相應的慣性力如圖所示。慣性力可表示為，其中i為質(zhì)點編號，j為振型序號，而且主振型變形曲線可視為體系上相應的慣性力引起的靜力變形曲線，因為由可知，結構在任一瞬時的位移就是等于慣性力所產(chǎn)生的靜力位移。在一般初始條件下，任一質(zhì)點的振動都是由各主振型的簡諧振動疊加而成的復合振動。2023/9/2結構抗震設計155）、主振型的正交性

根據(jù)功的互等定理，第一主振型上的慣性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的慣性力在第一主振型的位移上所做的功，這樣可得到：整理后得到：由于ω1≠ω2，所以：上式所表示的關系，稱為主振型的正交性，它反映了主振型的一種特性，即體系各質(zhì)點的質(zhì)量與其在兩個不同振型上的位移振幅的連乘積的代數(shù)和為零。物理意義是：某一振型在振動過程中所引起的慣性力不在其它振型的位移上作功。這說明某一振型的動能不會轉移到其它振型上去，也就是體系按某一振型作自由振動時不會激起該體系其它振型的振動。

2023/9/2結構抗震設計16三、多自由度彈性體系的自由振動1、n自由度體系運動微分方程組2、n自由度彈性體系的自由振動2023/9/2結構抗震設計171、n自由度體系運動微分方程組

把兩自由度彈性體系的運動微分方程組推廣到n自由度體系，則其運動微分方程組應由n個方程組成，一般表達式為:

式中Cij——質(zhì)點j產(chǎn)生單位速度，而其它質(zhì)點保持不動時，在質(zhì)點i處產(chǎn)生的阻尼力；

kij——質(zhì)點j產(chǎn)生單位位移，而其它質(zhì)點保持不動時，在質(zhì)點i處引起的彈性反力；

mi——集中在質(zhì)點i的質(zhì)量。求解上述運動方程組，一般采用振型分解法。該法需要利用多自由度彈性體系的振型，它們是由分析體系的自由振動得來的。為此，須先討論多自由度體系的自由振動問題。2023/9/2結構抗震設計182、n自由度彈性體系的自由振動對于n自由度體系，由上式可得其自由振動方程組：（i=1，2，…，n）設微分方程組的解為：代入上式，經(jīng)整理后得：

…………2023/9/2結構抗震設計191）、自振頻率和自振周期令方程的系數(shù)行列式等于零，即可求得頻率方程，此方程是一個以ω2為未知數(shù)的一元n次方程，解此方程，可以求出n個根ω12、ω22、、…、ωn2，即可得出體系的n個自振圓頻率，按由小到大的順序排列依次為ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。對應的n個自振周’期由大到小的順序則為T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn統(tǒng)稱為高階頻率。一般說來，當體系的質(zhì)點數(shù)多于3個時，頻率方程的求解就比較困難，常常不得不借助于一些近似計算方法和電子計算機。

2023/9/2結構抗震設計202）、主振型和自由振動方程的通解對于n自由度彈性體系，有n個自振頻率，將其依次代入頻率方程可求得相應的n個主振型，除第一主振型外的其它振型統(tǒng)稱為高階振型。n自由度彈性體系自由振動時，任一質(zhì)點的振動都是由n個主振型的簡諧振動疊加而成，故自由振動方程的通解可寫為

（i=1，2，…，n）式中——第j振型i質(zhì)點的相對位移；

——第j振型i質(zhì)點的位移振幅。

2023/9/2結構抗震設計213）、主振型的正交性

對n自由度彈性體系，主振型正交性一般可表示為

（j≠k）它反映了主振型的一種特性，即體系各質(zhì)點的質(zhì)量與其在不同振型上的位移振幅的連乘積的代數(shù)和為零。其物理意義是：某一振型在振動過程中所引起的慣性力不在其它振型的位移上作功。這說明某一振型的動能不會轉移到其它振型上去，也就是體系按某一振型作自由振動時不會激起該體系其它振型的振動。

2023/9/2結構抗震設計22四、振型分解法多自由度彈性體系在水平地震作用下的運動方程為一組相互耦聯(lián)的微分方程，聯(lián)立求解有一定困難。振型分解法就是通過把體系的位移反應按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，將原來耦聯(lián)的微分方程組變?yōu)槿舾苫ハ嗒毩⒌奈⒎址匠?，從而使原來多自由度體系結構的動力計算變?yōu)槿舾蓚€相當于各自振周期的單自由度體系結構的問題，在求得了各單自由度體系結構的地震反應后，采用振型組合法即可求出多自由度體系的地震反應。振型分解法是求解多自由度彈性體系地震反應的重要方法。

2023/9/2結構抗震設計231、兩自由度體系振型分解法將質(zhì)點m１及m２在地震作用下任一時刻的位移x１(t)和x２(t)用其兩個振型的線性組合來表示：上式實際上是一個坐標變換公式，x１(t)和x２(t)為原來的幾何坐標，而新坐標q１(t)和q２(t)稱為廣義坐標，它們也是時間的函數(shù)。上式也可理解為是將體系的位移按振型加以分解，q１(t)和q２(t)實際上表示了在任一時刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。由于體系的振型是唯一確定的，因此，當q１(t)和q２(t)確定后，x１(t)和x２(t)也將隨之而定。2023/9/2結構抗震設計24對上式進行變換和整理，且考慮主振型的正交性，得到：

這里，解兩個解耦的方程可分別求出q１(t)和q２(t)，而當q１(t)和q２(t)確定后，x１(t)和x２(t)也隨之而定。

2023/9/2結構抗震設計25兩自由度體系變形按振型分解示意圖＝＋2023/9/2結構抗震設計262、n自由度體系振型分解法對n自由度體系，各質(zhì)點在地震作用下任一時刻的位移xi(t)也可用其各個振型的線性組合來表示，即：

（i=1，2，….,n）對