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中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第7章多元函數(shù)積分學(xué)高等數(shù)學(xué)A7.1.5重積分的幾何應(yīng)用7.1重積分7.1重積分

7.1.5重積分的幾何應(yīng)用問題的提出二重積分的幾何應(yīng)用習(xí)例1-4平面區(qū)域的面積習(xí)例5-7曲面的面積三重積分的幾何應(yīng)用習(xí)例8-10空間立體的體積重積分的幾何應(yīng)用問題的提出把定積分的微元法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個稱為所求量U的微元，記為所求量的積分表達(dá)式為一、二重積分的幾何應(yīng)用1.平面區(qū)域的面積例2計算雙紐線圍成的區(qū)域面積.例4

求雙紐線與圓所圍

圖形面積.解例2計算雙紐線圍成的區(qū)域面積解解解利用對稱性,S=2A例4

求雙紐線與圓所圍

圖形面積.則所求面積為a．設(shè)曲面的方程為：如圖所示2.曲面的面積曲面S的面積元素曲面面積公式為：ｃ．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：ｂ．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得注意：求曲面的面積時，只需先選擇好曲面向哪個坐標(biāo)面投影，再畫出曲面的投影圖即可.例5

求半徑為a的球的表面積．解向xoy坐標(biāo)面投影,投影域為例5

求半徑為a的球的表面積．廣義積分解曲面z=

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