曲線積分與曲面積分教案

課次16周次9教學時數(shù)2授課課題§10.1對弧長的曲線積分授課方式講授教學目標1理解第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)的定義和性質，進一步滲透有限與無限、量變到質變的辨證關系，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點2掌握第一類曲線積分的計算方法3掌握用第一類曲線積分解決問題的步驟教學重點難點重點是第一類曲線積分的計算方法難點是第一類曲線積分的定義及應用授課方法和手段講練結合法教學內容與教學過程設計一、對弧長的曲線積分1。曲線形物件的質量線形構件質量設一構件占xoy面內一段曲線弧L，端點求構件質量M。解(1)將L分割As(i=1,2,……,n)iV(x,y)eAs,AM?p(x,y)AsM氏￡p(x,yhsi=1M=lim￡p(x.,y)As 九=max{^^°i=1定義L為xoy面內的一條光滑曲線弧，f(x任取一點(&,1)eASj(i=1,2,3..x=max{As「As2,—,As}，當九.0時f(x,y)在L上對弧長的曲線1為A,B，線密度p(x,y)連續(xù)yJA 0tn小段AS「令此極限值為As,As，…,y)在L上有.,n),作和hlim2nf(j0i=1員分(第一類八 ？xo,Asn}界，用MJ將L分成￡f(q,1)ASi，/i=1Ji,q)AS存在，稱W曲線積分)記為

Jf(x,y)ds=lim[f化內)ASL j。i=1 ；I,注意：(1)若曲線封閉，積分號』.?f(x,y)ds若f(x,y)連續(xù)，則』f(x,y)ds存在，其結果為一常數(shù)。幾何意義f(x若f(x,y)連續(xù)，則』f(x,y)ds存在，其結果為一常數(shù)。幾何意義f(x,y)=1，則Jf(x,y)ds=L(L為弧長)物理意義M=Jp(x,y)dsL此定義可推廣到空間曲線Jf(x,z,y)ds=limff化E工)ASr j0i=i(6)將平面薄片重心、轉動慣量推廣到曲線弧上Jpxds Jpyds重心：x=l^m-'y=l^m-轉動慣量：I=Jy2p(x,y)ds，LJpzdsz=Lm—。I=Jx2p(x,y)dsL=J(x2+y2)p(x,y)ds(7)若規(guī)定L的方向是由A指向B，由B指向A為負方向，方向無關。二、對弧長的曲線積分的性質根據(jù)定義可知，若函數(shù)f(x，y)在L上連續(xù)(或除去個別點外，f(x，y)在L上連續(xù)，有界)，L是逐段光滑曲線，則f(x，y)在L上對弧長的曲線積分一定存在(即f(x，y)在L上可積)。設f(x，y)，g(x，y)在L上可積，則有以下性質：(1)Jkf(x,y)ds二kJf(x,y)ds(k為常數(shù));J[f(x,y)土g(x,y)]ds=Jf(x,y)ds±Jg(x,y)ds；如果曲線L由4，…,Lk幾部分組成，則在弧L上的積分等于在各部分上積分之和，即Jf(x,y)ds=Jf(x,y)ds+Jf(x,y)ds+-??+Jf(x,y)ds。L1L2Lk三、對弧長的曲線積分的計算法定理設曲線L由參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)(a<t<fi)表示，x(t)，y(t)在區(qū)間［a,網上有一階連續(xù)導數(shù)，且X,2(t)+段(t)加(即曲線L是光滑的簡單曲線),函數(shù)f(x,y)在曲線上連續(xù)，貝UJf(x,y)ds=「f(x(t),y(t))s，'x'2(t)+y'2(t)dt。L a證如圖10-41所示，設曲線L以A,B為端點，弧AB的長度為l,L上任一點M可由弧長AM=s來確定，以s為曲線L的參數(shù)，點A對應于s=0,點B對應于s=l，點K.(4，％)對應于s=si，于是根據(jù)定義Jf(x,y)ds=limXf(，,Q)As=limZf(x(s),y(s))As=J1f(x(s),y(s))ds。L j0「'llj0「iii0I=1 l=1由假設曲線L由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)(a<t<fi)表示，x(t),y(t)在1a,4]上連續(xù)，設弧長s隨t的增大而增大，于是s’(t)=、：'x‘2(t)+y'2(t)。將(10-5-2)式右端作變量代換，并注意t=a時，s=0,t=B時，s=1，于是得Jf(x,y)ds=Jbf(x(t),y(t))x.'x'2(t)+y'2(t)dt。L a說明：從定理可以看出(1)計算時將參數(shù)式代入f(x,y),ds=的，2(t)+62(t)dt，在［a,P］上計算定積分。(2)注意：下限a一定要小于上限P,a<P(???ASi恒大于零，，Ati>0)L：y=6(x),a<x<b時，Jf(x,y)ds=Jbf[x,3x)]v1+即'(x)]2dxaL同理L：x=巾(y),c<y<d時，Jf(x,y)ds=Jdf[弧y),y]V1+[。'(y)]2dy。cL空間曲線P：x=6(t),y=V(t),z=b(t),Jf(x,y)ds=Jpf即(t),V(t),m(t)]w'2(t)+V'2(t)+e'2(t)dtaP計算曲線積分J6ds,曲線L是拋物線y=，x2自點（0,0）到點（2,1）L 4的一段弧。的一段弧。71—X21+X71—X21+X2dx=2(1+?)；計算曲線積分I=Jxyds,L是橢圓X2+￡=1在第一象限中的部分。b2因為ds=6+T2dx=J1+|x|dx而x的變化區(qū)間是[0,2],由公式得=3(2x12-1)o1-1其中1-1其中r是螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的第一圈。解由橢圓的參數(shù)方程x=acost,產bsint,可得x'尸-asint，y，尸bcostds=+y'2dt=\a2sin21+b2costdtds=按公式，得TOC\o"1-5"\h\zI=Jxyds=J2acost?bsint^a2sin21+b2cos21dtL 0ab2 2,a2+b2b2-a2 . ( + U)324b2-a23 2 2aba2+ab+b2例4計算曲線積分

解因為ds=，x4(t)+y，2(t)+z4(t)dtt的變化區(qū)間是［0,=4(-asint)2+(acost>+b2dt=Va2+b2dt,2T，由公式即得』一ds——=/a2+b2f2冗—dt一rx2+y2+z2 0a2+b212Ja2+b2 bt- 2XVO\^V\ 2兀練習計算曲線積分）\ydarcianab a0Ja2+b2 2b= arctan 。ab as，其中L是第一象限內從點A(0,1)到點B(1,0)的單位圓弧課外自主學習設計學習資源教學反思（手寫）5

課次17周次 9 教學時數(shù) 2授課課題§10.2對坐標的曲線積分授課方式講授教學目標1理解第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）的定義和性質，進一步滲透有限與無限、量變到質變的辨證關系，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀占八、、2掌握第二類曲線積分的計算方法3熟悉兩類曲線積分之間的關系教學重點難點重點是第二類曲線積分的計算方法難點是對坐標的曲線積分計算中，積分上下限與起點和終點有關兩類曲線積分之間的聯(lián)系授課方法和手段講練結合法教學內容與教學過程設計一、引例變力沿曲線所作的功。設一質點在x分面內從點A沿光滑曲線弧L移到點B，受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)/，其中P，Q在L上連續(xù)。求上述過程所作的功解(1)分割先將L分成n個小弧段McM(i=1,2,……,n)i-1i(2)代替用mM=Axi+Ayj近似代替M°M Ax=x-x，i-1i i iJ i-1i i i i-1Ay=y-y V(m,n)eM°Mi i i-1 ii i-1iF(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j近似代替M°M內各點的力，則F(x,y)沿M°M所做i-1i i-1i的功A攻pF6,nj?M1M(3)求和攻p￡[P(m.,Q)Ax.+Q(m.,Q)Ay.]i=14)取極限令九=max{M °M的長度，攻=limZ[P(m，刈)Ax +Q(己刀)Ay ]i-1i X^0 ii i ii ii=1這類和的極限在研究其他物理、力學問題時也會遇到，現(xiàn)在引進下面的定義。二、對坐標的曲線積分的定義定義1設L為，0y面內從點A到點B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在L上有界，在L上沿L的方向任意插入一點列M1（x1，y1），M2（x2，y2），…，Mn-1（xn_1，yn_1），把L分成n個有向小弧段MM （i=1，2，…，n；M0=A，Mn=B）i-1i設Axi=x「xi_1，Ayi=y「y"1，點（0，%）為M^Mi上任意取定的一點，如果無論怎樣將L劃分為n個小弧段，也無論（0，%）在小弧段Mi1Mi上怎樣取定，當各小弧段長度的最大值A-0時，和式￡p化內）Ax的極限總存在，則稱此極限值為函數(shù)P（x，y）iiii=1在有向曲線弧L上對坐標x的曲線積分，記作JP（x,y）dx，類似地，如果X?；?n）Ayi=1總存在，則稱此極限值為函數(shù)Q（x，y）在有向曲線弧L上對坐標y的曲線積分，記作JQ（x,y）dy，即有L心0. 1 1 1I=1JP(x,y)dx=limZp(&心0. 1 1 1I=1JQ(x,y)dy=limZq(&,刈)Ay其中P（x，y），Q（x，y）叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。對坐標x或y的曲線積分統(tǒng)稱為對坐標的曲線積分或稱為第二類曲線積分。應用上經常出現(xiàn)的是JP(x,y)dx+JQ(x,y)dy這種合并起來的形式。為簡便起見，把它寫成JP（x,y）dx+Q（x,y）dy。L例如，前面討論過的變力F=P（x，y）i+Q（x，y）j沿L從A到B所做的功可以表示成W=JP（x,y）dx+Q（x,y）dy我們指出，當P（x，y），Q（x，y）在有向曲線弧L上連續(xù)時，對坐標的曲線積分都存在，以后我們總假定P（x，y），Q（x，y）在L上連續(xù)。上述定義可以類似地推廣到積分弧段為空間有向曲線弧r的情形：八 iiiixf0.ii=1JP（x,y,z）dx=limZ八 iiiixf0.ii=1JQ(x,y,z)dy=limXq(己川工)Ayi iiixf0.ii=1JR(x,y,z)dz=limEr(mE工)Az合并起來的形式是JP(x,y)dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dz。L三、性質Pdx+Qdy+JPdx+QdyL1L2Lk組成的情形。它表示如果L是分段公式（Pdx+Qdy+JPdx+QdyL1L2Lk組成的情形。它表示如果L是分段公式（10-1-1）可以推廣到L由L1，L2,光滑的，我們規(guī)定函數(shù)在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分等于它在光滑的各段上對坐標的曲線積分之和。性質2設L是有向曲線弧，-L是與L方向相反的有向曲線弧，則有JP（x,y）dx=-JP（x,y）dx,JQ(x,y)dy=-JQ(x,y)dy。證把L分成n小段，相應地-L也分成n小段，對于每一個小弧段來說，當弧段的方向改變時，有向弧段在坐標軸上的投影的絕對值不變但要改變符號，因此式成立。上式式表明，當積分弧段的方向改變時，對坐標的曲線積分要改變符號。因此關于對坐標的曲線積分，我們必須注意積分弧段的方向，而對弧長的曲線積分則與積分弧段的方向無關，這是兩類曲線積分的一個重要差別。三、對坐標的曲線積分的計算與對弧長的曲線積分的計算一樣，對坐標的曲線積分也可化為定積分來計算。定理1設P（x，y），Q（x，y）在有向曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為Ix二叭t）,

[y=w（t）.當參數(shù)t單調地由a變到B時，點M（x，y）從L的起點A沿L運動到終點B，仙），中（t）在以a及B為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，且心（t）+?。╰）加，則曲線積分存在，且1P(羽y)dx+Q(x,y)dy=d[P(^(t),w(t)W(t)+Q(^(t),w(t))w'(t)]

證在L上取一點列它們對應于M=B，

nt=BTOC\o"1-5"\h\zA=M,M,M,…，M,

列單調變化的參數(shù)值它們對應于M=B，

nt=Ba=t，t，t，…，t，根據(jù)對坐標的曲線積分的定義，有2 n-1Xp化j口)Axii=1\),其中\(zhòng)在匚與設點(7，ni)對應于參數(shù)值、，即W=6(t.),n=力(\),其中\(zhòng)在匚與%之間。由于i1 1 1 1 11 Ax=x-x="(t)-@(t),應用微分中值定理，有iii-1 i i-1其中At=t-tiii-1Ax="，(T7)At,

其中At=t-tiii-1JP(x,y)dx=limXp3(t)”(t))60)At2。,=1iiI，利用”,(t)在閉區(qū)間[a,B](或[B,a])上的一致連續(xù)性可以證明，上式中的點T,i可換成Ti,從而P(x,y)dx=limZpW(t),w(t))5'(t')At大.。 i i iii=1上式右端的和的極限就是定積分dP(叭t)純(t))U(t)dt由于函數(shù)P(@(t),a力(t))@/(t)連續(xù)，這個定積分存在，因此JP(x,y)dx也存在，并且有LJP(x,y)dx=JbP(叭t),v(t))U(t)dtTOC\o"1-5"\h\zL a同理可證JQ(x,y)dy=Jp。(3t),w(t))w'(t)dt。L a兩式相加，得到JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JP[P(^(t),w(t)W(t)+Q(3t)”(t))w'(t)]dtL a這里下限a對應于L的起點，上限B對應于L的終點。注意(1)a：L起點對應參數(shù)，P：L終點對應參數(shù) a不一定小于0(2)若L由y=y(x)給出L起點為a,終點為0，則JPdx+Qdy=J0{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y'(x)}dx.L a(3)此公式可推廣到空間曲線r：x=G(t),y=p(t),z=b(t)(3)JPdx+Qdy+Rdz=fp{P[p(t),V(t),3(t)&'(t)+。[叭t)W(t),3(t)W'(t)

+R[p(t)，.(t),3(t)]3'(t))dta：r起點對應參數(shù)，p：r終點對應參數(shù)例1計算Jxydx，其中L為拋物線y2=x上從點A(1,-1)到點B(1,1)的一段弧。L解法1故解法2將所給積分化為對y的定積分來計算，將L的方程寫成

x=y2，解法1故解法2Jxydx=J1y2-y(y2ydy=J12y4dy=4/5L -1 -1將所給積分化為對x的定積分來計算，由于y=±x不是單值函數(shù)，所以要把L分為AO和OB兩部分在AO上y=-x，x從1變至U0;在OB上y=x，x從0變到1。因止匕

Jxydx=Jxy在AO上y=-x，L AO OBJ0x(-\x)dx+J1xv'xdx1 03=2J0x2dx=4/51顯然，本題中的積分化為對y的定積分來計算要簡便得多。例2計算Jy2dx，其中L為L(1)半徑為a，圓心在原點，按逆時針方向繞行的上半圓周；(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(-a,0)的直線段。解(1)L是參數(shù)方程x=acos3,y=asin3對于3從0變到兀的曲線弧，因此Jy2dx=Jn(asin0)2(-asin0)d0=a3Jn(1-cos20)dcos0L 0 0=a=a3cos0-1cos303兀4 -=a330(2)L的方程為y=0,x從a變到-aJy2dx=J-a0dx=0。L a從例2看出，雖然兩個曲線積分的被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但沿不同路徑得出的值并不相等。例3計算J(x+y)dx+(x-y)dy，其中L為L(1)拋物線y=x2上從0(0,0)到B(1,1)的一段弧;(2)拋物線x=y2上從0(0,0)到B(1,1)的一段弧;10

(3)有向折線OAB，這里O,A,B依次是點(0,0),(0,1),(1,1)。解(1)L：y=x2,x從0變到1。故J(X+y)dx+(x-y)dy=J1[(x+x2)+(x—x2).2x]dx0=J1(x+3x2-2x3)dx=1。0L：x=y2,y從0變至【11,故J(x+y)dx+(x-y)dy=J1[(y2+y)?2y+(y2-y)]dy0=J1(2y3+3y2-y)dy=1。0J(x+y)dx+(x-y)dy=J(x+y)dx+(x-y)dy+J(x+y)dx+(x-y)dy。L OA在L OA在OA上，x=0,y從0變到1,所以ABJ(x+y)dx+(x-y)dy=J1[y?0+(-y)]dy=-OA . 3[(x+1)+(x-1)?0]dx=-。^2在AB上，y=1,x從0變到1,所以J(x+ . 3[(x+1)+(x-1)?0]dx=-。^2AB1 3T從而J(x+y)dx+(x-y)dy=-2-+2-=1從而從例3可以看出，雖然路徑不同，曲線積分的值可以相等。練習計算⑴Jx2dy+2xydx.，其中L為(1)的拋物線y=x2上從O(0,0)到B(1,1)一L段弧。(2)拋物線x=y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧。(3)有向折線DAB，這里O,A,B依次是點(0,0),(1,0),(1,1)。結論：起點，終點固定，沿不同路徑的積分值相等。例4計算Jxydx+(x-y)dy+x2dz,其中r為螺旋線：x=acost,y=asint,z=bt,0<t<nor解由公式得Jxydx+(x-y)dy+x2dz=J兀[-a3costsin21+a2(cost-sint)cost+a2cos21?b]dt0=Jn[-a3costsin21+a2(1+b)cos21-a2sintcost]dt0=-3a3sin31+2a2(1+b)(t+2sin21)+：cos2111例5計算Jxdx+ydy+(x+y-1也，其中r是從點A(1,1,1)到點B(2,3,4)的r直線段。解線段AB的方程是二1="1=口，化為參數(shù)方程得1 2 3x=1+1,y=1+21,z=1+31,t從0到1于是得 Jxdx+ydy+(x+y-1)dz=J1[(1+1)x1+(1+21)*2+(1+1+1+21-1)*3]dt0=J1(6+141)dx=130例6設有一質量為m的質點受重力的作用在鉛直平面沿某一光滑曲線弧從點A移動到點B，求重力所做的功。解取水平直線為x軸，y軸鉛直向上，則重力在兩坐標軸上的投影分別為尸(x，y)=0，Q(x，y)=-mg，其中g為重力加速度，于是當質點從A(x0，y0)移動到B(xyJ時，重力做功為W=JPdx+Qdy=J(-mg)dy=Jy1(-mg)dy=mg(y0-y1)oAB AB y0此結果表明，這里重力所作的功與路徑無關且僅取決于下降的高度。課外自主學習設計學習資源教學反思(手寫)12

課次 18授課課題授課方式周次 10 教學時數(shù) 2§10.3格林公式及其應用講授教學目標1掌握格林公式2理解曲線積分與路徑無關的條件教學重點難點重點是格林公式應用難點是利用格林公式簡化二重積分、曲線積分、求平面圖形面積授課方法和手段講練結合法教學內容與教學過程設計一、格林公式在一元函數(shù)積分學中，牛頓萊布尼茨公式IbF\x)=F(b)-F(a)表示：F8)在區(qū)間［a,ab］上的定積分可以通過它的原函數(shù)F(x)在這個區(qū)間的端點上的值來表達。下面要介紹的格林(Green)公式告訴我們，在平面閉區(qū)域D上的二重積分可以通過閉區(qū)域D的邊界曲線L上的曲線積分表達。現(xiàn)在先介紹平面單連通區(qū)域的概念，設D為平面區(qū)域，如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D,則D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域。通俗地說，平面單連通區(qū)域就是不含有“洞”(包括點“洞”)的區(qū)域，復連通區(qū)域是含有“洞”(包括點“洞”)的區(qū)域。例如，平面上的圓形區(qū)域｛(x,y)1x2+y2<1｝,上半平面｛(X,y)1y>0｝都是單連通區(qū)域，圓環(huán)域｛(x,y)l1<x2+y2<4｝、｛(x,y)l0<x2+y2<2｝都是復連通區(qū)域。此外，我們還需要平面區(qū)域的邊界線的正向的概念。對于平面區(qū)域D的邊界曲線L,我們規(guī)定L的正向如下：當觀察者沿L的這個方向行走時，D內在他近處的那一部分總在他的左邊。相反的方向則為負方向。曲線L取負方向則記作-L。例如，D是邊界曲線L及L所圍成的復連通區(qū)域，作為D的正向邊界，L的正向是逆時針方向，而L的正向是順時針方向。定理1設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L所圍成.函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階13

連續(xù)偏導數(shù)，則有"連續(xù)偏導數(shù)，則有"隊。x。yPdx+Qdy，其中L是D的取正向的邊界曲線.公式稱為格林公式。證根據(jù)D的不同形式，分三種情形證明。(1)若區(qū)域D既是x型又是y型區(qū)域，即平行于坐標軸的直線和邊界曲線L至多交于兩點。OInfiOInfi設D{(x,y)%(x)<y<%(x),〃<x<b},因為?連續(xù)，所以由二重積分的計算法有1 ayffaPdxdy=fbdx卜2(x)°P(x,y)dy=fb[P(x,p(x))一P(x,p(x))]dx

day ，a p1(x) ay . 2 1」，另一方面，由對坐標的曲線積分的性質及計算法有fPdx=fPdx+fPdx=fbP(x,p(x))dx+faP(x,p(x))dxL1LL1=fb[P(x,p(x))一P(x,p(x))]dxa因此-ffaPdxdy=fPdx因此Day Lff^Qdxdy=6QdxDax L同時成立，合并后即得公式。設D={(x,y)1%(y)<x<%(y),c<y<ff^Qdxdy=6QdxDax L同時成立，合并后即得公式。(2)若D是一般單連通區(qū)域.這時可用幾段光滑曲線將D分成若干個既是x型又是y型的區(qū)域。如圖所示，將D分成3個既是x型又是y型的區(qū)域D1,D2,D3,在這三個區(qū)域上格林公式成立，將三個等式相加，再注意到fPdx+Qdy+JPdx+Qdy+JPdx+Qdy=0，CAABBCCAABBC即可證得區(qū)域D上格林公式成立。(3)若D為復連通區(qū)域.這時可用光滑曲線將D分成若干個單連通區(qū)域從而變成(2)的情形14

注意，對于復連通區(qū)域。，格林公式右端應包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分，且邊界的方向對于區(qū)域D來說都是正向。說明：(1)格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立（2）記法（2）記法Jxdy-ydx=jjL dxdydaxay(3)在一定條件下用二重積分計算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計算二重積分。例1計算Jxdy，其中AB是半徑為r的圓在第一象限的部分AB解引入輔助曲線0A，BO,令L=^A+AB+BO,應用格林公式，因為P=0,Q=x，則辿-aP=1axay所以而又由于所以JJdxdy=Jxdy=-Jx所以而又由于所以TOC\o"1-5"\h\zD -L LJxdy=Jxdy+Jxdy+Jxdy，L OA AB BOJxdy=0,Jxdy=0，Jxdy=-JJdxdy=--nr2。AB D 4例2計算JJe-y2dxdy，其中D是以O(0,0)A(1,1),B(0,1)為頂點的三角形閉區(qū)域。D15

yy解令P=0,Q=xe—尸，貝UdQdP——--=e-y2由公式(10-3-1)有U由公式(10-3-1)有Ue-y2dxdy=jOA+AB+BOxe-y2dy=jxe-y2dy=J1xe-x2dx=—(1-e-1)。

OA 0 2例3計算jxdy-ydx，其中l(wèi)為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續(xù)閉lx2+y2x2+x2+y2x2+y2dQ y2-x2d.Pdx(x2+y2)2sy記L所圍閉區(qū)域為。當（0,0）任D時，由公式便得Jxdy-ydx=0；當（0,0）￡DLx2+y2時，選取適當小的廠＞0作位于D內的圓周L：x2+y』兒記L和L所圍成的閉區(qū)域為D1。對于復連通區(qū)域D1，應用公式得jxdy-ydx-jxdy-ydx=0,Lx2+y2 lx2+y216其中L的方向為逆時針方向.于是lx2+y2 ix2+y2 0下面說明格林公式的一個簡單應用.在公式中取P=-y,Q=x,即得Jxdy-ydx=j2nr2cos20+r2sin20d0=2n2jjdxdy=Jxdy-ydx.D L所以區(qū)域D的面積A為若令P=0,Q=x,則得例4求橢圓x=acos。解根據(jù)公式有A=11xdy-ydx.2LA=JxdyLy二bsin。所圍成圖形的面積A.A=1Jxdy-ydx=1j

2l 2=1abj2nd0=nab.2 0練習1計算j(y-x)dx+(3x+y)dyC2n(abcos20+absin20)d00L：(X-1)2+(y—4)2=9原式二jj(3-1)dxdy=18兀，迎=3,

d ex計算星形線1X"aC°s”圍成圖形面積(0<t<2兀)y=asin31A=-jxdy-ydx=—j2n(acos31?3asin21cost+asin21?3acos21sint)dt=生藝2l 20 8二、平面上曲線積分與路徑無關的條件一般來說，給定函數(shù)的曲線積分與路徑和路徑的起、終點均有關系.但在一定條件下，也可與路徑無關，而只決定于積分曲線的起點和終點，在第二節(jié)例3中，我們已遇到過這種情況在物理學中，如重力做功，保守力場中場力做功等，均屬于與路徑無關的曲線積分情形.由格林公式，我們可以推得曲線積分與路徑無關的條件。定理2設P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域D內有連續(xù)偏導數(shù)，則下列條件相互等價：(1)沿D中任一分段光滑的閉曲線L有6Pdx+Qdy=0；17(2)對D中任一分段光滑曲線L，曲線積分1Pdx+Qdy與路徑無關，只與L的L起點與終點有關；(3)Pdx+Qdy是D內某一函數(shù)u的全微分，即在D內存在函數(shù)u(x,y)，使得du=Pdx+Qdy；TOC\o"1-5"\h\zdP dQ(4)在(4)在D內每點處有dy dx定理2中四個命題相互等價的意思是指它們之間互為充分與必要條件，例如從定理中得出結論“曲線積分1Pdx+Qdy與路徑無關的充要條件是：”=辿在D內恒成L dy dx立.”等，我們用轉圈的辦法來證明這個定理。證(1)n(2)設A,B為L的起點和終點，任取兩條路線AMB和ANB，由(1)所以即所以即) Pdx+Qdy=0AMBNAJ Pdx+Qdy+1 Pdx+Qdy=0AMB BNA1 Pdx+Qdy=-1 Pdx+Qdy=1 Pdx+Qdy，AMB BNA ANB說明積分值與路徑無關。(2)n(3)設A(x0,y0)為D內某一定點，B(x,y)為任意一點由(2)知1Pdx+Qdy的值僅與點B有關而與積分路徑無關，當B(x,y)在D內變AB動時，上述積分是點B(x,y)的函數(shù)，設為u(x,y)=1Pdx+Qdy=1(x,y)Pdx+QdyAB (xo,y0)下面證明u(x,y)的全微分就是Pdx+Qdy，因為P(x,y),Q(x,y)都是連續(xù)的，因此只要18Su du證明 =P(x，y), =Q(x,y)。c.x Sy按偏導數(shù)定義，有 如=limCxA-0于是u(x+Ax,y)=J(x+Ax,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy(x0,y0)這里的曲線積分與路徑無關，可以取先從A(x0,y0)到B(x,y)，然后沿平行于x軸的直線從B到C(x+Ax,y)作為上式右端的曲線積分的路徑，這樣就有u(x+Ax,y)=u(x,y)+J(x+Ax,y)Pdx+Qdy從而(x,y)u(x+Ax,y)-u(x,y)=J(x+Ax,y)Pdx+Qdy(x,y)因為直線段BC的方程為y二常數(shù)，按對坐標的曲線積分的計算法，上式成為

u(x+Ax,y)-u(x,y)=Jx+AxP(x,y)dxx應用定積分中值定理，得u(x+Ax,y)-u(x,y)=P(x+0,Ax,y)Ax上式兩邊除以Ax，并令Ax-0，由于P(x,y)的偏導數(shù)在D內連續(xù)，P(x,y)本身也一定連續(xù)，于是得如=P(x,y).Cx所以(3)n(4)du=Pdx+Qdy設存在函數(shù)u(x,y)，使得du=Pdx+Qdy那么有CQ C2u = .CxCyCx因為CP與CQ連續(xù)，CyCx所以C2u C2u。CxCyCyCx所以dydxdy19從而有apaq

ayax從而有(4)n(1)設L為D中任一分段光滑的封閉曲線，記L圍成的區(qū)域為D〃由于D是單連通區(qū)域，所以D1全屬于D內，應用格林公式及條件(4)可得PdPdx+Qdy=6爪axaydxdy=0.J在定理2中，要求區(qū)域D為單連通區(qū)域，且函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內具有一階連續(xù)偏導數(shù)汝口果這兩個條件之一不能滿足，那么定理的結論不能保證成立.例如，在例3中我們已經看到,當L所圍成的區(qū)域含有原點時,雖然除去原點外,恒有筌ap,但沿閉曲線的積分6Pdx+Qdy于0其原因在于區(qū)域內含有破壞函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及LI'f連續(xù)性條件的點。,這種點通常稱為奇點.如圖所示，在公式中取ARB為積分路徑，如圖所示，在公式中取ARB為積分路徑，TOC\o"1-5"\h\zu(x,y)=JxP(x,y)dx+JyQ(x,y)dy

x0 0 y0在公式中取ASB為積分路徑，得x0u(x,y)=JyQ(x,y)dy+JxP(x,y)dx

x0例5計算1(1+xy2)dx+x2ydy，其中L是橢圓g+y2=1在第一、第二象限的部分,l 4方向從點A到點B。解因為在此橢圓曲線上進行積分計算較繁.能否換一條路徑呢？由于P(x,y)=1+xy2,Q(x,y)=x2y，得aP=2xy=絲在整個xOy平面上(單連通域)成立，所以該ay ax曲線積分與路徑無關，故我們取x軸上線段AB作為積分路徑AB的方程為y=0,且x從-2變到2,從而20

J(1+xy2)dx+x2ydy=JJ(1+xy2)dx+x2ydy=J(1+xy2)dx+x2ydy=』21dx=4

L AB -2例6驗證：xdy-y而在右半平面(x>0)內是某個函數(shù)的全微分，并求出一個x2+y2這樣的函數(shù).解 P=———,Q=-x一,有x2+y2 x2+y2在右半平面內恒成立，因此在右半平面內，蟲二2dx是某個函數(shù)的全微分.x2+y2,.V,⑼如明取積分路徑如圖所示，利用公式得u(x,y)=J(x，y)xdy-ydx=J xdy-ydx+J(1,0)x2+y2abx2+y2bcxdy-ydx

x2+y2arctanyxyy=arctan一x0例7設曲線積分Jxy2dx+yep(x)dy與路徑無關，其中叭x)具有連續(xù)的導數(shù)，且L夕(0)=0，計算J(1,1)xy2dx+yp(x)ddy.(1,0)dP dQ解P(x,y)=xy2,Q(x,y)=y^(x),—=2xy, ——=y“(x)，由曲線積分與路徑無關的條dy dx件有：1P=半，所以有y“(x)=2xydydx因此叭x)=x2+C由夕(0)=0得C=0，即叭x)=x2J(1,1)xy2dx+yp(x)dy=J10dx+J1ydy=1/2。(1,0) 0 0(0,D和(1，2)點的圓弧。練習曲線積分/="'y+x他+(叱-2y(0,D和(1，2)點的圓弧。21

(卜y一,B %解令P=o Aey+x，Q_ 7^xaq_ _eyxey-2y，貝ax ，ap——=eyay ???I與路徑無關。取積分路徑為OA+AB。I_JPdx+QdyJJ1(1+x)dx+J2(ey=0 0Pdx.:-2y)dy_e2--課外自主學習設計學習資源教學反思（手寫）22

課次 19周次 10 教學時數(shù) 2授課課題§10.4對面積的曲面積分授課方式講授教學目標理解對面積的曲面積分的概念、性質及計算教學重點難點重點是對面積的曲線積分的計算難點是對面積的曲面積分的計算授課方法和手段講練結合法教學內容與教學過程設計曲面積分的積分區(qū)域是空間的曲面，這里我們所討論的曲面都是光滑的或分片光滑的.如果曲面￡上每點M都有切平面，而且當M沿曲面連續(xù)變動時，切平面的法向量在曲面上連續(xù)變化，就稱曲面￡是光滑的；如果曲面￡是由幾塊光滑曲面組成的連續(xù)曲面，就稱￡是分片光滑的。一、對面積的曲面積分的概念.空間曲面質量在對平面曲線弧長的曲線積分中，將曲線換為曲面，線密度換為面密度，二兀函數(shù)換為三兀函數(shù)即可得對面積的曲面積分。設有一曲面S。其上不均勻分布著面密度為S上的連續(xù)函數(shù)目=皿羽y,z)，求曲面S的質量。經分割，代替，求和，取極限四步，M=Jmf工,)?△Sj.定義設曲面Z是光滑的，f(羽y,z)在Z上有界，把Z分成n小塊，任取0，1工,)eAS」作乘積fJ,［工)?AS(i=1,2,……,n)，再作和￡f0口工)A'=1,2,……,n),i=1當各小塊曲面直徑的最大值九一0時，這和的極限存在，則稱此極限為f(x,y,z)在E上對面積的曲面積分或第一類曲面，記JJf(x,y,z)ds，即2JJf(X,y,z)ds=lim￡f化用工)-ASj0「 iii iE i=1說明：(1)也f(x,y,z)ds為封閉曲面上的第一類曲面積分(2)當f(x,y,z)連續(xù)時，JJf(x,y,z)ds存在(3)當f(x,y,z)為光滑曲面的密度函數(shù)時，質量M=JJf(x,y,z)dsE23

(4)(5)(6)f(x,y,z)=1時，~S-(4)(5)(6)f(x,y,z)=1時，~S-JJds為曲面面積2性質同第一類曲線積分E-E+E1 2若E為有向曲面，則JJf(x,y,z)ds與E的方向無關。2對面積的曲面積分有類似于第五節(jié)中的對弧長的曲線積分的一些性質.二、對面積的曲面積分的計算定理設曲面E的方程z-z(x,y)，E在xoy面的投影D，若f(x,y,z)在D上具有一xyxy階連續(xù)偏導數(shù)，說明(1)在E上連續(xù)，則JJf(x,y,z)ds=JJf(x,y,z(x,y))1+z2+z2dxdyd xy2 Dxy設z-z(x,y)為單值函數(shù)若E：x-x(y,z)或y-y(x,z)可得到相應的計算公式。若E為平面里與坐標面平行或重合時JJf(x,y,z)ds=JJf(x,y,0)dxdy例1計算曲面積分JJS(x2+y2+z2)dS，其中S是球面：x2+y2+z2=a2。解由被積函數(shù)與曲面的對稱性，所求積分等于兩倍上半球面S1上的積分，即

JJ(x2+y2+z2)dS=2JJ(x2+y2+z2)dS。SiS1的方程為z=\:1a2-x2-y2，從而3x 、Ja2-x2-y2所以 dS=11+、2dxdy=dxdy一y2曲面S1在xOy平面的投影區(qū)域D為：x2+y2sa2,由公式得JJ(x2+y2+z2)dS=U(x2+y2+a2-x2-y2)S,=drr2=JJ, a3 dxdy=J2,d9=drr2daa2-x2-y2 0 0=-2兀=-2兀a3aa2-r2°=2兀a4,0故有JJ(x2+y2+z2)dS-4九a4。S24

然而，如果我們利用曲面的方程先將被積函數(shù)化簡，并運用球面的面積公式，立即可得上面積分的值：pp rrJJ(x2+y2+z2)dS=a2JJdS=4兀a4.c cS S例2計算半徑為R的均勻球殼繞對稱軸的轉動慣量。解設面密度p0=1，取球心為坐標原點，則球面S的方程是x2+y2+z2=R2,易證所求轉動慣量為I=JJ(x2+y2)dS。c由上例知，球面的面積元素dS= R dxdy，Rr2-x2-y2代入上面的積分，并利」用對稱性得I=2JJ-八R(x2+y2)dxdy=2R卜defRJ」/R2-x2-y2 0 0Jr2—r2=4兀RJ0R r"-r-Rsin14nR4f2sin31dtRr2-r2 08D=一兀R4。3因為球殼質量M=4兀R2-p0=4兀R2,所以I=一4nR2-R2=一MR23 3課外自主學習設計—學習資源教學反思（手寫）25

課次20周次11教學時數(shù)2授課課題§10.5對坐標的曲面積分的概念授課方式講授教學目標1掌握有向曲面的概念2理解對坐標的曲面積分的概念及其性質教學重點難點重點是對坐標的曲面積分的概念難點是對坐標的曲線積分的性質授課方法和手段講練結合法教學內容與教學過程設計一、有向曲面的概念側：設曲面zY（x，y），若取法向量朝上（n與Z軸正向的夾角為銳角），則曲面取定上側，否則為下側；對曲面x=x（y'z），若n的方向與x正向夾角為銳角，取定曲面的前側，否則為后側，對曲面y=y（x，z），n的方向與y正向夾角為銳角取定曲面為右側，否則為左側；若曲面為閉曲面，則取法向量的指向朝外，則此時取定曲面的外側，否則為內側，取定了法向量即選定了曲面的側，這種曲面稱為有向曲面設^是有向曲面，在E上取一小塊曲面AS，把AS投影到xoy面上，得一投影域A。（表示區(qū)域，又表示面積），假定AS上任點的法向量與z軸夾角丫的余弦同號，xy[Ao cosy>0xy則規(guī)定投影ASx為ASx=（-A。xcosy<0實質將投影面積附以定的符號，同理可0 cosy=0以定義AS在yoz面，zx面上的投影AS,ASy26二、引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體(設密度為1)的速度場為V(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,Z為其中一片有向曲面，P,Q,R在Z上連續(xù)，求單位時間內流向Z指定側的流體在此閉域上各點處流速為常向量V，又設n為該平面的單位法向量，則在單位時間內流過這閉區(qū)域的流體組成一底面積為A，斜高為V的斜■ ￡?.、????一一 . rT fC- -冗- ___.,,、一、?柱體，斜柱體體積為A?V-cos。=A-v.n((n,v)=8<-)時，此即為通過區(qū)域A流向n所指一側的流量。當((n,CV)=。=夕時，流量為0，當@Cn)=e>今時，流量為負值稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側的流量均稱為A.v.n。解但所考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速V也不是常向量，故采用元素法。把Z分成n小塊ASi,設Z光滑，且P,Q,R連續(xù)，當ASi很小時，流過ASi的體積近似值為以ASi為底，以「(.，!工」為斜高的柱體，任(匕,[工,)eAS「n為(匕，'工,)處的單位法向量7=化用工｝，故流量①工V&,n工)?n,AS，iiii i iii i①p?viniAS=Z[Pcosa+QcosP+Rcosy]AS又cosa-AS=ASi=1 i=1cosP.-AS=AS,cosy..ASi=ASi.,?①2Z[PAS+QAS+RAS]i=1???①=limZ[PAS+QAS+RAS]，其中九為最大曲面直徑。^^°i=1三、對坐標的曲面積分的概念1.定義定義1設Z為光滑的有向曲面，函數(shù)R(x,y,z)在N上有界，把N任意分成n塊小曲面ASQSi同時又表示第i塊小曲面的面積，ASj在xOy面上的投影為(ASi),(?！癚是AS.上任意取定的一點，如果當各小塊曲面的直徑的最大值A-0時，27

limEr化,n工）（AS）20 iiiixy=1總存在，則稱此極限為函數(shù)R（x,y,z）在有向曲面N上對坐標x,y的曲面積分，記作JJ作JJR(x,y,z)dxdy，即sJJR(x,y,z)dxdy=limEr(己，刈<)(AS)。?0 ' ' 'xxy=1其中，R（x,y,z）叫做被積函數(shù)，N叫做積分曲面。類似地,可定義函數(shù)P（x,y,z）在有向曲面N上對坐標y，z的曲面積分JJP（x,y,z）dydz，及函數(shù)Q（x,y,z）在有向曲面N上對坐標z，x的曲面積分sJJQ（x,y,z）dzdx分別為s，yzf=i I'， 1HP(羽y,z)dydz=limXp(己,n<)(，yzf=i I'， 120 ' ' 'izxi=1JJQ(X,y,z)dzdx=limZ0(&,刈工20 ' ' 'izxi=1以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分。說明：（1）Z有向，且光滑(2)P說明：（1）Z有向，且光滑(2)P,Q,R在E上連續(xù)，即存在相應的曲面積分JJPdydz+JJQdzdx+JJRdxdy=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy穩(wěn)定流動的不可壓縮流體，流向e指定側的流量①=JJPdyd升QdzdxrRdxdye2.性質性質1如果把N分成N1和N2,則JJPdydz+Qdzdx+Rdxdys=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy+JJPdydz+Qdzdx+Rdxdys1 s2公式可以推廣到N分成N-N2,?…Nn的情形.性質2設N是有向曲面，-N表示與N取相反側的有向曲面，則JJP(x,y,z)dydz=-JJP(x,y,z)dydz，一s sJJQ(x,y,z)dzdx=-JJQ(x,y,z)dzdx，28JJR(x,y,z)dxdy=—JJR(x,y,z)dxdy.-S 2公式表示，當積分曲面改變?yōu)橄喾磦葧r，對坐標的曲面積分要改變符號，因此關于對坐標的曲面積分，我們要注意積分曲面所取的側.這些性質的證明從略.四、對坐標的曲面積分的計算設積分曲面Z是由方程z=z(x,y)所給出的曲面上側，Z在xOy面上的投影區(qū)域為。 函數(shù)z=z(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù)R(x,y,z)在N上連續(xù).按對坐標的曲面積分的定義，有JJR(x,y,z)dxdy=limEr化,刈工)(AS)

s 。iiiixyi=1因為Z取上側，cosY>0,所以(AS.)=(Aa)

\vxy'vxy又因(jnig)是z上的一點，故q=z(J〃i).從而有Zr化用工)(As)=Zr(^,n,z(^,n))(Ao)iiiixy iiii ixy=1 i=1令A-0取上式兩端的極限，就得到JJR(x,y,z)dxdy=JJ R(x,y,z(x,y))dxdy這就是把對坐標的曲面積分化為二重積分的公式.公式(10-5-1)表明，計算曲面積分JJR(x,y,z)dxdy時，只要把其中變量z換為表示Z的函數(shù)z(x,y)，然后在Z的投S影區(qū)域Dxy上計算二重積分就成了.說明：(1)將z用z=z(x,y)代替，將Z投影到xy面上，再定向，則JJRdxdy=JJR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy(2)若Z：z=z(x,y)取下側，則cosy<0，(AS)=-(Ao.)JJR[x,y,z(x,y)]dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy

Z dxy(3)JJPdydz,JJQdzdx與此類似z zZ：y=y(x,z)時，右側為正，左側為負x=x(y,z)時，前側為正，后側為負例1計算JJxdydz+ydzdx+zdxdy，其中Z為平面x+y+z=a(a>0)在第一卦限的部分，取上側。229

解為了方便，首先計算』』［dxdy.易知Z的法向量與Z軸正向的夾角為銳角，￡故二重積分取正號，N在xOy面上的投影為三角形區(qū)域AOB，其中Dxy:0<y<小x,0<x<a。所以 JJzdxdy二JJ（a一x一y）dxdy=JadxJa~x（a一x一y）dy=—a3?！?Dxy 0 0 6由于在此曲面積分中，x,y,z是對稱的，從而有JJxdydz=JJydzdx二一a3?！?￡ 63 1所以得到 JJxdydz+ydzdx+zdxdy二—a3=—a3。￡ 6 2例2計算曲面積分JJxyzdxdy，其中Z是球面x2+y2+z2=1外側在x>0,y>0的部分.￡解把Z分為Z1和Z2兩部分，如圖所示,Z1的方程為z1=-J1-x2-y2,Z2的方程為 z2=J1-x2-y2,所以JJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdy￡ ￡2 ￡1上式右端的第一個積分曲面Z2取上側，第一個積分曲面Z1取下側，因此應用公式就有JJxyzdxdy=JJxyJ1-x2-y2dxdy-JJxy(-J1-x2—y2)dxdy￡ D D=2JJDxyxyq1-x2-y2dxdy二2/r2sin0cos0J1-r2.rdrd0xy=J2sin20d0J1r3J1-r2dr0=1.工15課外自主學習設計02= .15學習資源教學反思（手寫）30

課次21周次11教學時數(shù)2授課課題§10.6高斯公式與斯托克斯公式授課方式講授教學目標1掌握高斯公式及其應用2掌握斯托克斯公式及其應用3理解空間曲線積分與路徑無關的條件教學重點難點重點是高嘶公式與斯托克斯公式難點是對高斯公式與斯托克斯公式的應用授課方法和手段講練結合法教學內容與教學過程設計一、高斯公式格林公式揭示了平面閉區(qū)域上的二重積分與圍成該區(qū)域的閉曲線上的第二類曲線積分之間的關系，而這里所提出的高斯(62左$)公式，則揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與圍成該區(qū)域的邊界閉曲面上的第二類曲面積分之間的聯(lián)系，可以認為高斯公式是格林公式在三維空間的一個推廣.定理1設空間閉區(qū)域Q是由分片光滑的閉曲面E所圍成，函數(shù)P(X,y,z)，Q(X,y,z)，R(x,y,z)在。及E上具有關于x,y,z的連續(xù)偏導數(shù)，則有川 —+—+—Idxdydz=4bPdydz+Qdzdx+Rdxdy,虱。xdy&J ￡這里E是Q整個邊界曲面的外側.公式(10-6-1)稱為高斯公式.證首先證明如下情形，任平行于坐標軸的直線和邊界曲面E至多只有兩個交點，這時E可分成下部E1，上部E2,側面E3二部分，其中E1和E2分別由z=z1(x,y)和z=z2(x,y)給定.這里z1(x,y)V2(x,y),E3是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面上的一部分，取其外側。由三重積分的計算法有川竺dv=JJ Jz2a,y)竺dz]dxdy=』J [R(x,y,z(x,y))一R(x,y,z(x,y))]ixdyC。z DLz(X,y)& 」 D 2 1xy 1 xy根據(jù)曲面積分的計算法，有JJR(x,y,z)dxdy=—JJR(x,y,z1(x,y))dxdy，JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z2(x,y))dxdy。4 Dxy31因為Z3上任意一塊曲面在xOy面上的投影為零，所以直接根據(jù)對坐標的曲面積分的定義可知J!R(x,y,z)dxdy=0把以上三式相加，得JJR(x,y,z)dxdy=JJ [R(x,y,z(x,y))一R(x,y,zS于是JJJqHdV=&Rady同理可證:JJJ—dv=(JJ)Pdydz