利率和期限結(jié)構(gòu)理論(證券投資學(xué)北大)

第三章利率和期限結(jié)構(gòu)理論利率理論的重要性名義利率和實際利率幾種常用利率的定義利率的確定期限結(jié)構(gòu)理論1.研究利率理論的重要性從宏觀層面：作為調(diào)節(jié)經(jīng)濟重要工具貨幣政策：刺激或者抑制投資，刺激或者抑制經(jīng)濟增長例子：人民銀行2002年2月21日降息，2004年10月28日宣布升息從微觀層面投資者關(guān)注所投資的證券的風(fēng)險和期望收益，無風(fēng)險利率作為評價投資機會的基準(Benchmarkforinvestment)。無風(fēng)險利率作為投資的比較標準：投資決策的第一原則(thefirstprincipleofinvestment)固定收益證券的定價和風(fēng)險管理，利率衍生產(chǎn)品的定價例子：債券定價、利率期貨定價風(fēng)險證券定價中折現(xiàn)因子的時間酬金部分Interestratesandforecastsoftheirfuturevaluesareamongthemostimportantinputsintoaninvestmentdecision.例子：1000元存款，浮動利率與固定利率定期存款例子：預(yù)測債券將來的價格2.名義利率和實際利率利率通常又稱為貨幣的時間價值名義利率(nominalinterestrate)貨幣的增長率實際利率(realinterestrate)購買力的增長率例如，假設(shè)在某一年，名義利率是7%，消費價格指標從121增加為124。這意味著，在基準年值100元的商品和服務(wù)簇，在這一年初的價格為121元，而到了這一年年末，價格為124元。這個商品和服務(wù)簇的所有者能夠在年初以價格121元賣掉它，并以7%的利率投資，在年末，得到129.47(=1211.07)元，用這129.47元馬上可以買1.0441(=129.47/124)個商品和服務(wù)簇。所以，實際利率為4.41%(=1.0441-1)。消費價格指標(consumerpriceindex)（或者生活成本指標）=年初的消費價格指標=年末的消費價格指標NIR=名義利率RIR=實際利率這里CCL表示通貨膨脹率當投資者對將來財富的購買力感興趣時，在進行投資選擇時，名義利率和實際利率的區(qū)分至關(guān)重要例子：1000面值零息債券，20年到期，名義利率為12%，購買價格為103.7元兩種計算利率的方式：簡單利率計算(simpleinterest)和復(fù)利的計算(compoundinterest)。例子：semiannualrate=3.86%簡單利率計算BondEquivalentYield7.72%=3.86%x2(AnnualPercentageRate(APR))在簡單利率計算的規(guī)則下，總值隨時間的增加而線性增加。復(fù)利的計算EffectiveAnnualYield (1.0386)2-1=7.88%在復(fù)利計算的規(guī)則下，總值隨時間的增加而以指數(shù)增加。例子：EffectiveannualratesforAPRof6%連續(xù)復(fù)利計算(continuouscompounding)（以年利率表示）3.未來利率的確定Forecastinginterestrateisoneofthemostnotoriouslydifficultpartsofappliedmacroeconomics.盡管存在許多種利率（和證券的種類一樣多），經(jīng)濟學(xué)家所說的利率是一種有代表性的利率，我們利用這種抽象的概念來說明市場如何確定未來的均衡利率。3.1實利率的確定三個基本因素確定實利率水平儲戶的供給商業(yè)的需求政府行為財政政策貨幣政策實利率的確定InterestrateSupplyequilibriumrealrateofinterestDemandEquilibriumfundslentFunds盡管決定實利率的基本因素是個人的儲蓄傾向和投資的預(yù)期生產(chǎn)力，政府的貨幣政策和財政政策也影響實利率。實際利率的唯一性3.2名義利率的確定FisherequationOnereasonitisdifficulttodeterminetheempiricalvalidityoftheFisherhypothesisthatchangesinnormalratespredictchangesinfutureinflationratesisthattherealratealsochangesunpredictablyovertime.Longerratesincorporateforecastsforlong-terminflation.Interestratesonbondsofdifferentmaturitymaydiverge.Thepricesoflonger-termbondsaremorevolatilethanthoseofshort-termbonds.Thisimpliesthatexpectedreturnsonlonger-termbondsmayincludeariskpremium,sothattheexpectedrealrateofferedbybondsofvaryingmaturityalsomayvary.假設(shè)：盡管有通貨膨脹風(fēng)險，在本章以下的內(nèi)容里假設(shè)通貨膨脹率是可以準確預(yù)測的。這個假設(shè)使得我們可以僅僅關(guān)注時間對債券價值的影響。到期收益率現(xiàn)貨利率遠期利率4.幾種利率的定義及性質(zhì)4.1到期收益率債券的到期收益率(yieldtomaturity)指的是，由銀行支付給投資者的、使得投資者在將來能夠獲得該債券承諾的所有支付的唯一利率（在某個特定的時間區(qū)間以此利率計算復(fù)利）。我們也可以這樣定義：如果用其作為折現(xiàn)率，所有現(xiàn)金支付（包括利息和本金）的現(xiàn)值正好等于其價格。到期收益率描述的是整個到期日之前的利率Theyieldtomaturitycanbeinterpretedasthecompoundrateofreturnoverthelifeofthebondundertheassumptionthatallbondcouponscanbereinvestedataninterestrateequaltothebond’syieldtomaturity.假設(shè)債券的面值為，每年支付m次利息，每次支付的利息為，債券的價格為P，則到期收益率是使得下式成立的的值上式中的第一項是面值的現(xiàn)值，第k項是第k次利息的現(xiàn)值。以名義利率為基礎(chǔ)，所有支付的現(xiàn)值和為債券的價格。如果按這種定義方式，到期收益率類似于投資決策里的內(nèi)部收益率(internalrateofreturn)。每一種債券的到期收益是由債券自己的結(jié)構(gòu)決定的，具有獨有的特性。因為利息一般每年支付兩次，所以通常以半年為單位計算復(fù)利來計算債券的到期收益率。三種國庫券分別稱為A、B、C。債券A一年到期，在到期日，投資者獲得1000元。同樣地，債券B兩年到期，在到期日，投資者獲得1000元。債券C是帶息債券(couponbond)，從現(xiàn)在開始，這種債券每年支付50元的利息，兩年到期，在到期日，支付給投資者1050元。市場上三種債券的價格分別為：債券A（一年到期的純折現(xiàn)債券）：934.58元債券B（兩年到期的純折現(xiàn)債券）：857.34元債券C（兩年到期的帶息債券）：946.93元。債券A：到期收益率是滿足下面方程(2.3)的的值債券B：到期收益率是滿足下面方程(2.4)的的值債券C：到期收益率是滿足下面方程(2.5)的的值我們在上面是用計算利息的方式來定義到期收益率。由于折現(xiàn)值和利息是在時間上相對的兩個概念，所以我們下面利用計算折現(xiàn)值的方式來定義到期收益率。對債券A而言，方程(2.3)等價于對債券B而言，方程(2.4)等價于對債券C而言，方程(2.5)等價于到期收益率與債券價格之間的關(guān)系價格500 400300200100051015到期收益率15%10%5%0%在圖1中，價格表示為面值的百分比；價格作為縱軸，到期收益率作為橫軸，價格是到期收益的函數(shù)；所有債券的期限為30年；每條曲線上的數(shù)字表示息率。從圖1可以看出的第一個明顯的特征是它具有負的斜率，即價格與到期收益之間有相反的變化關(guān)系。如果到期收益率上升，價格就會下降。原因在于，對于固定的收入流，要使得投資者的到期收益率較高，投資者愿意支付的價格就越低。價格—收益曲線的第二個特征是，當?shù)狡谑找媛蕿?時，即沒有利率時，債券的價格正好等于它的所有支付的和。比如利息率為10%的曲線，每年為10點，一共30年，得到300點，再加上100%的面值，得到的價格為400點。第三個特征是當?shù)狡谑找媛屎屠⒙氏嗟葧r，債券的價格正好等于其面值。例如利息率為10%的曲線，當?shù)狡谑找媛蕿?0%時，其中的價格正好等于100點。這兩者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于10%的收益，從而每年的價格保持不變，均為100點。這相當于一種貸款，本金的利息每年支付，使得本金保持不變。第四個特征是，當?shù)狡谑找媛试絹碓酱髸r，債券的價格趨于零。

價格40030020010010到期收益率30年10年3年在圖2中，價格仍然為縱軸，到期收益率仍為橫軸，三種債券的息率均為10%，但三種債券的期限分別為30年、10年、3年。當?shù)狡谑找鏋?0%時，由上面的分析，我們知道它們的價格均等于其面值，所以它們通過共同的一點。但是，當?shù)狡谑找嫫x10%時，各自價格變化的程度卻不一樣?？梢钥吹?，當期限增加時，收益曲線越來越陡。這說明，期限越長的債券，其價格對收益率的敏感度就越大。

對投資者而言，價格—收益率曲線是非常重要的。因為它描述了債券所具有的利率風(fēng)險：如果到期收益變化，債券價格也將變化。這是一種即時風(fēng)險，只影響債券的近期價格。當然，如果債券持有者繼續(xù)持有這種債券，直到到期日，在到期日，他得到本金和利息，這個現(xiàn)金流不會受到到期收益的影響，從而沒有什么風(fēng)險。但是，如果債券持有者提前賣掉債券，就會有風(fēng)險。到期收益率和持有期收益率到期收益是對債券整個有效期內(nèi)平均回報率的一個描述持有期收益率是對任何時間期間收入占該時間區(qū)間期初價格的百分比的一個描述例子：30年到期，年利息為80元，現(xiàn)價為1000元，到期收益為8%，一年后，債券價格漲為1050元，到期收益將低于8%，而持有期收益率高于8%例子：010年1年1000元1050元1000元到期收益率是否是選擇投資的好標準？Supposethatyouaregiventwobondstochoosefromandyoumayinvestinonlyoneofthem.Shouldyoualwayschosetheonethathasthehigheryieldtomaturity?Example:Considertwobondswiththesamematurityoffifteenyears.Couponsarepaidannually.Informationaboutthebonds:Shouldyouchoosebond2?BondAnnualCouponPrincipalPriceYTM1$200$1000$154512%2$50$4856$154510%Supposethatthefuturecourseofoneperiodinterestratesiscertainandisgivenby:t123456789101112131415Spotrate(%)251084234567891011Followthereinvestmentstrategy:Reinvestthecouponsattheoneperiodspotratesandcontinuerollingoverthesecouponsandtheaccumulatedinterestonthemattheoneperiodspotinterestrate.Thevalueattheendofthefifteenthyearforthesetwobondsare:WHATHAPPENED??BondFuturevalue16049.3026127.33Lessons:Yieldtomaturityisnotavalidmeasureof“yield”forcouponbondssinceitdoesnottakeintoaccountfuturereinvestmentopportunities.Thecalculationofyieldtomaturityforcouponbondsassumesthatthecouponswillbereinvestedattheyieldtomaturity.Sincezerocouponbondsdonothavecouponstoreinvest,theirYTM'sarevalidmeasuresoftheirattractivenessasinvestments.Note:ThissameproblemoccursifyouusetheIRRruleinchoosinginvestmentprojects.這個例子說明當重投資利率發(fā)生變化時，利用到期收益率做比較時存在的問題。但是，當未來的利率不確定時，到期收益率就是很好的選擇標準。即期利率(spotrate)是零息債券的到期收益率。它是定義利率期限結(jié)構(gòu)的基本利率。4.2即期利率債券A、B市場的價格分別為：債券A（一年到期的純折現(xiàn)債券）：934.58元債券B（兩年到期的純折現(xiàn)債券）：857.34元債券A：即期利率是滿足下面方程的的值債券B：即期利率是滿足下面方程的的值債券C是帶息債券(couponbond)，從現(xiàn)在開始，這種債券每年支付50元的利息，兩年到期，在到期日，支付給投資者1050元。市場上三種債券的價格分別為：債券C（兩年到期的帶息債券）：946.93元。即期利率是針對具體時間的回報率（折現(xiàn)率），對所有的債券都成立。如果我們存一筆錢在銀行，一直到時間t以前，銀行不支付利息，而在時刻t，利息和本金一次性支付。這個投資過程所獲得的利率即為即期利率。一般來說，如果以年為計算單位，從現(xiàn)在(t=0)到時間t，投資者所持有的貨幣的利率即為0到t的即期利率，我們以表示。因此，表示一年的即期利率，即，持有貨幣一年的利率。同樣，表示持有貨幣兩年的利率，但它是以年為單位來表示的。這意味著，如果你存一筆錢A在銀行，銀行以利率計算復(fù)利，兩年后，連本帶息你可以得到每年一期：如果每年只計算一次，則t年的利率為：每年期：如果每年分為m期，則t年的利率為：連續(xù)復(fù)利：如果連續(xù)計算復(fù)利，則t年的利率為：確定即期利率曲線的方法。確定即期利率曲線最明顯的方式是通過不同到期日的零息債券的價格來決定。但是，由于能夠得到的零息債券的種類太少（事實上，沒有真正嚴格意義上的長期限的零息債券），所以，這種方法并不切實可行。第二種方式是通過附息債券的價格來決定即期利率曲線。這種方式從短期限的附息債券開始，逐步向長期限的附息債券遞推。首先，可以通過直接觀察1年的利率來確定。接著，考慮兩年到期的債券。假設(shè)這種債券的價格為P，每年支付的利息為C，面值為F，則P、F和C之間滿足如下關(guān)系：通過這個式子可以得到。利用這種方法，依次可以求出。第三種方法，我們也可以通過利用不同的附息債券構(gòu)造零息債券來確定即期利率。例：零息收益曲線的確定如何從帶息債券的價格得到零息收益曲線假設(shè)是連續(xù)復(fù)利的利率，是每年復(fù)利次的等價的利率（均以年利率表示），則由第一種證券，得到3個月連續(xù)復(fù)利利率（以年利率表示）由第二種證券，得到6個月連續(xù)復(fù)利利率（以年利率表示）1年的利率為假設(shè)1.5年的即期利率為，則從而這僅僅只是與6個月、1年的即期利率一致的現(xiàn)貨利率類似地，2年的即期利率為連續(xù)復(fù)利的即期利率Zerocurve作業(yè)：計算即期利率的期限結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來源：巨潮網(wǎng)，2004.9.20債券代碼到期日息率(%)收盤價0006962006.6.1411.83114.770097042007.9.59.78116.60099082009.9.233.393.990100042010.5.232.8795.120101102011.9.252.9588.420102032012.4.172.5485.11折現(xiàn)因子已知各個時間的即期利率，就可以給任何債券定價，這時，即期利率就是折現(xiàn)因子例子假定有一種國債，面值為1000元，息率為5%，期限為3年，那么該國債的現(xiàn)金流量為這種債券相當于3個零息債券的組合，其一面值為50元，期限為1年；其二面值為50元，期限為2年；其三面值為1050元，期限為3年。因此，本例中國債的價值一定等于這三個零息債券價值之和。因此，只要能夠計算出每種零息債券的價值，將這三個零息債券的價值加起來，就可以得到該國債的價格505050+1000折現(xiàn)因子表示在某一特定時期后的1元價值，相當于零時點的價值。設(shè)為折現(xiàn)因子，那么就表示在T期末支付1元錢的零息債券的現(xiàn)在價格。例子：折現(xiàn)因子通過折現(xiàn)因子，可以計算任何期限的，任何息率的固定收益證券的價格例子假定有一種國債，面值為1000元，息率為5%，期限為3年，那么該國債的價格為遠期利率(forwardrate)是現(xiàn)在確定的在將來兩個時間之間的貨幣的利率。4.3遠期利率考慮從現(xiàn)在開始到兩年之后的這段時間。假設(shè)現(xiàn)貨利率，已經(jīng)知道。如果我們在銀行把一塊錢存兩年，兩年后，這塊錢將變成我們也可以分兩步進行投資，先將這一塊錢存一年，同時決定將一年后得到的本息再存一年，從第一年末到第二年末之間的利率現(xiàn)在就規(guī)定好，設(shè)為。兩年后，這塊錢將變成元。由無套利原理，這兩種投資方法的回報應(yīng)該相等，即例：遠期利率的計算 假設(shè)采用連續(xù)復(fù)利的計算方式第2年的遠期利率由1年和2年的即期利率決定例：遠期利率的計算 一般的，設(shè)是年的即期利率（以年利率表示），設(shè)是年的即期利率（以年利率表示），則和之間的遠期利率為遠期收益率與到期日之間的關(guān)系當時，有4.4遠期利率與將來即期利率之間的關(guān)系確定性市場：投資者確定地知道將來每一年的利率值。例子：預(yù)期未來幾年中每年的利率PricingofBonds

usingExpectedRatesPVn=PresentValueof$1innperiodsr1=One-yearrateforperiod1r2=One-yearrateforperiod2rn=One-yearrateforperiodn面值為1000的零息債券的價格和即期利率期限結(jié)構(gòu)即期利率

到期日即期利率與將來每一年的利率

1234即期利率與將來每一年的利率fn=one-yearforwardrateforperiodnyn=yieldtomaturityforasecuritywithamaturityofnForwardRatesfrom

ObservedLong-TermRates例子中的遠期利率4yr=9.993 3yr=9.660 fn=?(1.0993)4=(1.0966)3(1+fn)(1.46373)/(1.31870)=(1+fn)fn=.10998or11%Note:thisisexpectedratethatwasusedinthepriorexample.在確定性市場中，將來的即期利率與遠期利率相等.單調(diào)上升的期限結(jié)構(gòu)表明將來的即期利率比現(xiàn)在的即期利率高在第一年的持有期收益率如果在第一年分別持有面值為1000、到期日為1、2、3年的債券，則在第一年的持有期收益率分別為在確定性市場中，不管采用什么投資策略，只要投資的期限相等，所得到的收益就相等。遠期利率與將來現(xiàn)貨利率之間的關(guān)系不確定性市場：投資者不知道將來的即期利率，僅僅知道債券的價格和到期收益率。假如投資者僅僅知道到期收益如下表所示，投資者關(guān)心第三年的即期利率考慮下面兩個投資策略投資在三年的零息債券先投資在兩年的零息債券，兩年后再重投資在一年債券兩年后第三年僅僅可以知道第三年的遠期利率，而第三年的遠期利率不一定就等于第三年的即期利率，甚至也不等于第三年的期望即期利率。只有當而第三年的遠期利率等于第三年的即期利率時，采用一次性到期策略和滾動策略所得到的收益才相等。遠期利率是否等于期望將來即期利率依賴于投資者愿意承擔(dān)利率風(fēng)險的程度，以及愿意投資在與投資時間不相匹配的債券上的程度。短期投資者長期投資者5.利率期限結(jié)構(gòu)描述把利率表示為到期日的函數(shù)，用以體現(xiàn)不同到期日利率的方式稱為利率的期限結(jié)構(gòu)UpwardSlopingMaturityFlatMaturityDownwardMaturity通過分析期限結(jié)構(gòu)得到什么信息Theredoesappeartobesomeevidencethatthetermstructureconveysinformationaboutexpectedfuturespotrates.Examiningthetermstructureofinterestratesisimportantfordeterminingthecurrentsetofspotrates,whichcanbeusedasabasisforvaluinganyfixed-incomesecurity.Suchanexaminationisalsoimportantbecauseitprovidessomeinformationaboutwhatthemarketplaceexpectsregardingtheleveloffutureinterestrates.6.期限結(jié)構(gòu)理論無偏期望理論易變性偏好理論市場分割理論習(xí)慣偏好理論無偏期望理論(theunbiasedexpectationstheory)又稱純期望理論。該理論認為，遠期利率反映了廣大投資者對將來現(xiàn)貨利率的某種預(yù)期；隨著期限的增加而增加的現(xiàn)貨利率，說明了大部分投資者預(yù)期將來的現(xiàn)貨利率將上漲。相反，隨著時間的增加而遞減的現(xiàn)貨利率，說明了大部分投資者預(yù)期將來的現(xiàn)貨利率將下跌。上漲的收益曲線例：一年的現(xiàn)貨利率為7%，兩年的現(xiàn)貨利率為8%，為什么這兩個現(xiàn)貨利率不同？等價地，為什么收益曲線是上漲的？現(xiàn)在投資1塊錢，有兩種投資策略一次性到期策略6.1無偏期望理論滾動投資策略：先投資一年，得到再投資一年，預(yù)期即期利率為1）10%：市場不均衡，所以10%不能代表大眾的預(yù)期2）6%：同樣，市場不均衡，6%也不能代表大眾的預(yù)期3）9.01%無偏期望理論認為，要使得代表大眾的預(yù)期，即市場是均衡的，必須有（1）由遠期利率的定義有：所以，無偏期望理論認為遠期利率代表了將來即期利率的預(yù)期值。（2）大眾預(yù)期一年期現(xiàn)貨利率將上漲是期限結(jié)構(gòu)上揚的原因；而大眾預(yù)期一年期即期利率將下降是期限結(jié)構(gòu)下降的原因。為什么大眾預(yù)期即期利率將變化？6.2易變性偏好理論易變性偏好理論(theliquiditypreferencetheory)認為投資者主要對購買短期債券有興