2014-2015學年上海市保德中學九年級（上）期末數(shù)學試卷

2014-2015學年上海市保德中學九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列等式中不成立的是（）A．a(chǎn)=bcotB B．a(chǎn)=csinA C．c=bcosA D2．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）把拋物線y=-13(x-2A．沿x軸向左平移2個單位 B．沿x軸向右平移2個單位C．沿y軸向上平移2個單位 D．沿y軸向下平移2個單位3．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，且AD：DB=3：2，則S△ADE：S四邊形DECB為（）A．3：2 B．3：5 C．9：25 D．9：164．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）在下列條件中不能判定△ABC∽△DEF的是（）A．∠D=40°，∠E=80°，∠A=60°，∠B=80°B．∠A=∠D，AB：AC=DF：EFC．∠B=∠E=90°，BC：EF=AC：DFD．AB=1，BC=2，CA=1.5，DE=6，EF=4，F(xiàn)D=85．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，BA→=a→，A．12a→-b→ B．b6．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知拋物線y=ax2+3x+（a﹣2），a是常數(shù)且a＜0，下列選項中可能是它大致圖象的是（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知xy=13，那么xx+y8．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）計算：2(m→+n→9．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）如果兩個相似三角形的周長的比等于1：4，那么它們的面積的比等于．10．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）已知拋物線y=ax2+bx+c有最高點，那么該拋物線的開口方向是．11．（4分）（2013秋?武陵區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，則tanB=12．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）在△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，要使DE∥AC，那么BE必須等于．13．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）已知點C為線段AB的黃金分割點，AC＞BC，且AC=1厘米，則AB=厘米．14．（4分）（2011?閘北區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是Rt△ABC的重心，已知CD=2，AC=3，則∠B=度．15．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2），且在對稱軸x=2的右側部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是（只要寫出一個符合要求的解析式）．16．（4分）（2009?安慶模擬）1米長的標桿直立在水平的地面上，它在陽光下的影長為0.8米；此時，若某電視塔的影長為100米，則此電視塔的高度應是米．17．（4分）（2017秋?定邊縣期末）如圖，正方形ABCD中，E是CD中點，F(xiàn)C=14BC，則tan∠EAF=18．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）如圖，E、F是平行四邊形ABCD邊AD、BC上的點，EF分別交對角線AC、BD于點G、H．如果EG：GH：HF=1：3：2，那么AE：BF=．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2014秋?保德縣校級期末）解方程：x+7-20．（10分）（2014秋?保德縣校級期末）如圖，已知向量a→、b→，求作向量2a→21．（10分）（2010?黃浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點，且tan∠BCD=12（1）試求sinB的值；（2）試求△BCD的面積．22．（10分）（2007?呼倫貝爾）如圖，小島A在港口P的南偏西45°方向，距離港口81海里處．甲船從A出發(fā)，沿AP方向以9海里/時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東60°方向，以18海里/時的速度駛離港口，現(xiàn)兩船同時出發(fā)．（1）出發(fā)后幾小時兩船與港口P的距離相等；（2）出發(fā)后幾小時乙船在甲船的正東方向？（結果精確到0.1小時）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73）23．（12分）（2014秋?保德縣校級期末）已知：如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，過點D作DE∥CB，交AB于點E，ADDC=1（1）求AB的長；（2）求S△ADE24．（12分）（2014秋?保德縣校級期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，其圖象頂點為D，已知點C的坐標為（0，3），點D的坐標為（2，﹣1）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）試問△ABD與△BCO是否相似？并證明你的結論；（3）已知P是此二次函數(shù)圖象上的點，且∠PAB=∠ACB，試求點P的坐標．25．（14分）（2014秋?保德縣校級期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P是斜邊AB上的中點，以P為頂點，作∠MPN=∠A．∠MPN的兩邊分別交AC于點M、N．（1）當△MPN是直角三角形時，求CM的長；（2）當∠MPN繞點P轉(zhuǎn)動時，設CN=x，AM=y，寫出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）連結BM，是否存在點M，使△BMP與△ANP相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

2014-2015學年上海市保德中學九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列等式中不成立的是（）A．a(chǎn)=bcotB B．a(chǎn)=csinA C．c=bcosA D【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關系分別判斷各選項得出答案．【解答】解：如圖所示：A、cotB=ab，則a=bcotBB、sinA=ac，則a=csinAC、cosA=bc，則c=bD、cosB=ac，則a=c?cosB故選：D．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．2．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）把拋物線y=-13(x-2A．沿x軸向左平移2個單位 B．沿x軸向右平移2個單位C．沿y軸向上平移2個單位 D．沿y軸向下平移2個單位【考點】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】原拋物線頂點坐標為（2，0），平移后拋物線頂點坐標為（0，0），由此確定平移規(guī)律．【解答】解：∵拋物線y=-13(x-2)2的頂點坐標為（2，0），拋物線y=-∴平移的方法可以是：x軸向左平移2個單位．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．關鍵是將拋物線的平移問題轉(zhuǎn)化為頂點的平移，尋找平移方法．3．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，且AD：DB=3：2，則S△ADE：S四邊形DECB為（）A．3：2 B．3：5 C．9：25 D．9：16【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由已知條件可證得△ADE∽△ABC，則ADAB=DEBC，再根據(jù)已知條件，得出ADAB【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DE∵AD：DB=3：2，∴ADAB=3∴S△ADES△ABC∵S△ADE+S四邊形DBCE=S△ABC，∴S△ADES四邊形故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關鍵．4．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）在下列條件中不能判定△ABC∽△DEF的是（）A．∠D=40°，∠E=80°，∠A=60°，∠B=80°B．∠A=∠D，AB：AC=DF：EFC．∠B=∠E=90°，BC：EF=AC：DFD．AB=1，BC=2，CA=1.5，DE=6，EF=4，F(xiàn)D=8【考點】S8：相似三角形的判定．【分析】由兩角分別相等的兩個三角形相似得出A能判定△ABC∽△DEF；兩邊成比例，但是夾角不相等，得出B不能判定△ABC∽△DEF；由直角三角形相似的判定方法得出C能判定△ABC∽△DEF；由三邊成比例的兩個三角形相似得出D能判定△ABC∽△DEF；即可得出結論．【解答】解：A能判定△ABC∽△DEF；理由：∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣80°=40°，∴∠C=∠D，又∵∠B=∠E=80°，∴△ABC∽△FED；B不能判定△ABC∽△DEF；理由：∵AB：AC=DF：EF，∠A=∠D，而不是∠A=∠F，∴不能判定△ABC∽△DEF；C能判定△ABC∽△DEF；理由：∵∠B=∠E=90°，∴AC、DF分別為斜邊，∵BC：EF=AC：DF，∴△ABC∽△DEF；D能判定△ABC∽△DEF；理由：∵ABEF=14，∴ABEF∴△ABC∽△EFD．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定方法、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握相似三角形的判定方法，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．5．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，BA→=a→，A．12a→-b→ B．b【考點】LM：*平面向量．【分析】由D是邊BC的中點與BC→=b→，即可求得DB→的值，又由DA【解答】解：∵D是邊BC的中點，∴BD→=12BC∴DB→=﹣1∵BA→∴DA→=DB→+BA→=﹣12b→+故選：D．【點評】此題考查了平面向量的知識．注意數(shù)形結合思想的應用是解此題關鍵，還要注意向量是有方向的．6．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知拋物線y=ax2+3x+（a﹣2），a是常數(shù)且a＜0，下列選項中可能是它大致圖象的是（）A． B． C． D．【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．【分析】根據(jù)拋物線對稱軸位置和a，b的關系以及利用圖象開口方向與a的關系，得出圖象開口向下，對稱軸經(jīng)過x軸正半軸，利用圖象與y軸交點和c的符號，進而得出答案．【解答】解：∵拋物線y=ax2+3x+（a﹣2），a是常數(shù)且a＜0，∴圖象開口向下，a﹣2＜0，∴圖象與y軸交于負半軸，∵a＜0，b=3，∴拋物線對稱軸在y軸右側．故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，正確把握圖象對稱軸位置與a，b的關系是解題關鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知xy=13，那么xx+y【考點】S1：比例的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)及合比定理解答．【解答】解：∵xy=13的兩個內(nèi)項是y、1，兩個外項是∴yx根據(jù)合比定理，知x+yx=1+31又∵上式的兩個內(nèi)項是x和4，兩個外項是x+y和1，∴xx+y故答案為：14【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)：在比例式中，兩個內(nèi)項之積等于兩個外項之積．8．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）計算：2(m→+n→)+3(m→【考點】LM：*平面向量．【分析】直接利用整式加減的運算法則求解可求得答案．【解答】解：2(m→+n→)+3(m→-n→)=2m→+故答案為：5m→﹣n【點評】此題考查了平面向量的知識．此題比較簡單，注意掌握平面向量的運算．9．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）如果兩個相似三角形的周長的比等于1：4，那么它們的面積的比等于1：16．【考點】S7：相似三角形的性質(zhì)．【分析】由兩個相似三角形的周長的比等于1：4，即可求得它們的相似比，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得它們的面積的比．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長的比等于1：4，∴它們的相似比為1：4，∴它們的面積的比等于1：16．故答案為：1：16．【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的對應高線、角平分線、中線的比等于相似比．10．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）已知拋物線y=ax2+bx+c有最高點，那么該拋物線的開口方向是向下．【考點】H7：二次函數(shù)的最值．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)回答．【解答】解：因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最高點，所以，a＜0，即該拋物線的開口方向是向下的；故答案為：向下．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的最值．二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖象的開口方向和大?。佼攁＞0時，二次函數(shù)圖象向上開口；②a＜0時，拋物線向下開口．|a|越大，則二次函數(shù)圖象的開口越?。?1．（4分）（2013秋?武陵區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，則tanB=34【考點】T4：互余兩角三角函數(shù)的關系．【分析】設BC=4x，AB=5x，由勾股定理求出AC=3x，代入tanB=ACBC【解答】解：∵sinA=BCAB=4∴設BC=4x，AB=5x，由勾股定理得：AC=AB2∴tanB=ACBC=3x4x=故答案為：34【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理的應用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，則sinA=BCAB，cosA=ACAB，tanA=12．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）在△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，要使DE∥AC，那么BE必須等于6．【考點】S4：平行線分線段成比例．【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使DE∥AC，必須BECE=DB【解答】解：∵在△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，∴要使DE∥AC，∴BECE∴BE10-BE解得：BE=6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使DE∥AC，必須BECE13．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）已知點C為線段AB的黃金分割點，AC＞BC，且AC=1厘米，則AB=5+12【考點】S3：黃金分割．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AC=5-12AB，則AB=25-1【解答】解：∵點C為線段AB的黃金分割點，AC＞BC，∴AC=5-12∴AB=25-1×1=5+1故答案為5+1【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且線段14．（4分）（2011?閘北區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是Rt△ABC的重心，已知CD=2，AC=3，則∠B=30度．【考點】K5：三角形的重心；KP：直角三角形斜邊上的中線．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)D是Rt△ABC的重心，CD=2，求證△AEC是等邊三角形，得∠A=60°，問題可解．【解答】解：∵D是Rt△ABC的重心，CD=2，∴CE=3=AE，∵AC=3，∴△AEC是等邊三角形，∴∠A=60°∠B=90°﹣∠A=90°﹣60°=30°．故答案為：30．【點評】此題主要考查學生對直角三角形斜邊上的中線和三角形的重心的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用三角形的重心的性質(zhì)，求證△AEC是等邊三角形．15．（4分）（2009?閔行區(qū)一模）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2），且在對稱軸x=2的右側部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是y=x2﹣4x+5（只要寫出一個符合要求的解析式）．【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】26：開放型．【分析】由于二次函數(shù)的圖象在對稱軸x=2的右側部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，圖象又經(jīng)過點（1，2），由此可以確定函數(shù)解析式不唯一．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象在對稱軸x=2的右側部分是上升的，∴這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，又圖象經(jīng)過點（1，2），∴符合條件的函數(shù)有y=x2﹣4x+5，答案不唯一．答案為：y=x2﹣4x+5．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù)．16．（4分）（2009?安慶模擬）1米長的標桿直立在水平的地面上，它在陽光下的影長為0.8米；此時，若某電視塔的影長為100米，則此電視塔的高度應是125米．【考點】SA：相似三角形的應用．【專題】12：應用題．【分析】根據(jù)在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．【解答】解：∵同一時刻物高與影長成比例∴標桿高標桿的影長=電視塔的高度電視塔的影長，即設電視塔的高是x米．則10.8=解得x=12=100即電視塔的高度為125米．【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出電視塔的高度，體現(xiàn)了方程的思想．17．（4分）（2017秋?定邊縣期末）如圖，正方形ABCD中，E是CD中點，F(xiàn)C=14BC，則tan∠EAF=【考點】KS：勾股定理的逆定理；LE：正方形的性質(zhì)；T7：解直角三角形．【分析】由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，設FC=x，則AB=BC=CD=AD=4x，BF=3x，求出DE=CE=2x，由勾股定理求出AF、EF、AE，由勾股定理的逆定理證明△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，tan∠EAF=EFAE【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，設FC=x，則AB=BC=CD=AD=4x，BF=3x，∵E是CD中點，∴DE=CE=2x，∴AF=AB2+BF2=5x，EF=CE2+CF2∵AE2+EF2=25x2，AF2=25x2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，∴tan∠EAF=EFAE=5故答案為：12【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函數(shù)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．18．（4分）（2014秋?保德縣校級期末）如圖，E、F是平行四邊形ABCD邊AD、BC上的點，EF分別交對角線AC、BD于點G、H．如果EG：GH：HF=1：3：2，那么AE：BF=14【考點】L5：平行四邊形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，推出△AEG∽△CGF，△DEH∽△BFH，得到比例式AECF=EGGF=15，DEBF=EHHF=2，求得CF=5AE【解答】解：在平行四邊形ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴△AEG∽△CGF，△DEH∽△BFH，∴AECF=EGGF=1∴CF=5AE，BF=12DE∵CF+BF=BC=AD=AE+ED=5AE+12DE∴AE=18DE∴AE：BF=18DE1故答案為：14【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2014秋?保德縣校級期末）解方程：x+7-【考點】AG：無理方程．【分析】先把x移到等號的右邊，再兩邊進行平方，求出x=3，從而得出x的值．【解答】解：x+7-x+7=1+x，x+7=1+2x+x，2x=6，x=3，x=9．【點評】此題考查了無理方程，在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法，求出x=3是本題的關鍵．20．（10分）（2014秋?保德縣校級期末）如圖，已知向量a→、b→，求作向量2a→【考點】LM：*平面向量．【分析】首先畫出AB→=13b→，BC→【解答】解：如圖，AB→=13b→，則AC→=AB→+BC→=2a則AC→【點評】此題考查了平面向量的知識．注意三角形法則的應用．21．（10分）（2010?黃浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點，且tan∠BCD=12（1）試求sinB的值；（2）試求△BCD的面積．【考點】T7：解直角三角形．【專題】11：計算題．【分析】（1）作AH⊥BC，則△ABH中，根據(jù)勾股定理即可求得AH的長，即可求得sinB；（2）作DE⊥BC，則根據(jù)勾股定理可以求得BE的長，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面積．【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC=5，∴BH=12BC=4在△ABH中，AH=AB2-∴sinB=AH（2）作DE⊥BC，垂足為E，在△BDE中，sinB=35，令DE=3kBD=5k，則BE=BD2-又在△CDE中，tan∠BCD=12則CE=DEtan∠BCD=6k于是BC=BE+EC，即4k+6k=8，解得k=4∴S△BCD【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了直角三角形中三角函數(shù)值的計算，本題中正確求三角函數(shù)值是解題的關鍵．22．（10分）（2007?呼倫貝爾）如圖，小島A在港口P的南偏西45°方向，距離港口81海里處．甲船從A出發(fā)，沿AP方向以9海里/時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東60°方向，以18海里/時的速度駛離港口，現(xiàn)兩船同時出發(fā)．（1）出發(fā)后幾小時兩船與港口P的距離相等；（2）出發(fā)后幾小時乙船在甲船的正東方向？（結果精確到0.1小時）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73）【考點】TB：解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】12：應用題；16：壓軸題．【分析】（1）求幾小時后兩船與港口的距離相等，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題解決．（2）過點P作PE⊥CD，垂足為E．則點E在點P的正南方向，則得到相等關系，C、D兩點到在南北方向上經(jīng)過的距離相等，因而根據(jù)方程就可以解決．【解答】解：（1）設出發(fā)后x小時兩船與港口P的距離相等．根據(jù)題意得81﹣9x=18x．解這個方程得x=3．答：出發(fā)后3小時兩船與港口P的距離相等．（2）設出發(fā)后y小時乙船在甲船的正東方向，此時甲、乙兩船的位置分別在點C，D處．連接CD，過點P作PE⊥CD，垂足為E．則點E在點P的正南方向．在Rt△CEP中，∠CPE=45°，∴PE=PC?cos45°．在Rt△PED中，∠EPD=60°，∴PE=PD?cos60°．∴PC?cos45°=PD?cos60°．∴（81﹣9y）cos45°=18y?cos60°．解得y≈3.7．答：出發(fā)后約3.7小時乙船在甲船的正東方向．【點評】在船舶運動過程中，構建解直角三角形的問題，考查學生對所學知識的變式認識能力．23．（12分）（2014秋?保德縣校級期末）已知：如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，過點D作DE∥CB，交AB于點E，ADDC=1（1）求AB的長；（2）求S△ADE【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由∠ABD=∠CBD，DE∥BC可推得∠EDB=∠CBD，進而推出∠ABD=∠EDB，由此可得BE=DE=6，由DE∥BC可得AEEB=AD（2）△ADE看成以DE為底，高為h1，△BCD看成以BC為底，高為h2，由平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)可得h1h2=AD【解答】解：（1）BD平∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE=6，∵DE∥BC，∴AEEB∴AE6∴AE=2，∴AB=AE+BE=8；（2）△ADE看成以DE為底，高為h1，△BCD看成以BC為底，高為h2，∵DE∥CB，∴△AED～△ABC，∴h1h2=AD∴S△ADE【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練應用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．24．（12分）（2014秋?保德縣校級期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，其圖象頂點為D，已知點C的坐標為（0，3），點D的坐標為（2，﹣1）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）試問△ABD與△BCO是否相似？并證明你的結論；（3）已知P是此二次函數(shù)圖象上的點，且∠PAB=∠ACB，試求點P的坐標．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用頂點式求出函數(shù)解析式，即可得解；（2）由（1）中的二次函數(shù)解析式即可求得點C、D的坐標．然后根據(jù)兩點間的距離公式、勾股定理以及等腰三角形的判定推知△ABD和△BCO都是等腰直角三角形，所以它們相似；（3）首先求出tan∠ACB=12，進而得出過A（1，0）的直線為y=±12（x﹣【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象過點C的坐標為（0，3），頂點D的坐標為（2，﹣1）．∴設拋物線解析式為：y=a（x﹣2）2﹣1，將（0，3）代入得：3=4a﹣1，解得：a=1，故拋物線解析式為：y=（x﹣2）2﹣1=y=x2﹣4x+3；（2）△ABD與△BCO相似．理由如下：如圖，∵由（1）知，該拋物線的解析式是y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．故C（0，3），D（2，﹣1）．∵OC=OB=3，∴△BCO是等腰直角三角形．又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，﹣1），∴AD=BD=2，AB=2，∴AB2=AD2+BD2∴∠ADB=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴△ABD與△BCO相似；（3）如圖，延長CA，并過B點做垂直于CA的直線與CA相交與E點，∵∠CAO=∠BAE，∠COA=∠BEA，∴△COA∽△BEA，∴CABA=COBE=根據(jù)勾股定理，CA=10，則EA=105，EB=610=tan∠ACB=BEAC+AE=1∵∠APB=∠ACB，則tan∠APB=12令過A（1，0）的直線為y=k（x﹣1），∵∠PAB=∠ACB，故k=±tan∠ACB=±12故：y=±12（x﹣1分別與y=x2﹣4x+3聯(lián)立得：12（x﹣1）=x2﹣4x+3解得：x1=1，x2=72∴y1=0，y2=﹣34﹣12（x﹣1）=x2﹣4x+3解得：x1=1，x2=52∴y1=0，y2=54∵A點坐標為：（1，0），綜上所述：符合題意的點的坐標為：P（72，﹣34）或P（52【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及兩函數(shù)交點坐標求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出過點A符合要求的直線解析式是解題關鍵．25．（14分）（2014秋?保德縣校級期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P是斜邊AB上的中點，以P為頂點，作∠MPN=∠A．∠MPN的兩邊分別交AC于點M、N．（1）當△MPN是直角三角形時，求CM的長；（2）當∠MPN繞點P轉(zhuǎn)動時，設CN=x，AM=y，寫出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）連結BM，是否存在點M，使△BMP與△ANP相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【考點】SO：相似形綜合題．【分析】（1）分∠PMN=90°和∠PNM=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答；（2）連接CP，證明△CPN∽△AMP，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例計算即可；（3）分△BMP∽△ANP和△BMP∽△APN兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答．【解答】解：（1）當∠PMN=90°時，∵∠C=90°，∴PM∥BC，P是斜邊AB上的中點，∴CM=12AC=4當∠PNM=90°時，∴PN=12BC=3∵∠PNM=∠C，∠MPN=∠A，∴△PNM∽△ACB，∴PNAC=MN∴MN=94則CM=4﹣94=7∴CM的長為74或4（2）連接CP，∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=BC2∵P是斜邊AB上的中點，∴AP=PB=CP=5，∵∠PCA=∠PAC，又∵∠MPN=∠A，∴∠CPN=∠AMP，又∵∠PCA=∠PAC，∴△CPN∽△AMP，∴CPAM=CNAP，即5y∴25x（258≤x≤（3）①當△BMP∽△ANP，則∠MBP=∠A，∴MB=MA，則BM2=（8﹣AM）2+BC2，解得AM=254，即y=25∴x=4；②，當△BMP∽△APN，則∠BMP=∠A，∴△BMP∽△BAM，BMAB=BP∴BM=52，CM=BM2-B則AM=8﹣14=y，則x=8+答：x=8+142或4時，△BMP與【點評】本題考查的是相似三角形知識的綜合運用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確運用分情況討論思想是解題的關鍵．

考點卡片1．無理方程（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程．（3）解無理方程關鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結構特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應注意驗根．2．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣b2a，4ac-b24a），對稱軸直線x=﹣b2a，二次函數(shù)y=ax2+bx+c①當a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣b2a時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣b2a時，y隨x的增大而增大；x=﹣b2a時，y②當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣b2a時，y隨x的增大而增大；x＞﹣b2a時，y隨x的增大而減??；x=﹣b2a時，y③拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左（右）平移|﹣b2a|個單位，再向上或向下平移|4ac-b3．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小．②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．4．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．5．二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=-b2a時，y=（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=-b2a時，y=（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．6．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．7．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最?。ǖ冗吶切危?．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可一用來判定直角三角形．9．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．10．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．11．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．12．*平面向量平面向量．13．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項之積等于外項之積．若ab=cd，，則ad=bc．②合比性質(zhì)．若ab=cd，，則a+bb=c+dd．③分比性質(zhì)．．若ab=cd，則a﹣bb=c﹣dd．④合分比性質(zhì)．．若ab=cd，則a+ba﹣b=c+dc﹣d．⑤等比性質(zhì)．．若ab=cd=…=mn（b+d+…+n≠0），則a+c+…+mb+d+…+n=mn．14．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即ABAC=ACBC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且線段（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：5-12；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：（3）黃金矩形：黃金矩形的長寬之比確切值為5-115．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．（2）定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．16．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似．（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）