離散數(shù)學(xué)高等教育出版社配套屈婉玲耿市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

主要內(nèi)容集合基本概念屬于、包含冪集、空集文氏圖等集合基本運算并、交、補、差等集合恒等式集合運算算律、恒等式證實方法第二部分集合論第六章集合代數(shù)1第1頁6.1集合基本概念1.集合定義集合沒有準確數(shù)學(xué)定義了解：由離散個體組成整體稱為集合，稱這些個體為集合元素常見數(shù)集：N,Z,Q,R,C等分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)集合2.集合表示法

枚舉法----經(jīng)過列出全體元素來表示集合

謂詞表示法----經(jīng)過謂詞概括集合元素性質(zhì)實例：枚舉法自然數(shù)集合N={0,1,2,3,…}謂詞法S={x|x是實數(shù)，x2

1=0}2第2頁元素與集合1.集合元素含有性質(zhì)無序性：元素列出次序無關(guān)相異性：集合每個元素只計數(shù)一次確定性：對任何元素和集合都能確定這個元素是否為該集合元素任意性：集合元素也能夠是集合2．元素與集合關(guān)系隸屬關(guān)系：

或者

3．集合樹型層次結(jié)構(gòu)d

A,a

A3第3頁集合與集合集合與集合之間關(guān)系：

,=,?,

,

,

定義6.1A

B

x(x

A

x

B)定義6.2A=B

A

B

B

A定義6.3A

B

A

B

A

B

A

?

B

x(x

A

x

B)思索：

和

定義注意

和

是不一樣層次問題4第4頁空集、全集和冪集1．定義6.4

空集

：不含有任何元素集合實例：{x|x

R

x2+1=0}定理6.1空集是任何集合子集。證對于任意集合A，

A

x(x

x

A)

T(恒真命題)

推論

是惟一3.定義6.6

全集E：包含了全部集合集合全集含有相對性：與問題相關(guān)，不存在絕正確全集2.定義6.5

冪集：P(A)={x|x

A}實例：P(

)={

},P({

})={

,{

}}計數(shù)：假如|A|=n，則|P(A)|=2n.5第5頁6.2集合運算初級運算集合基本運算有定義6.7

并

A

B={x|x

A

x

B}

交

A

B={x|x

A

x

B}

相對補

A

B={x|x

A

x

B}定義6.8

對稱差

A

B=(A

B)

(B

A)定義6.9

絕對補

A=E

A

6第6頁文氏圖集合運算表示ABABABABABA

BA

BA–BA

B~A7第7頁幾點說明并和交運算能夠推廣到有窮個集合上，即A1

A2

…

An

={x|x

A1

x

A2

…

x

An}A1

A2

…

An

={x|x

A1

x

A2

…

x

An}A

B

A

B=

A

B=

A

B=A8第8頁廣義運算1.

集合廣義并與廣義交

定義6.10廣義并

A={x|

z(z

A

x

z)}廣義交

A={x|

z(z

A

x

z)}實例

{{1},{1,2},{1,2,3}}={1,2,3}

{{1},{1,2},{1,2,3}}={1}

{{a}}={a}，

{{a}}={a}

{a}=a，

{a}=a9第9頁關(guān)于廣義運算說明2.廣義運算性質(zhì)(1)

=

，

無意義(2)單元集{x}廣義并和廣義交都等于x

(3)廣義運算降低集合層次（括弧降低一層）(4)廣義運算計算：普通情況下能夠轉(zhuǎn)變成初級運算

{A1,A2,…,An}=A1

A2

…

An

{A1,A2,…,An}=A1

A2

…

An

3.引入廣義運算意義能夠表示無數(shù)個集合并、交運算，比如

{{x}|x

R}=R這里R代表實數(shù)集合.10第10頁運算優(yōu)先權(quán)要求1類運算：初級運算

,

,

,

，優(yōu)先次序由括號確定2類運算：廣義運算和

運算，運算由右向左進行混合運算：2類運算優(yōu)先于1類運算例1

A={{a},{a,b}}，計算

A

(

A

A).解：

A

(

A

A)=

{a,b}

(

{a,b}

{a})=(a

b)

((a

b)

a)=(a

b)

(b

a)=b11第11頁有窮集合元素計數(shù)1.文氏圖法2.包含排斥原理定理6.2設(shè)集合S上定義了n條性質(zhì)，其中含有第i條性質(zhì)元素組成子集Ai,那么集合中不含有任何性質(zhì)元素數(shù)為

推論

S中最少含有一條性質(zhì)元素數(shù)為12第12頁實例例2求1到1000之間（包含1和1000在內(nèi)）既不能被5和6整除，也不能被8整除數(shù)有多少個？解方法一：文氏圖定義以下集合：

S={x|x

Z

1

x

1000}A={x|x

S

x可被5整除}B={x|x

S

x可被6整除}C={x|x

S

x可被8整除}

畫出文氏圖，然后填入對應(yīng)數(shù)字，解得N=1000－(200+100+33+67)=60013第13頁實例方法二|S|=1000|A|=

1000/5

=200,|B|=

1000/6

=166,|C|=

1000/8

=125|A

B|=

1000/lcm(5,6)

=

1000/33

=33|A

C|=

1000/lcm(5,8)

=

1000/40

=25|B

C|=

1000/lcm(6,8)

=

1000/24

=41|A

B

C|=

1000/lcm(5,6,8)

=

1000/120

=8

=1000

(200+166+125)+(33+25+41)

8=60014第14頁6.3集合恒等式集合算律1．只包括一個運算算律：交換律、結(jié)合律、冪等律

交換A

B=B

AA

B=B

AA

B=B

A結(jié)合(A

B)C=A

(B

C)(A

B)C=A

(B

C)(A

B)C=A

(B

C)冪等A

A=AA

A=A15第15頁集合算律2．包括兩個不一樣運算算律：分配律、吸收律

與

與

分配A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)吸收A

(A

B)=AA

(A

B)=A16第16頁集合算律3．包括補運算算律：DM律，雙重否定律

D.M律A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)

(B

C)=B

C

(B

C)=B

C雙重否定

A=A17第17頁集合算律4．包括全集和空集算律：

補元律、零律、同一律、否定律

E補元律A

A=A

A=E零律A

=

A

E=E同一律A

=AA

E=A否定

=E

E=18第18頁集合證實題證實方法：命題演算法、等式置換法命題演算證實法書寫規(guī)范(以下X和Y代表集合公式)(1)證X

Y任取x，x

X

…

x

Y

(2)證X=Y方法一分別證實X

Y和Y

X方法二任取x，x

X

…

x

Y注意：在使用方法二格式時，必須確保每步推理都是充分必要19第19頁集合等式證實方法一：命題演算法例3證實A

(A

B)=A（吸收律）證任取x,x

A

(A

B)

x

A

x

A

B

x

A

(x

A

x

B)

x

A

所以得A

(A

B)=A.例4證實A

B=A

B證任取x,x

A

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

A

B

所以得A

B=A

B20第20頁等式代入法方法二：等式置換法例5假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律已經(jīng)成立，證實吸收律.證A

(A

B)=(A

E)

(A

B)（同一律）=A

(E

B)（分配律）=A

(B

E)（交換律）=A

E（零律）

=A（同一律）21第21頁包含等價條件證實例6證實A

B

A

B=B

A

B=A

A

B=

①②③④證實思緒：確定問題中含有命題：本題含有命題①,②,③,④確定命題間關(guān)系（哪些命題是已知條件、哪些命題是要證實結(jié)論）：本題中每個命題都能夠作為已知條件，每個命題都是要證實結(jié)論確定證實次序：①

②，②

③，③

④，④

①按照次序依次完成每個證實（證實集合相等或者包含）22第22頁證實證實A

B

A

B=B

A

B=A

A

B=

①②③④證①

②顯然B

A

B，下面證實A

B

B.任取x，

x

A

B

x

A

x

B

x

B

x

B

x

B所以有A

B

B.綜合上述②得證.②

③A=A

(A

B)

A=A

B(由②知A

B=B，將A

B用B代入)23第23頁③

④假設(shè)A

B

,即

x

A

B，那么知道x

A且x

B.而x

B

x

A

B

從而與A

B=A矛盾.④

①假設(shè)A

B不成立，那么

x(x

A

x

B)

x

A

B

A

B

與條件④矛盾.證實24第24頁第六章習(xí)題課主要內(nèi)容集合兩種表示法集合與元素之間隸屬關(guān)系、集合之間包含關(guān)系區(qū)分與聯(lián)絡(luò)特殊集合：空集、全集、冪集文氏圖及有窮集合計數(shù)集合

,

,

,

,

等運算以及廣義

,

運算集合運算算律及其應(yīng)用25第25頁基本要求熟練掌握集合兩種表示法能夠判別元素是否屬于給定集合能夠判別兩個集合之間是否存在包含、相等、真包含等關(guān)系熟練掌握集合基本運算（普通運算和廣義運算）掌握證實集合等式或者包含關(guān)系基本方法26第26頁練習(xí)11．判斷以下命題是否為真(1)

(2)

(3)

{

}(4)

{

}(5){a,b}

{a,b,c,{a,b,c}}(6){a,b}

{a,b,c,{a,b}}(7){a,b}

{a,b,{{a,b}}}(8){a,b}

{a,b,{{a,b}}}解(1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為真，其余為假.27第27頁方法分析(1)判斷元素a與集合A隸屬關(guān)系是否成立基本方法：把a作為整體檢驗它在A中是否出現(xiàn)，注意這里a可能是集合表示式.(2)判斷A

B四種方法若A,B是用枚舉方式定義，依次檢驗A每個元素是否在B中出現(xiàn).若A,B是謂詞法定義，且A,B中元素性質(zhì)分別為P和Q,那么“若P則Q”意味A

B，“P當(dāng)且僅當(dāng)Q”意味Ａ=Ｂ．經(jīng)過集合運算判斷A

B，即A

B=B,A

B=A,A

B=

三個等式中有一個為真.經(jīng)過文氏圖判斷集合包含（注意這里是判斷，而不是證實28第28頁練習(xí)22．設(shè)S1={1,2,…,8,9}，S2={2,4,6,8}

S3={1,3,5,7,9}S4={3,4,5}

S5={3,5}確定在以下條件下X是否與S1,…,S5中某個集合相等？假如是，又與哪個集合相等？（1）若X

S5=

（2）若X

S4但X

S2=

（3）若X

S1且X

?S3（4）若X

S3=

（5）若X

S3且X?S129第29頁解答解(1)和S5不交子集不含有3和5，所以X=S2.(2)S4子集只能是S4和S5.因為與S2不交，不能含有偶數(shù)，所以X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和S5都是S1子集，不包含在S3子集含有偶數(shù)，所以X=S1,S2或S4.(4)X

S3=

意味著X是S3子集，所以X=S3或S5.(5)因為S3是S1子集，所以這么X不存在.30第30頁練習(xí)33.判斷以下命題真假，并說明理由.（1）A

B=A

B=

（2）A

(B

C)=(A

B)

(A

C)（3）A

A=A（4）假如A

B=B，則A=E.（5）A={x}

x，則x

A且x

A.31第31頁解題思緒先將等式化簡或恒等變形.查找集合運算相關(guān)算律，假如與算律相符，結(jié)果為真.注意以下兩個主要充要條件A

B=A

A

B=

A

B=

A

B

A

B=B

A

B=A假如與條件相符，則命題為真.假如不符合算律，也不符合上述條件，能夠用文氏圖表示集合，看看命題是否成立.假如成立，再給出證實.試著舉出反例，證實命題為假.32第32頁解答解(1)B=是AB=A充分條件，但不是必要條件.當(dāng)B不空但是與A不交時也有AB=A.(2)這是DM律，命題為真.(3)不符合算律，反比如下：A={1}，AA=，不過A.(4)命題不為真.AB=B充分必要條件是BA，不是A=E.(5)命題為真，因為x既是A元素，也是A子集33第33頁練習(xí)44．證實A

B=A

C

A

B=A

C

B=C解題思緒分析命題：含有3個命題：

A

B=A

C,A

B=A

C,

B=C①②③證實要求前提：命題①和②結(jié)論：命題③證實方法：恒等式代入反證法利用已知等式經(jīng)過運算得到新等式34第34頁解答方法一：恒等變形法B=B

(B

A)=B

(A

B)=B

(A

C)=(B

A)

(B

C)=(A

C)

(B

C)=(A

B)

C

=(A

C)

C=C

方法二：反證法.假設(shè)B

C，則存在x(x

B且x

C),或存在x(x

C且x

B).不妨設(shè)為前者.若x屬于A，則x屬于A

B但x不屬于A

C，與已知矛盾；若x不屬于A，則x屬于A

B但x不屬于A

C，也與已知矛盾.35第35頁解答方法三：利用已知等式經(jīng)過運算得到新等式.由已知等式①和②能夠得到(A

B)

(A

B)=(A

C)

(A

C)即

A

B=A

C

從而有A

(A

B)=A

(A

C)依據(jù)結(jié)合律得(A

A)

B=(A

A)

C