2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第37講不等式的證明含解析

第37講不等式的證明不等式問題是導(dǎo)函數(shù)考試的重點(diǎn),也是難點(diǎn).一方面是導(dǎo)函數(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用,利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性和最值,然后利用單調(diào)性來證明和解決不等式問題.反過來,也可以利用不等式來判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)進(jìn)而來研究函數(shù)單調(diào)性,所以不等式在基礎(chǔ)階段起重要的銜接作用.在后面的高級(jí)課程里面,不等式也是起著關(guān)鍵作用,特別是和放縮法結(jié)合來證明不等式,賦值法來找到零點(diǎn)區(qū)間等.在后面的極值點(diǎn)偏移和雙變量問題都圍繞著不等式展開,要好好體會(huì)關(guān)于不等式的證明,深刻理解不等式在導(dǎo)函數(shù)中的作用.不等式問題的核心就是合理地構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的構(gòu)造將在后面章節(jié)講解,這里要重點(diǎn)掌握證明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含義是圖像之間的上下位置關(guān)系,不等式的解是在圖像上方時(shí)的取值范圍.證明無參不等式不等式恒(能)成立問題的轉(zhuǎn)換方法:若在區(qū)間上有最值,則(1)恒成立:.(2)能成立:.【例1】已知函數(shù).證明:當(dāng)時(shí),.【解析】證明：函數(shù),則令,則,令得.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在處取得最小值...在單調(diào)遞增..時(shí),.【例2】已知函數(shù),求證:.【解析】證明：由得.整理得,化簡(jiǎn)得.令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.,即恒成立.恒成立.【例3】函數(shù).證明:對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立.【解析】證明：由得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立.設(shè),則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.時(shí),在處有最大值.對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,即對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,即,原命題得證.不等式恒成立求參數(shù)取值范圍——參變分離參變分離法解不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的步驟：第一步:參變分離.若能參變分離,則將問題轉(zhuǎn)化為:[或恒成立.第二步:轉(zhuǎn)換為最值..第三步:通過導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)最值,進(jìn)而得到參數(shù)取值范圍.【例1】已知函數(shù)若恒成立,求的取值范圍.【解析】恒成立,即在上恒成立.（1）當(dāng)時(shí),恒成立.（2）當(dāng)時(shí),.設(shè).恒成立.在上單調(diào)遞減...綜上所述,.【例2】已知函數(shù)時(shí),,求的取值范圍.【解析】由已知可得在上恒成立,令,則令,則,..在上單調(diào)遞增..【例3】已知函數(shù),若恒成立,求的取值范圍.【解析】由已知得,則當(dāng)時(shí),恒成立.令,則.令,則當(dāng)時(shí),,在上為減函數(shù).又,在上,.在上,.在上為增函數(shù).在上為減函數(shù).,.【例4】已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若)時(shí),恒成立,求的取值范圍.【解析】恒成立,即恒成立.(1)當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的恒成立.(2)當(dāng)時(shí),恒成立.令,則.整理得,令,注意到.再令則,在單調(diào)遞增,,即.在單調(diào)遞增.又,故知在上,.在上,.從而在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增...不等式恒成立求參數(shù)取值范圍——分類討論分類討論法解不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的步驟：第一步:合理構(gòu)造含參函數(shù)(構(gòu)造函數(shù)的方法在后面章節(jié)講).第二步:把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題.第三步:利用導(dǎo)函數(shù)討論最值的方法,來討論出函數(shù)最值.已知函數(shù)，已知對(duì)任意恒成立,求的值.【解析】依題意,對(duì)任意恒成立，.當(dāng)時(shí),,由于0,則恒成立,在內(nèi)單調(diào)遞減.,當(dāng)時(shí),,不符合題意.(2)當(dāng)時(shí),令,得.①當(dāng)時(shí),1,那么的變化情況如下表所示: 0 單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增結(jié)合的單調(diào)性知:當(dāng)時(shí),,不符合題意.②當(dāng)時(shí),的變化情況如下表所示: 0 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減i.當(dāng)時(shí),,,結(jié)合的單調(diào)性知當(dāng)時(shí),,不符合題意..當(dāng)時(shí),,結(jié)合的單調(diào)性知當(dāng)時(shí),,不符合題意.iii.當(dāng)時(shí),.由的單調(diào)性可知,符合題意.綜上,.【例2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若,求的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?①若,則,在單調(diào)遞增.②若,則由得.當(dāng)時(shí),.當(dāng)(時(shí),.在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.③若,則由得.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)①若,則,.②若,則由(1)題得,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.③若,則由(1)題得,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.綜上,的取值范圍為.【例3】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】即為.令.根據(jù)題意:當(dāng)時(shí),恒成立,.(1)若時(shí),由恒成立,在上是增函數(shù),且,不符題意.(2)若時(shí),由恒成立,在上是增函數(shù),且,不符題意.（3）當(dāng)時(shí),由時(shí),恒有,在上是減函數(shù).,即,解得,故.綜上,的取值范圍是.【例4】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.【解析】(1)由題意得.①若在上單調(diào)遞增.②若,令,i.當(dāng)時(shí),即時(shí),.即在上單調(diào)遞增.ii.當(dāng)時(shí),即時(shí),的兩根為,且兩根均為正.時(shí),在上單調(diào)遞增.時(shí),在上單調(diào)遞減.時(shí)，在上單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為和單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)題可知當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,符合題意.當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,即在單調(diào)遞減.不符合題意.綜上所述,的取值范圍是.不等式能成立(存在性)求參數(shù)取值范圍一一參變分離參變分離法解不等式能成立求參數(shù)取值范圍的步驟：第一步:參變分離.存在使得能成立,則參變分離,將問題轉(zhuǎn)化為:或恒成立.第二步:轉(zhuǎn)換為最值..第三步:通過導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)最值,進(jìn)而得到參數(shù)取值范圍.【例1】設(shè)函數(shù),若存在,使得不等式成立,求的取值范圍.【解析】在上存在使得不等式成立,只需,由.當(dāng)時(shí),是減函數(shù).當(dāng)時(shí),是增函數(shù).是在上的最小值.而的取值范圍為.【例2】設(shè)函數(shù),若存在正數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】存在正數(shù),使得成立,即,即存在使得.令,則,令,則在上單調(diào)遞增,且.當(dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞增,則,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.不等式能成立(存在性)求參數(shù)取值范圍——分類討論分論討論法求不等式能成立的參數(shù)取值范圍的步聚:第一步:合理構(gòu)造含參函數(shù)(構(gòu)造函數(shù)的方法在后面章節(jié)講).第二步:把不等式能否成立轉(zhuǎn)化為最值問題.,.第三步:利用導(dǎo)函數(shù)討論最值的方法,來討論出函數(shù)的最值.【例1】已知函數(shù),若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】,且,令得.若在區(qū)間上存在一點(diǎn),使得成立,其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可.①當(dāng),即時(shí),對(duì)成立,在區(qū)間上單調(diào)遞減.故在區(qū)間上的最小值為.由得,即.②當(dāng),即時(shí),i.若,則對(duì)成立.在區(qū)間上單調(diào)遞減.在區(qū)間上的最小值為.顯然,在區(qū)間上的最小值小于0不成立.ii.若,即時(shí),則有 0 單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增在區(qū)間上的最小值為.由,得,解得,即.