七年級數(shù)學上冊專題03 絕對值相加求最值問題專題探究（解析版）

/專題03絕對值相加求最值問題專題探究【知識點睛】絕對值內表達式加減的幾何意義|a|：表示一個數(shù)a在數(shù)軸上對應的點與原點之間的距離|x-a|：表示數(shù)軸上的數(shù)x到數(shù)a的距離|x+a|：因為|x+a|=|x-(-a)|,所以可表示數(shù)軸上的數(shù)x到數(shù)-a的距離絕對值相加求最小值的方法總結：①|x-a|最小值=0點x與點a重合（即x=a）②|x-a|+|x-b|：表示數(shù)軸上點x到點a、點b的距離之和當|x-a|+|x-b|取最小值時點x位于點a、點b之間（可以與a、b重合）|x-a|+|x-b|最小值=|a-b|③|x-a|+|x-b|+|x-c|：表示數(shù)軸上點x到點a的距離、點x到點b的距離和點x到點c的距離之和若a＜b＜c，則當點x與點b重合時|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a易錯技巧總結：若求|x-a|+|x+b|、|x-a|+|x+b|+|x-c|等類型的最小值，則表示求點x到點a、點-b的距離之和最小，將-b表示出來后，方法同上【類題訓練】1．式子-3+|x-2|的最小值為．【分析】根據絕對值的非負性解決此題．【解答】解：∵|x-2|≥0，∴﹣3+|x-2|≥﹣3．∴式子﹣3+|x-2|的最小值為﹣3．故答案為：﹣3．2．已知a＜0且|2a|x≤3a，則|2x﹣1|﹣|x﹣2|最小值為．【分析】先根據條件，求出x的取值范圍，再去絕對值符號，化簡后求最值．【解答】解：∵a＜0，|2a|x≤3a，∴x≤＝，∴原式＝1﹣2x﹣（2﹣x）＝﹣1﹣x．當x＝時，取最小值．故答案為：．3．代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1013|的最小值是．【分析】利用絕對值的定義，結合數(shù)軸可知最小值為1013到﹣1009的距離．【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由絕對值的定義可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距離；|x+506|代表x到﹣506的距離；|x﹣1013|代表x到1013的距離；結合數(shù)軸可知：當x在﹣1009與1012之間，且x＝﹣506時，距離之和最小，∴最小值＝1013﹣（﹣1009）＝2022，故答案為：2022．4．如果a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，那么代數(shù)式a+b+c的最小值為．【分析】把a+b+c化為絕對值的和，再利用絕對值的幾何意義求出最小值．【解答】解：a+b+c＝|x+3|+|x+1|+|x﹣1|．由絕對值的幾何意義，可知|x+3|+|x﹣1|≥|1﹣（﹣3）|＝4，又|x+1|≥0，所以a+b+c最小值為4．故答案為：4．5．已知，數(shù)軸上A，B，C三點對應的有理數(shù)分別為a，b，c．其中點A在點B左側，A，B兩點間的距離為2，且a，b，c滿足|a+b|+（c﹣2022）2＝0，則a＝；對數(shù)軸上任意一點P，點P對應數(shù)x，若存在x使|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的值最小，則x的值為．【分析】根據絕對值和偶次方的非負性，求出c，a，b的值，然后再利用數(shù)軸上兩點間距離進行判斷即可．【解答】解：∵|a+b|+（c﹣2022）2＝0，∴a+b＝0，c﹣2022＝0，∴b＝﹣a，c＝2022，∵點A在點B左側，A，B兩點間的距離為2，∴b﹣a＝2，∴﹣a﹣a＝2，∴a＝﹣1，∵點P對應數(shù)x，若存在x使|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的值最小，∴PA+PB+PC的和最小，∵數(shù)軸上A，B，C三點對應的有理數(shù)分別為a，b，c，∴a＝﹣1，b＝1，c＝2022，∴當點P與點B重合時，PA+PB+PC的和最小，∴點P對應數(shù)x＝1，故答案為：﹣1，1．6．若x為任意有理數(shù)，|x|表示在數(shù)軸上x表示的點到原點的距離，|x﹣a|表示在數(shù)軸上x表示的點到a表示的點的距離，則|x﹣3|+|x+1|的最小值為．【分析】現(xiàn)依據題意可知|x﹣3|與|x+1|的實際意義，可知|x﹣3|+|x+1|的最小值的實際意義為一個點到3和﹣1的距離的和的最小值，分類討論即可得出答案．【解答】解：因為|x﹣a|表示在數(shù)軸上x表示的點到a表示的點的距離．所以|x﹣3|與|x+1|分別表示為點x到3的距離和點x到﹣1的距離．所以|x﹣3|+|x+1|的最小值的實際意義為點x到3和﹣1的距離的和的最小值．數(shù)軸上的區(qū)域被3和﹣1劃分為三部分：﹣1左面的部分，﹣1和3之間的部分（包含﹣1和3點），3右面的部分．①當x在：﹣1左面的部分和3右面的部分時，x到3和﹣1的距離的和永遠大于4．②當x在：，﹣1和3之間的部分（包含﹣1和3點）時，x到3和﹣1的距離的和永遠等于4．所以|x﹣3|+|x+1|的最小值為4．7．當x＝時，4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是．【分析】只要求得|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|的最小值即可，而此算式就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)0、1、﹣2、3、﹣1的這5個點的距離之和的最小值，可得x＝0，結果最大值是﹣3．【解答】解：∵4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|＝4﹣（|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|），∴當|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|結果取最小值時，原式結果最大，而|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)0、1、﹣2、3、﹣1的這5個點的距離之和，且當x取中間數(shù)字0時，到這5個點的距離之和最小，此時|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|＝|0|+|0﹣1|+|0+2|+|0﹣3|+|0+1|＝0+1+2+3+1＝7，∴4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是：4﹣7＝﹣3，故答案為：0，﹣3．8．綜合應用題：|m﹣n|的幾何意義是數(shù)軸上表示m的點與表示n的點之間的距離．（1）|x|的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與之間的距離，|x||x﹣0|；（選填“＞”“＜”或“＝”）（2）|2﹣1|幾何意義是數(shù)軸上表示2的點與表示1的點之間的距離，則|2﹣1|＝；（3）|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離，若|x﹣3|＝1，則x＝；（4）|x﹣（﹣2）|的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離，若|x﹣（﹣2）|＝2，則x＝；（5）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7這樣的整數(shù)是．【分析】（0）根據|m﹣n|的幾何意義求解；（2）根據|m﹣n|的幾何意義及絕對值的意義求解；（3）根據|m﹣n|的幾何意義及絕對值的意義求解；（4）根據|m﹣n|的幾何意義及絕對值的意義求解；（5）根據|m﹣n|的幾何意義及解不等組求解；【解答】解：（1）∵|x|＝|x﹣0|，∴|x|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與原點之間的距離，故答案為：x，原點，＝；（2）∵|2﹣1|＝1，故答案為：1．（3）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x＝4或x＝2，故答案為：x，3，4或2；（4）∵|x﹣（﹣2）|＝2，解得：x＝4或x＝0，故答案為：x，﹣2，x＝4或x＝0；（5）由題意得：在數(shù)軸上表示x的點到﹣5和2的距離的和為7，所以﹣5≤x≤2，所以x的整數(shù)解為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．9．已知a為整數(shù)（1）|a|能取最（填“大”或“小”）值是．此時a＝．（2）|a|+2能取最（填“大”或“小”）值是．此時a＝．（3）2﹣|a﹣1|能取最（填“大”或“小”）值是．此時a＝．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最（填“大”或“小”）值是．此時a＝．【分析】（1）由絕對值的性質即可得出答案；（2）由絕對值的性質即可得出答案；（3）由絕對值的性質即可得出答案；（4）由絕對值的性質即可得出答案．【解答】解：（1）|a|能取最小值是0．此時a＝0．故答案為：小，0，0；（2）|a|+2能取最小值是2．此時a＝0．故答案為：小，2，0；（3）2﹣|a﹣1|能取最大值是2．此時a＝1．故答案為：大，2，1；（4）|a﹣1|+|a+2|能取最小值是3．此時﹣2≤a≤1；故答案為：小，3，﹣2≤a≤1．10．如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，且a，c滿足以下關系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．（1）a＝，c＝；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點與B點重合，則點C與數(shù)表示的點重合；（3）若點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為x，當代數(shù)式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值時，此時x＝，最小值為．【分析】（1）利用絕對值和偶次方的非負性，進行計算即可；（2）利用數(shù)軸上兩點間距離先求出折點表示的數(shù)，然后進行計算即可解答；（3）根據已知并結合圖形可得當點P與點B重合時，代數(shù)式取得最小值．【解答】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，∴a+3＝0，c﹣9＝0，∴a＝﹣3，c＝9，故答案為：﹣3，9；（2）設折點表示的數(shù)為x，∵將數(shù)軸折疊，使得A點與B點重合，∴1﹣x＝x﹣（﹣3），∴x＝﹣1，∴折點表示的數(shù)為：﹣1，設點C與數(shù)y表示的點重合，∴﹣1﹣y＝9﹣（﹣1），∴y＝﹣11，∴點C與數(shù)﹣11表示的點重合，故答案為：﹣11；（3）由題意得：代數(shù)式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示點P與點A，B，C這三個點的距離之和，當點P與點B重合時，點P與點A，B，C這三個點的距離之和最小，即當x＝1時，代數(shù)式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，最小值為：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣3）|+|1﹣1|+|1﹣9|＝4+0+8＝12，故答案為：1，12．11．閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣3和1兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示a和1的兩點之間的距離為6，則a表示的數(shù)為；（3）若x表示一個有理數(shù)，則|x+2|+|x﹣4|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【分析】（1）（2）在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|，依此即可求解；（3）根據絕對值的性質去掉絕對值號，然后計算即可得解．【解答】解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；故答案為：4，|x+2|；（2）|a﹣1|＝6，∴a﹣1＝6或a﹣1＝﹣6，即a＝7或a＝﹣5，故答案為：7或﹣5；（3）有最小值，當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2﹣x+4＝﹣2x+2＞6，當﹣2≤x≤4時，|x+2|+|x﹣4|＝x+2﹣x+4＝6，當x＞4時，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，所以當﹣2≤x≤4時，它的最小值為6．12．|x﹣4|+|x+2|的最小值為6；此時x取值范圍是﹣2≤x≤4．【分析】分三種情況：①x＜﹣2，②﹣2≤x≤4，③x＞4，利用絕對值的意義化簡整理后，通過比較結果即可得出結論．【解答】解：①當x＜﹣2時，|x﹣4|+|x+2|＝4﹣x﹣2﹣x＝﹣2x+2，∵x＜﹣2，∴﹣2x＞4．∴﹣2x+2＞6．②當﹣2≤x≤4時，|x﹣4|+|x+2＝4﹣x+x+2＝6；③當x＞4時，|x﹣4|+|x+2|＝x﹣4+x+2＝2x﹣2．∵x＞4，∴2x＞8．∴2x﹣2＞6．綜上，當﹣2≤x≤4時，|x﹣4|+|x+2|的最小值為6，故答案為：6；﹣2≤x≤4．13．數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應的關系，揭示了數(shù)與點之間的內在聯(lián)系，它是“數(shù)形結合”的基礎．我們知道|4|＝|4﹣0|，它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點與原點（即表示0的點）之間的距離，又如式子|7﹣3|，它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點與表示數(shù)3的點之間的距離．也就是說，在數(shù)軸上，如果點A表示的數(shù)記為a，點B表示的數(shù)記為b，則A，B兩點間的距離就可記作|a﹣b|．回答下列問題：（1）幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)2的點與數(shù)﹣3的點之間的距離的式子是；式子|a+5|的幾何意義是；（2）根據絕對值的幾何意義，當|m﹣2|＝3時，m＝；（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值為，此時m滿足的條件是；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值為，此時m滿足的條件是．【分析】（1）根據兩點間的距離公式即可求解；（2）根據||a﹣b|的幾何意義求解可得；（3）根據m＜﹣1，﹣1≤m≤9，m＞9三種情況確定最小值和此時m的取值；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|＝（|m+1|+|m﹣16|）+|m﹣9|，根據問題（3）可知，要使|m+1|+|m﹣16|的值最小，m的值只要取﹣1到16之間（包括﹣1、16）的任意一個數(shù)，要使|m﹣9|的值最小，m應取9，顯然當m＝9時能同時滿足要求，從而得結論．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示數(shù)2的點與數(shù)﹣3的點之間的距離的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)﹣5的點之間的距離；故答案為：|2﹣（﹣3）|，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)﹣5的點之間的距離；（2）等式|m﹣2|＝3的幾何意義是表示m到數(shù)2的距離為3的點，則m的值為﹣1或5；故答案為：﹣1或5；（3）式子|m+1|+|m﹣9|表示數(shù)m到﹣1和9的距離之和，當m＜﹣1時，原式＝﹣m﹣1﹣m+9＝﹣2m+8＞10，當﹣1≤m≤9時，原式＝m+1+9﹣m＝10，當m＞9時，原式＝m+1+m﹣9＝2m﹣8＞10，故式子|m+1|+|m﹣9|的最小值為10，此時m滿足的條件是﹣1≤m≤9；（4）由分析可知，|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值為17，此時m滿足的條件是m＝9．14．結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．如果表示數(shù)a和﹣1的兩點之間的距離是3，那么a＝．（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|的值為；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，這些點表示的數(shù)的和是．（4）當a＝時，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【分析】（1）根據數(shù)軸，求出兩個數(shù)的差的絕對值即可；（2）先去掉絕對值號，然后進行計算即可得解；根據兩點間的距離的表示列式計算即可得解；（3）找到﹣2和5之間的整數(shù)點，再相加即可求解；（4）判斷出a＝1時，三個絕對值的和最小，然后進行計算即可得解．【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；（2）∵表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，∴a+4＞0，a﹣2＜0，∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整數(shù)點有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．故這些點表示的數(shù)的和是12；（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．故答案為：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．15．閱讀下列有關材料并解決有關問題．我們知道，現(xiàn)在我們可以利用這一結論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在有理數(shù)范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡|x+1|+|x﹣2|時，可分以下三種情況：①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當﹣1≤x＜2時，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當x≥2時，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通過以上閱讀，請你解決問題：（1）|x﹣3|+|x+4|的零點值是；（2）化簡代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為，此時x的取值范圍為．【分析】（1）根據“零點值”的意義進行計算即可；（2）根據題目中提供的方法分三種情況分別進行計算即可；（3）分三種情況分別對|x﹣3|+|x+4|進行化簡進而求出相應方程的解；（4）根據代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意義，得出當2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，再根據兩點距離的計算方法進行計算即可．【解答】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，求得：x＝3和x＝﹣4，故答案為：﹣4和3；（2）①當x＜﹣4時，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；②當﹣4≤x＜3時，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；③當x≥3時，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；綜上所述：原式＝，（3）分三種情況：①當x＜﹣4時，﹣2x﹣1＝9，解得：x＝﹣5；②當﹣4≤x＜3時，7＝9，不成立；③當x≥3時，2x+1＝9，解得：x＝4．綜上所述，x＝﹣5或x＝4．（4）代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)﹣4，2，3，2000的距離之和，由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，最小值為（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，故答案為：2005，2≤x≤3．16．同學們都知道，|5﹣（﹣2）|表示5與﹣2之差的絕對值，實際上也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）同樣道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到﹣1008和1005所對的兩點距離相等，則x＝（3）類似的|x+5|+|x﹣2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到﹣5和2所對的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，這樣的整數(shù)是．（4）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離為5﹣（﹣2）＝7；（2）在數(shù)軸上，找到﹣1008和1005的中點坐標即可求解；（3）利用數(shù)軸解決：把|x+5|+|x