第二章專題突破四

專題突破四焦點弦的性質(zhì)第二章圓錐曲線與方程拋物線的焦點弦是考試的熱點，有關(guān)拋物線的焦點弦性質(zhì)較為豐富，對拋物線焦點弦性質(zhì)進行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化．一、焦點弦性質(zhì)的推導(dǎo)例1拋物線y2＝2pp>0，設(shè)AB是拋物線的過焦點的一條弦焦點弦，F(xiàn)是拋物線的焦點，A1，y1，B2，y2y1>0，y2<0，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1證明①當(dāng)AB⊥軸時，②當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)為≠0，代入拋物線方程y2＝2p，證明當(dāng)θ≠90°時，過A作AG⊥軸，交軸于G，由拋物線定義知|AF|＝|AA1|，在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，由圖知|GG1|＝|AA1|，當(dāng)θ＝90°時，可知|AF|＝|BF|＝p，證明|AB|＝|AF|＋|BF|＝1＋2＋p當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90°時取等號故通徑長2p為最短的焦點弦長證明由2可得，原點O到直線AB的距離6以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；證明如圖：⊙M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于M1，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切7A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線代入y2＝2y－p2＝0由1可得y1y2＝－p2∴直線AB1過點O∴A，O，B1三點共線，同理得B，O，A1三點共線二、焦點弦性質(zhì)的應(yīng)用例21設(shè)F為拋物線C：y2＝3的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為√解析方法一由題意可知，直線AB的方程為設(shè)A1，y1，B2，y2，方法二運用焦點弦傾斜角相關(guān)的面積公式，2已知F為拋物線C：y2＝4的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為A16 B14 C12 D10√解析方法一拋物線C：y2＝4的焦點為F1,0，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0不妨設(shè)直線l1的斜率為，設(shè)A1，y1，B2，y2，同理得|DE|＝4＋42，故|AB|＋|DE|的最小值為16方法二運用焦點弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，點評上述兩道題目均是研究拋物線的焦點弦問題，涉及拋物線焦點弦長度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點弦性質(zhì)，可以快速解決此類小題跟蹤訓(xùn)練過拋物線y2＝2的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝____由題干知A，B所在直線的斜率存在，12345＝22的焦點且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為√達標(biāo)檢測DABIAOJIANCE123452＝4的焦點，與拋物線交于A，B兩點，若|AB|＝8，則直線l的方程為Ay＝－＋1 By＝－1Cy＝－＋1或y＝－1 D以上均不對√則tanα＝±1，又直線過拋物線焦點，∴直線l的方程為y＝－＋1或y＝－123452＝－2pp>0的焦點，且與該拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是Ay2＝－12 By2＝－8Cy2＝－6 Dy2＝－4√解析設(shè)A1，y1，B2，y2，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|＝－1＋2＋p＝8又AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2，∴－＝2，∴1＋2＝－4，∴p＝4，∴所求拋物線的方程為y2＝－123452＝4的焦點作直線交拋物線于點A1，y1，B2，y2，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為____解析拋物線的焦點為F1,0，準(zhǔn)線方程為＝－1由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝1＋2＋p，即1＋2＋2＝7，得1＋2＝5，，B兩點，若點A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為______解析設(shè)拋物線方程為y2＝2pp>0，如圖∵|AF|＝|AA1|，