一類偏微分具有時的邊值解

一類偏微分具有時的邊值解

在這項研究中，我們研究了微分分量的初始和周期問題。由于函數(shù)剖面的復雜性，這方面的研究結果很少。設RN是N維實的Euclid空間,‖·‖,‖·‖X分別表示RN空間和Banach空間X的范數(shù).Pk(f)c(R)表示實數(shù)集R的所有非空緊(閉)凸子集的全體.當1≤p<∞時,Lp(Ω)表示由范數(shù)為∥u∥p=(∫Ω|u|pdx)1/p<∞的函數(shù)所構成的空間;Lp+(Ω)表示Lp(Ω)中非負函數(shù)的全體,D(Lp(Ω))表示Lp(Ω)中可分解子集的全體.關于偏微分方程的一些概念和結果可參見文獻.若對任意的x∈RN,有t→d(x,F(t))=inf{∥x-v∥:v∈F(t)}是可測的,則集值映射F:T=[0,b]→Pf(RN)稱為可測的.其等價于F是圖可測的,即GrF={(t,v)∈Τ×RΝ:v∈F(t)}∈L(Τ)×B(RΝ),這里:L(T)表示T上的Lebesgue可測子集構成的集合;B(RN)是RN上的Borel可測子集構成的集合.由Aumann’s選擇定理知,存在可測函數(shù)g:T→RN滿足g(t)∈F(t,x)a.e.(幾乎處處)在T上.記F的Lp-可積選擇的全體為SFp,即SFp={f(?)∈Lp(Ω):f(ω)∈F(ω),a.e.ω∈Ω},其中SF1表示F的L1-可積選擇的全體,簡稱可積選擇.一般地,SFp可能是空集.設Y,Z是Hausdorff拓撲空間,若對Z上的任何非空閉凸子集C,F-1(C)={y∈Y:F(y)∩C≠?}是閉的,則多值函數(shù)F:Y→2Z＼{?}稱為上半連續(xù)的.上半連續(xù)等價于:對任意的z∈Z,y→d(z,F(y))=inf{d(z,v):v∈F(y)}是下半連續(xù)的,還等價于:對Y中的任意收斂序列yn→y,有F(y)?limˉF(yn)={z∈Ζ:limd(z,F(yn))=0}.關于集值分析的概念和結果可參見文獻.設Ω?RN為有界開集,其邊界光滑.考慮如下邊界值問題:{-Δu∈G(x,u),a.e.Ω,u|?Ω=0,(1)其中映射G:Ω×R→2R＼{?}是一個集值映射,G(x,u)是凸的情況下解的存在性.假設G滿足:(H)G:Ω×R→Pkc(R)為集值映射,使得:(i)(x,u)→G(x,u)是圖像可測的;(ii)對幾乎所有的x∈Ω,都有u→G(x,u)是閉圖像的;(iii)|G(x,u)|=sup{|v|;v∈G(x,u)}≤b(x),其中b(x)∈Lp+(Ω),p>1.定理1若條件(H)成立,則問題(1)存在解u∈W2,p(Ω)∩W01,p(Ω),且解集是弱緊的.證明:定義算子L(u)=-Δu,則L:D(L)→Lp(Ω)是線性算子,且L-1:Lp(Ω)→Lp(Ω)是全連續(xù)的.設u是問題(1)的解,則v=Lu∈G(x,u),由條件(iii)可得supw∈G∥w∥p≤∥b∥p,于是∥u∥2,p≤C∥v∥p≤C∥b∥p,從而存在M>0,使得‖u‖2,p≤M.存在常數(shù)M0>0,設V={v|v∈Lp(Ω):∥v∥p≤Μ0},Κˉ=L-1(V),則根據(jù)Dunford-Pettis定理知,V是Lp(Ω)中的弱緊子集.又由L-1是全連續(xù)的知,Κˉ是Lp(Ω)中的緊子集,Κˉ的凸性可直接從V的凸性得到,即Κˉ是緊凸子集.下面設N:Κˉ→2Lp(Ω)為關于G的集值Nemitsky算子,定義為Ν(u)={v∈Lp(Ω):v(x)∈G(x,u),a.e.Ω}.這里的N(·)閉、凸性顯然.下證非空性,?u∈Κˉ,設{sn(x)}n≥1?Lp(Ω)為一個階梯函數(shù),使得∥sn(x)∥p≤∥u(x)∥pa.e.于Ω,且當n→∞時,sn(x)→u(x)a.e.于Ω.由假設(H)中(i)知,x→G(x,u)是可測的,即對每個n≥1,都存在一個可測函數(shù)vn(x),使得vn(x)∈G(x,sn)a.e.于Ω.根據(jù)假設(H)中(iii)知,‖vn‖p≤‖b‖p,因此{vn(x)}n≥1?Lp(Ω)是一致有界的,故存在子列,不妨設為其本身vn→wv(弱收斂).則運用文獻中的定理3.1知,v(x)∈convˉ(limˉ{vn(x)}n≥1)?convˉ(limˉG(x,sn))?G(x,u),因此v(x)∈N(u),故N(u)≠?.下面證明N(·)的上半連續(xù)性.設C是Lp(Ω)的非空弱閉子集,即證明集合Ν-1(C)={u∈Κˉ:Ν(u)∩C≠?}是閉的即可.設{un}n≥1?N-1(C),并使得在Κˉ中un→u,則存在子列un→ua.e.于Ω.設fn(x)∈N(un)∩C,其中n≥1.由假設(H)中(iii)得,‖fn(x)‖p≤‖b‖p,所以fn(x)一致有界.又根據(jù)Dundord-Pettis定理知,存在子列,不妨仍記為{fn(x):n≥1},fn→f∈C(弱收斂).同理,有f(x)∈convˉ(limˉ{fn(x)})?convˉ(limˉG(x,un))?G(x,u),因此f∈N(u)∩C,從而u∈N-1(C),即N-1(C)在Κˉ中是閉的,表明N(·)是上半連續(xù)的.因為L-1:Lp(Ω)→Lp(Ω)是全連續(xù)的,N:Κˉ→2Lp(Ω)w在Lp(Ω)具有非空、閉凸的、且上半連續(xù),所以L-1N:Κˉ→Pkc(Κˉ)是上半連續(xù)的.由Kakutani-Fan不動點定理知,存在u∈Κˉ,使得u∈L-1N(u),于是得u∈W2,p(Ω)∩W01,p(Ω)是問題(1)的解.令S為問題(1)的解集,由解的估計知,存在常數(shù)M>0,使得|S|=sup{∥u∥2,p:u∈S}≤Μ.設{un}n≥1?S,若{un}n≥1不失