13隨機變量及其分布

第13章隨機變量及其分布§13.1離散型隨機變量及其概率分布12.1。1隨機變量在某些隨機試驗中，試驗結(jié)果（基本事件）本身就是數(shù)。例1-1拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).所有可能的結(jié)果是整數(shù)1，2,3，4，5，6，如果用變量表示這些結(jié)果,則可能的取值是1，2，3，4,5，6，當(dāng)骰子下落后（試驗結(jié)束)，取值就確定了。例1—2檢測一批量電子管質(zhì)量。每支電子管的使用壽命可能是區(qū)間上任何一個實數(shù)值,其中為質(zhì)量最好的電子管使用壽命。若用變量表示電子管壽命（單位：小時），則的取值隨檢測結(jié)果不同而在上取不同的實數(shù),當(dāng)檢測完畢，的取值也就確定了。在另一些隨機試驗中，試驗結(jié)果看起來不是數(shù),但可以人為地擬定一個實數(shù)來表示它。例1-3拋擲一枚硬幣，觀察它下落后出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面。若規(guī)定當(dāng)“出現(xiàn)正面”時,變量取值為1，當(dāng)“出現(xiàn)反面”時,變量取值為0，于是對于試驗的每一種可能結(jié)果，均有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng).上述例子表明，隨機試驗的所有可能結(jié)果可以用一個變量（或，或）來表示，每次試驗之前不知道它取哪一個實數(shù)值,因為它的取值隨試驗結(jié)果的隨機性亦相應(yīng)地具有隨機性，這個變量,有別于普通函數(shù)的變量，就是我們要引入的隨機變量。定義6-1對于給定的隨機試驗，Ω是其樣本空間，對Ω中每一樣本點，有且只有一個實數(shù)與之對應(yīng)，則稱這個定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù)為隨機變量。隨機變量通常用大寫英文字母或希臘字母表示，它的取值用小寫英文字母表示。引入了隨機變量概念以后,就可使用隨機變量的取值以及取值所滿足的不等式來表示隨機試驗中多種形式的隨機事件,從而隨機事件的概率就可以表示為隨機變量取不同實數(shù)值的概率。比如在例1-1中，=1表示隨機事件{出現(xiàn)1點｝;在例1-2中，≤2200表示隨機事件｛該電子管壽命不超過2200小時｝；在例1-3,=1表示隨機事件{出現(xiàn)正面}等等。例1-4在10件同類型產(chǎn)品中,有3件次品,現(xiàn)任取2件，計算含次品的概率。解用變量表示｛取出的2件產(chǎn)品中含次品數(shù)｝,則的可能取值有0,1，2；｛=0｝表示次品數(shù)為0，即{取出的2件中沒有次品｝;{=1｝表示次品數(shù)為1,即｛取出的2件中有1件次品｝；｛=2｝表示次品數(shù)為2，即｛取出的2件全都是次品｝。于是有=,=，=6.1。2離散型隨機變量及其分布律定義6—2設(shè)隨機變量可能取有限個或可列無限個數(shù)值,且取這些值的概率滿足并且（6—1）則稱為離散型隨機變量，稱,=1,2,…為離散型隨機變量的分布律。為直觀起見，的分布律表示如下：…………反之,若一列數(shù),…且滿足(6—1),則該列數(shù)可作為某一離散型隨機變量的分布律。容易寫出例1—4中隨機變量的分布律如下：例1-5

若離散型隨機變量的分布律為，=1,2，…其中0＜＜1，求。解因為，所以有=1，解得6。1。3常用離散型隨機變量下面介紹常用的離散型隨機變量.1

兩點分布定義6—3若隨機變量僅取0和1,且，，,即分布律為1-則稱服從參數(shù)的兩點分布(或0—-1分布）,習(xí)慣上記。例1—6已知100件同型號產(chǎn)品中有90件正品，10件次品，現(xiàn)從中隨機抽取1件，我們定義=求的分布律.解由古典概型(5-1)有，，所以分布律為如果隨機現(xiàn)象僅有兩種可能的結(jié)果,且都有正概率時，就能用一個服從兩點分布的隨機變量描述.2二項分布在重伯努利試驗中，設(shè)在每次試驗中事件發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，則可能的取值為0、1、…、,且對每一個(0≤≤)，事件{=｝即事件｛次試驗中事件發(fā)生次},于是有,=1,2,…,（6-2）定義6-4若隨機變量的分布律由（6-2）給出，則稱服從參數(shù)為，的二項分布，記為如果記，則，它恰好是二項式展開式的通項，這正是二項分布取名的緣由.特別地，當(dāng)=1時，二項分布即為兩點分布。二項分布可作為描述“射擊次，其中有次中靶”；“拋硬幣次，其中出現(xiàn)正面次”；“在次品率為的一批產(chǎn)品中有放回地取次（每次任取一件），其中有次取出次品”等隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。例1-7某射手射擊一次中靶概率為0.9，若射手共射擊5次，求：

（1）中靶的概率（2）中靶不少于4次的概率。解射手射擊5次，相當(dāng)于做5次伯努利試驗，設(shè)表示中靶次數(shù)，則（1）

設(shè)=｛中靶},則={沒有中靶｝，則=0。99999(2）設(shè)={中靶不少于4次}例1—8從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假設(shè)汽車在各交通崗遇紅燈（事件）是相互獨立的,并且概率均為0。25,設(shè)為汽車在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布律以及汽車至多遇到一次紅燈的概率。解汽車每次遇紅燈（記為事件）的概率均為0。25，從學(xué)校到火車站的途中有三個交通崗，則可認為做3重伯努利試驗，因此途中遇紅燈的次數(shù),于是,經(jīng)計算有0123至多遇一次紅燈的概率為例1—9設(shè)保險公司的某人壽保險險種有1000人投保，每個人在一年內(nèi)死亡的概率為0。005,且每個人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨立的，試求在未來一年內(nèi)這1000個投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率。解設(shè)為1000個投保人中在未來一年內(nèi)死亡的人數(shù),對一人而言，在未來一年內(nèi)是否死亡相當(dāng)于一次伯努利試驗，1000人就是1000重伯努利試驗，，因此這1000個投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率為要直接計算這個式子是相當(dāng)麻煩的，下面介紹一種簡便的近似算法，即二項分布的逼近分布定理。定理6—1（泊松定理)在重伯努利試驗中，事件在一次試驗中發(fā)生的概率為(與試驗總次數(shù)有關(guān))，當(dāng)時（>0常數(shù)），有證明記則即，對任意的常數(shù)(=0，1，2，…）成立.實際應(yīng)用中,當(dāng)大?。ǎ?，適中，二項分布近似計算公式為（6-3)回到例1—9，有=10000.005=5，因此，最后的計算是查泊松分布概率表(附表1)，例如當(dāng)，找到表中“"這一列,然后逐一查得等等.3泊松分布在上一段我們給出了當(dāng)大小，適中的二項分布的逼近分布，它就是泊松分布。定義6-5若隨機變量的分布律為（6-4）稱服從參數(shù)的泊松分布，記為～。泊松分布是用來描述大量隨機試驗中稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的概率模型。例如，電話交換臺在一定時間內(nèi)收到求救電話次數(shù),交通路口在一定時間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)，均可視為泊松分布。例1-10某一城市在一天內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率。解設(shè)表示該城市一天內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)，則習(xí)題6—11確定常數(shù)，使成為某隨機變量的分布律；并試一試，求:2一口袋中有6個球，在這6個球上分別標有數(shù)字—3，-3，1,1，1，2，今從袋中任取一球，設(shè)各個球被取到的可能性相同,求取得的球上標明的數(shù)字X的分布律。3一袋中有5個乒乓球，編號分別為1,2,3，4,5，從中隨機地取3個，以X表示取出的3個球中最大號碼,寫出X的分布律。4有一汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天某段時間發(fā)生事故的概率為0.0001，在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于2的概率.5某實驗的成功概率為0.75，失敗概率為0。25，若以X表示實驗者獲得首次成功所進行的試驗次數(shù)，試寫出X的分布律。6設(shè)隨機變量X的分布律為試求:7設(shè)某運動員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時，投籃命中次數(shù)的概率分布。8一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品觀察后仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)的概率分布.§13。2連續(xù)型隨機變量及其概率分布在上一節(jié),我們介紹了離散型隨機變量，它的一個基本特征是其取值可以一個一個列舉出來。若隨機變量所取值不能一個一個列舉出來，則稱之為非離散型隨機變量。非離散型隨機變量的范圍很廣,其中最重要的一類稱為連續(xù)型隨機變量，它可能的取值可充滿一個區(qū)間(或若干個區(qū)間的并）,例如§6。1中例1—2的隨機變量（電子管壽命)，就屬于這種情況。本節(jié)討論連續(xù)型隨機變量.6。2.1連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)定義6—6設(shè)隨機變量,如果存在非負可積函數(shù)，?∞＜＜+∞，使得對任意實數(shù)a≤b都有則稱為連續(xù)型隨機變量，稱為的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。定義表明，密度函數(shù)在上的定積分等于隨機變量取值于區(qū)間上的概率。密度函數(shù)具有以下性質(zhì):（1）（2）上述性質(zhì)可由圖6—1（a）、（）說明：圖形（a）表明密度函數(shù)曲線恒位于軸之上方，取值于任意區(qū)間上的概率等于以該區(qū)間為底、以曲線為頂?shù)那吿菪蚊娣e；圖形（）說明，密度函數(shù)曲線與軸之間的區(qū)域的面積為1。圖6－1(a）圖6－1（b）由微積分知識可知,對任何實數(shù)，恒有，這是因為即連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為0.實踐中這樣的經(jīng)驗不少,例如，某人在公交車站候車，“候車時間剛好2分鐘整”幾乎是不可能的，即事件｛某人等候時間剛好2分鐘整｝的概率為0。不過要注意,概率為0的事件并不是不可能事件。這一性質(zhì)正是連續(xù)型隨機變量與離散型隨機變量的最大區(qū)別。由于連續(xù)型隨機變量在任一點處的概率都為0，所以，計算連續(xù)型隨機變量在某一區(qū)間的概率時，不必考慮該區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間，它們的概率都相等，即注意：對任意的，當(dāng)△很小，且在區(qū)間［,+△］上連續(xù)時，有上式表示，在點處函數(shù)值越大,取值于長度很小的區(qū)間（，+△)內(nèi)概率也越大(圖6-2）,所以稱為概率密度函數(shù)。圖6-2例2-1

設(shè)函數(shù)要求:（1）確定常數(shù)，使為某一隨機變量的密度函數(shù);（2）計算，解(1）由密度函數(shù)性質(zhì),有＝，于是有顯然≥0,所以它是某一隨機變量的密度函數(shù)。（2）

6。2。2常用連續(xù)型隨機變量1均勻分布定義6-7若隨機變量的密度函數(shù)為則稱在區(qū)間上服從均勻分布，記為.的概率密度曲線如圖6—3所示。圖6-3易知，服從均勻分布的取值于區(qū)間的概率為（6-5)上式表明，該概率與區(qū)間長度成正比，而與區(qū)間的具體位置無關(guān)，這就是均勻分布的概率意義。在實踐中，乘客在公交站候車的時間服從均勻分布；數(shù)值計算中由于四舍五入的原因小數(shù)點后一位小數(shù)所引起的誤差，一般可認為例2—2城東客運站上午7點起每隔15分鐘發(fā)一輛車,某乘客在7:00—7:30之間隨機到達車站，求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率。解設(shè)乘客候車時間為隨機變量，由題意知，其密度函數(shù)為該乘客候車時間不超過5分鐘,當(dāng)且僅當(dāng)乘客在時間段（7：10，7：15］或（7:25，7：30］到達車站，由（6—5），所求概率為2指數(shù)分布若隨機變量的密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為，其中為常數(shù)(圖6—4)。在實踐中,動植物壽命、元件壽命以及服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)時間等都可用服從指數(shù)分布的隨機變量描述。圖6—4例2—3設(shè)打一次電話所用時間（單位：分鐘)服從參數(shù)=0。1的指數(shù)分布，某人準備進公用電話亭打電話時，有一人在他前面走進了公用電話亭。試計算：這個人等候（1）5－10分鐘的概率；（2）超過10分鐘的概率。解設(shè)表示某人等候的時間,，則所求概率為3

正態(tài)分布若隨機變量的密度函數(shù)為其中（＞0）為常數(shù)，則稱服從參數(shù)、的正態(tài)分布，記為，稱為正態(tài)變量，稱的幾何圖形為正態(tài)曲線.正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）正態(tài)曲線在軸上方，以為對稱軸；(2），即正態(tài)曲線以軸為漸近線;93）若固定而改變的值，則正態(tài)曲線沿軸平行移動但不改變其形狀，即曲線的位置完全由參數(shù)確定;若固定而改變的值，則當(dāng)越小時正態(tài)曲線越陡峭,越大時正態(tài)曲線越平緩，因此參數(shù)刻畫了正態(tài)變量取值的分散程度：越小，正態(tài)變量取值的分散程度越低;反之分散程度越高，見圖6—5。圖6-5(a)圖6—5(b)圖6-5(c）正態(tài)變量的密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）(2)其中（3）在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在處取最大值正態(tài)分布是實際生活中最常見的一種分布，大量實際問題中隨機變量的分布，都具有正態(tài)曲線“中間大、兩頭小、左右對稱”的特點，如：測量誤差，燈泡壽命,人的身高、體重，學(xué)生的考試成績，射擊時彈著點與靶心的距離等都可以認為服從正態(tài)分布。而且后面將看到,許多非正態(tài)分布的隨機變量也和正態(tài)分布的隨機變量有著密切的關(guān)系。因此，正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布。若參數(shù),則稱正態(tài)分布為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布密度函數(shù)通常用表示：它的圖形關(guān)于軸對稱，如圖6-6(）.對任意,稱函數(shù)為標準正態(tài)變量的分布函數(shù)（見下節(jié)）.分布函數(shù)在處的函數(shù)值等于標準正態(tài)變量取值于內(nèi)的概率，即（6—6）即隨機事件{}的概率等于標準正態(tài)曲線之下、區(qū)間（－∞，]之上的區(qū)域面積（見圖6—6（）；隨機事件{}的概率等于標準正態(tài)曲線之下、區(qū)間之上的曲邊梯形面積(見圖6—6（））。（6-7）

圖6-6(a)圖6—6（b）

圖6-6（c）圖6—6(d)易知(6—8)對給定的，準確計算是很困難的，為此編制了它的近似值表（標準正態(tài)分布數(shù)值表），見附表2.例2—4查表計算.解查表計算:在正態(tài)分布數(shù)值表第1列找到“1。6”的行，再從第一行找到“5”的列,它們交叉處的0.950即為所求，即=0.9505類似有=0。6255由（6-8）并查表，=1－=1－0。9750=0.0250例2—5設(shè)，查表計算，，解可見，若，則求、、和就轉(zhuǎn)化為分別查表計算、、和.若，我們導(dǎo)出取值于區(qū)間內(nèi)概率的簡算公式:(6—9)例2—6設(shè)，求解設(shè),則,于是由(6—9）、（6—8）例2-7設(shè)，求,為常數(shù)。特別地,當(dāng)=3查表可得隨機變量的取值以99.74％的概率落在區(qū)間(，）之內(nèi)，這說明的取值幾乎全部集中落入?yún)^(qū)間（，）內(nèi)，超出這個范圍的可能性不到0。3%.因此在應(yīng)用中，常把（，）看作的實際取值區(qū)間，這就是“原則”(圖6—7）.圖6—7例2—8某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的數(shù)學(xué)考試成績（百分制)服從正態(tài)分布,且96分以上的考生占考生總?cè)藬?shù)的2。3％，試求成績在60至84分之間的概率。解本題告知分，未知但可通過已知條件求得，由有查正態(tài)分布數(shù)值表,可得，因此=12,，故所求概率為6。2.3

隨機變量的分布函數(shù)如前所述，分布律和密度函數(shù)分別完整地描述了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律，而實際上還有一種描述兩類隨機變量概率分布規(guī)律的統(tǒng)一方式，這就是隨機變量的分布函數(shù).定義6—8設(shè)為一隨機變量，稱定義在實數(shù)域上、值域為[-1，1]的函數(shù)為的概率分布函數(shù)*,簡稱分布函數(shù)或分布。它是與隨機變量有關(guān)的最重要的概念?！?-————-—-—-—-———---—-—----—---—-—--—--—-————-——----——-—有的書定義概率分布函數(shù)為，對于連續(xù)型隨機變量，兩種定義是相同的；對于離散型隨機變量則有差異，請注意區(qū)別.對于離散型隨機變量，設(shè)其分布律為,則它的分布函數(shù)為

(6-10)對于連續(xù)型隨機變量，設(shè)其概率密度為,則它的分布函數(shù)為(6—11）可見，分布函數(shù)實際上是取值于區(qū)間（—∞,]上的累積概率值。因此，有文獻上稱之為累積概率。分布函數(shù)具有下列性質(zhì):(1)；（2)是的單調(diào)不減、右連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)有，（3），（4）性質(zhì)（4）表明，只要知道隨機變量的分布函數(shù),就能算出取值于任意區(qū)間的概率，所以分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的概率分布規(guī)律。例2—9設(shè)的分布律為：－1120。50。150.35求：(1）的分布函數(shù)及其圖形；（2)。解（1）是｛｝的累積概率值,即為小于或等于的那些處的之和，所以當(dāng)時，事件{},故=0當(dāng)時,有；當(dāng)時，有當(dāng)時，有綜上所述，分布函數(shù)為（2）圖6-8可見，離散型分布函數(shù)的圖形呈階梯形，在處具有跳躍間斷，其躍度為例2-10

設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為試求：（1）的分布函數(shù)，畫出的密度函數(shù)以及分布函數(shù)之圖形,（2）(3)若，確定.解（1）由已知,有當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以的分布函數(shù)為圖6—9

（2）(3）例2—11（例6—3的另一種解法）,則其分布函數(shù)為即于是等待時間在5－10分鐘的概率為0.239,等待時間超過10分鐘的概率為0.368習(xí)題6-21已知X的概率密度函數(shù)為求和分布函數(shù)。2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為試求：（1）A，B（2）（3)概率密度函數(shù).3設(shè)隨機變量，如果，試求4某地抽樣調(diào)查表明，考生的數(shù)學(xué)成績（百分制)近似正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的考生占考生總?cè)藬?shù)2.3％，試求考生的數(shù)學(xué)成績在60分至84分之間的概率.5某人去火車站乘車，有兩條路線可走,第一條路程較短,但交通擁擠,所需時間（單位：分鐘)服從正態(tài)分布；第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時間服從正態(tài)分布求：(1）若動身時離火車開車時間只有60分鐘,應(yīng)走哪一條路線？（2）若動身時離火車開車時間只有45分鐘,應(yīng)走哪一條路線？6設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為求：(1）常數(shù)；（2）；(3）隨機變量的密度函數(shù).7已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度（單位：厘米）服從參數(shù)的正態(tài)分布，規(guī)定螺栓長度在內(nèi)為合格品，試求螺栓為合格品的概率。8在某汽車站,62路公交車每5分鐘有一輛到達，而乘客在5分鐘內(nèi)任一時間到達是等可能的，計算在車站候車的10位乘客中只有1位候車時間超過4分鐘的概率?！?3.3隨機變量函數(shù)的分布在分析和解決實際問題時,往往要用到隨機變量的函數(shù),它們也是隨機變量。例如，某家電商場電冰箱的銷售量是隨機變量，因而銷售電冰箱的利潤是的函數(shù)，它也是隨機變量。本節(jié)將說明如何從隨機變量的分布函數(shù)導(dǎo)出這些隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)。設(shè)為一隨機變量，現(xiàn)在要由的分布函數(shù)導(dǎo)出函數(shù)的分布函數(shù)。我們分別對為離散型和連續(xù)型來討論。1離散型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)是離散型隨機變量，其分布律為…………是已知的函數(shù)，是隨機變量的函數(shù)，則隨機變量的分布律為…………其中，注意，若函數(shù)值中有相等者，則把相等的合并,同時將對應(yīng)的相加。例3—1已知的分布律為求：（1）的分布律（2）的分布律解1)當(dāng)取值0、1、2、3、4、5時,相應(yīng)地取值為3、5、7、9、11、13，故的分布律為2)當(dāng)取值0、1、2、3、4、5時,相應(yīng)地取值為4、1、0、1、4、9，其中相等的則合并，并將對應(yīng)的概率相加，得所以的分布律為2連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)為連續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為；是已知的連續(xù)函數(shù),是隨機變量的函數(shù).求的密度函數(shù)方法是：先求的分布函數(shù),然后再求的密度函數(shù).其中是實數(shù)軸上的某個集合，上式將的分布函數(shù)在的值轉(zhuǎn)化成了的分布函數(shù)在上的值，這是極其重要的步驟.隨機變量的密度函數(shù)可由下式得到：。例3-2已知,求的密度函數(shù)（其中，均為常數(shù)，且＞0）解因為，所以的密度函數(shù)為，隨機變量的分布函數(shù)為對求導(dǎo)，則的密度函數(shù)為一般地，有如下的結(jié)論：定理6—2設(shè)隨機變量和的密度函數(shù)分別記為，，且函數(shù)及嚴格單調(diào)，之反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則的密度函數(shù)為(6-11）這里為函數(shù)的值域。例3—3設(shè)隨機變量服從參數(shù)的指數(shù)分布，求隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)。解由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，因此其密度函數(shù)為嚴格單增且有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其反函數(shù)且，由（6-11）有有時還會碰到這樣一類隨機變量函數(shù)，是一連續(xù)型隨機變量，但不連續(xù)，這樣導(dǎo)致隨機變量函數(shù)也不是連續(xù)型隨機變量，此時，的分布如何確定?下面我們給出一個具體例子說明。例3-4設(shè)由自動生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品可獲利，銷售每件不合格品則虧損,已知銷售利潤（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑有如下關(guān)系：試求的分布律。解易見是一個離散型隨機變量，它可能的取值為，，20，并且有綜合起來，的分布律為200。15870。15870.6826習(xí)題6-31已知X的概率分布為：—2-10123試求：的概率分布。2設(shè)的分布律為,求的概率分布。3設(shè)隨機變量，令，試求隨機變量的密度函數(shù)?！?3。4二維隨機變量6.4。1二維隨機變量在研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育狀況時,要從該地區(qū)的全體學(xué)齡前兒童中,隨機抽查若干兒童,測量他們的身高和體重。這樣，就有一個由身高、體重組成的隨機向量，該隨機向量的值是根據(jù)測量結(jié)果(被抽到的兒童）而確定的。這里，僅僅單一考察隨機變量或是不夠的，還需要把這兩個隨機變量作為整體來考慮，了解它們的聯(lián)合取值及其統(tǒng)計規(guī)律。定義6—9設(shè)隨機試驗的樣本空間為，樣本點，而是定義在上的兩個隨機變量，整體稱為定義在上的二維隨機變量或二維隨機向量（這時,稱、為隨機向量的兩個分量）。相應(yīng)地稱§6.1所述的隨機變量為一維隨機變量。從幾何上看，一維隨機變量可以看作是直線上的隨機點,而二維隨機變量則可看作是平面上的隨機點，如圖6-10圖6—10定義6-10設(shè)是二維隨機變量，對任意實數(shù)對，稱二元函數(shù)為二維隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)，簡稱聯(lián)合分布函數(shù).定義表明，聯(lián)合分布函數(shù)在點處的函數(shù)值是二維隨機變量取值于圖6-11所示廣義矩形區(qū)域上的概率.我們根據(jù)概率的可加性，可得二維隨機變量取值于矩形區(qū)域內(nèi)的概率：（6—12)圖6—11是上式的直觀圖解，讀者可將它與圖2—12做一比較.圖6—11圖6-12二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1)對任意的,有0≤≤1(2）（3）固定一個自變量時，關(guān)于另一個自變量單調(diào)不減,即當(dāng)時，；當(dāng)時，（4）固定一個自變量時，對于另一個自變量為右連續(xù)函數(shù)，即例4—1設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，，求常數(shù)、、解由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),有解得與一維隨機變量類似，對于二維隨機變量，我們?nèi)匀豢梢苑譃殡x散型和連續(xù)型來討論.1二維離散型隨機變量若二維隨機變量只取有限個或可數(shù)多個數(shù)對，則稱為二維離散型隨機變量，像一維離散型隨機變量的概率分布那樣，我們用聯(lián)合分布律來表示二維離散型隨機變量的概率分布。定義6—11設(shè)二維離散型隨機變量可能取值為,且取這些值的概率具有性質(zhì)：（6-13）則稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布律.我們常用表6—1的形式表示二維隨機變量的聯(lián)合分布律。圖6-13是聯(lián)合分布律的形象表示,圖中垂直短線的高度表示二維隨機變量取值的概率的大小，所有短線的高度之和等于1表6-1二維隨機變量的聯(lián)合分布律圖2—13由概率的可加性知，二維離散型隨機變量取值于區(qū)域上的概率為例4-2一袋中有6個乒乓球,其中1個紅球、2個白球、3個黑球?，F(xiàn)從中一次性隨機摸取4個球,以，分別表示紅球及白球的個數(shù)，求：（1）求的聯(lián)合分布律；(2)設(shè)為二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù),計算：，解可取0、1，可取0、1、2，由古典概型有（1）,，,，于是的聯(lián)合分布律如下：（2)為了計算,此時事件，于是有,2二維連續(xù)型隨機變量定義6—12對于二維隨機變量，若存在二元非負實值可積函數(shù),使對任何實數(shù)對（）有（6—14）則稱為二維連續(xù)型隨機變量，為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱聯(lián)合密度函數(shù).聯(lián)合密度函數(shù)具有下列性質(zhì):(1）.（2).（3)，其中為平面上任一區(qū)域，如圖6-14所示。（4)在的連續(xù)點，有圖6-14從幾何上看，二元函數(shù)表示空間的一張曲面，稱為密度曲面。性質(zhì)(2）表示密度曲面與平面之間的全部體積等于1;性質(zhì)（3）表示二維隨機變量取值于區(qū)域內(nèi)的概率等于以為底、曲面為頂?shù)那斨w體積的大小，見圖6—14；而性質(zhì)（4）說明了二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)之間的關(guān)系：它們都描述了二維隨機變量的概率分布規(guī)律，而且知道其中的一個可以求另一個。在多數(shù)情況下習(xí)慣用聯(lián)合密度函數(shù)來描述二維隨機變量的概率分布。例4—3設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為要求：（1)確定常數(shù)和的聯(lián)合分布函數(shù)(2）計算和,為所圍平面區(qū)域（圖6-15）解根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，有（1），于是=1于是聯(lián)合密度函數(shù)為故聯(lián)合分布函數(shù)為(2）圖6—15與一維隨機變量情形類似，若二維隨機變量服從區(qū)域上均勻分布，則（6-15）其中、分別表示平面區(qū)域、的面積，且例4-4設(shè)在矩形區(qū)域上服從二維均勻分布，求解方法一如圖6—16所示,矩形區(qū)域的面積，區(qū)域的面積，所以圖6-16方法二6.4。2邊緣分布函數(shù)事實上，二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)既包含了與之間相互關(guān)系的信息,也包含了作為的分量與的單一概率分布信息，于是我們給出定義6—13設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)，分別稱為與的邊緣分布函數(shù)。注意到因此，的邊緣分布函數(shù)可表為(6—15)類似地，的邊緣分布函數(shù)可表為(6—16）（6-15）、（6—16）表示，二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)和可由聯(lián)合分布函數(shù)唯一確定。例4—5求例4-1中及的邊緣分布函數(shù)和解由(2-15)、（2—16)有根據(jù)(6—15）、(6-16）,我們給出二維離散型隨機變量的邊緣分布律概念.定義6-14設(shè)隨機變量的聯(lián)合分布律為分別稱為和的邊緣分布律，簡單記作和客觀上所以和的邊緣分布律分別為（6-17）上式表明，由二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律能唯一確定隨機變量和的邊緣分布律，但反之不然,即由和的邊緣分布律一般不能唯一確定的聯(lián)合分布律。那么在什么條件下,可由和的邊緣分布律能唯一確定的聯(lián)合分布律呢？稍后我們討論這個問題。例4-6求例4-2中的二維隨機變量關(guān)于和的邊緣分布律。解利用二維隨機變量聯(lián)合分布律的表格形式，把其中的概率按同行、同列相加，得于是二維隨機變量關(guān)于和的邊緣分布律為01012在聯(lián)合分布律的表格中,中間部分是二維隨機變量的聯(lián)合分布律,而邊緣部分就是關(guān)于和的邊緣分布律。正因為它們的位置在聯(lián)合分布律的邊緣上，人們才形象地取了邊緣分布律這個名稱。6。4.3邊緣密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，由邊緣分布函數(shù)概念可得定義6—15設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，分別稱（6-18)(6—19）為、的邊緣密度函數(shù).（6—18），（6-19）表示：、的邊緣密度函數(shù)可由二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)唯一確定.例4-8設(shè)二維隨機變量在區(qū)域上服從二維均勻分布，試求的聯(lián)合密度函數(shù)和，的邊緣密度函數(shù)，其中區(qū)域由拋物線和直線所圍成，如圖6-17所示。解區(qū)域（圖6-17陰影部分）的面積為，再由(6-18)及(6—19）,二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)以及、的邊緣密度函數(shù)分別為圖6—176.4.4二維隨機變量的獨立性我們在第1章曾討論過事件的獨立性，它表明一事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生之概率沒有影響。對于二維隨機變量，的取值與的取值概率也可能互不影響。例如，兩人向同一目標射擊，都射擊10彈，各人擊中目標的次數(shù)就屬于這種情況。定義6-16設(shè)隨機變量、，如果對于任意實數(shù)，事件與事件是相互獨立的，即有（6—20)則稱與相互獨立。對于二維隨機變量，判定與相互獨立有以下定理。定理6—3設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律和、的邊緣分布律分別為則相互獨立的充分必要條件為：對一切恒有即（6—21）證明從略。定理6-4設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)和、的邊緣密度函數(shù)分別為則相互獨立的充分必要條件為：在的一切公共連續(xù)點處有（6—22）證明從略.例4-9已知隨機變量的聯(lián)合分布律如下，試分別判定是否相互獨立。（1）(2）10。200.4020。050。3510。150.4520。100。30解（1)由題設(shè)知隨機變量的邊緣分布律分別為120。600.40120。250.75因為所以不相互獨立。（2)由題設(shè)知隨機變量的邊緣分布律分別為120。250.75120。600.40因為，,,，，對成立，所以相互獨立。習(xí)題13-41。設(shè)的聯(lián)合分布律為1/61/91/181/31/9求.2。設(shè)的分布函數(shù)為，試用表示：3。設(shè)的分布函數(shù)為，它的分布律如下:1/4001/161/161/401/401/16