第一章《集合與常用邏輯用語》復習課-2023-2024學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第1章《集合與常用邏輯用語》復習課一、本章知識結構二、回顧與思考

本章我們學習了集合的有關概念、關系和運算，還學習了充分條件、必要條件、充要條件，全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.

這些知識在后續(xù)學習中會得到大量應用，是進一步學習的重要基礎.

為了有效使用集合語言表述數(shù)學的研究對象，首先應掌握集合語言的表述方式.為此，我們先學習了集合的含義，明確了集合中元素的確定性、無序性和互異性等特征;再學習了列舉法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究對象的某種特征，需要先理解研究對象的性質;類比數(shù)與數(shù)的關系，我們研究了集合之間的包含關系與相等關系，這些關系是由元素與集合的關系決定的，其中集合的相等關系很重要;類比數(shù)的運算，我們學習了集合的交、并、補運算，通過這些運算可以得到與原有集合緊密關聯(lián)的集合，由此可以表示研究對象的某些關系，從中我們可以體會到，數(shù)學中的運算并不局限于數(shù)的運算，這對提升我們的數(shù)學運算素養(yǎng)是很有意義的.在學習中，要注意“集合的含義與表示一集合的關系一集合的運算”這個研究路徑.二、回顧與思考

常用邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是邏輯思維的基本語言，也是數(shù)學表達和交流的工具，結合初中學過的平面幾何和代數(shù)知識，我們學習了常用邏輯用語，發(fā)現(xiàn)初中學過的數(shù)學定義、定理、命題都可以用常用邏輯用語表達，利用常用邏輯用語表述數(shù)學內(nèi)容、進行推理論證，可以大大提升表述的邏輯性和準確性，從而提升我們的邏輯推理素養(yǎng).

本章的學習不僅要為后續(xù)學習做好知識技能的準備，更重要的是要為整個高中數(shù)學學習做好心理準備，初步形成適合高中數(shù)學學習的方式方法，使我們能更好地適應高中數(shù)學學習.

請你帶著下面的問題，復習一下全章的內(nèi)容吧!二、回顧與思考

1.集合中的元素具有確定性、互異性和無序性，你能結合例子說明這些特性嗎?

2.你能用集合表示平面內(nèi)線段AB的垂直平分線嗎?結合集合的描述法談談你的體會.

3.用聯(lián)系的觀點看問題，可以使我們更深刻地理解數(shù)學知識。本章中，我們類比數(shù)與數(shù)的關系和運算研究了集合與集合的關系和運算.你認為這樣的類比對發(fā)現(xiàn)和提出集合的問題有什么意義?你能類比數(shù)的減法運算給出集合的減法運算嗎?

4.對給定的p和q，如何判定p是q的充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件?你能舉例說明嗎?

5.如何否定含有一個量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題?你能舉例說明嗎?三、典型例題

一、集合的綜合運算

1.集合的交、并、補運算的綜合應用既是高考的重點，也是高考的熱點.解決集合的混合運算時,首先弄清交、并、補的運算符號,然后弄清交、并、補的概念.求解思路是:

一般先計算括號內(nèi)的部分，再計算其他部分.

2.有限集合混合運算可借助Venn圖，與不等式有關的無限集的混合運算可借助數(shù)軸.三、典型例題例1

(1)(2023全國甲卷文科)設全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4},

N={2,5}，則NU

UM=(

)

A.{2,3,5}

B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}

D.{2,3,4,5}

(2)(2023全國乙卷理科)設集合U=R，集合M={x|x<1},

N={x|-1<x<2}，則{x|x≥2}=(

)

A.

U(MUN)

B.NU

UMC.

U(M∩N)

D.MUUN三、典型例題訓練1

(1)(2023全國乙卷文科)設全集U={0,1,2,4,6,8}，集合

M={0,4,6},

N={0,1,6}，則MUUN=(

)

A.{0,2,4,6,8}

B.{0,1,4,6,8}

C.{1,2,4,6,8}

D.U

(2)(2023全國新課標一卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},

N={x|x2-x-6≥0}，則M∩N=(

)

A.{-2,-1,0,1}

B.{0,1,2}C.{-2}

D.{2}

解題策略

1.進行集合運算時,

首先看集合能否化簡,

能化簡的先化簡,再研究其關系并進行運算.

2.涉及與集合的補集有關的集合運算問題,

要求出補集后再求解.

3.由Venn圖給出的集合運算問題,

首先將Venn圖轉化為集合之間的運算關系后再求解.

4.若由集合的元素性質具有明顯的幾何意義的兩曲線構成的集合交集問題,

可以利用解方程組的方法求解,

涉及點集時,

也可以利用列舉法求解.三、典型例題三、典型例題

二、含有參數(shù)的集合綜合問題

1.含有參數(shù)的集合問題是集合的基本關系或基本運算的逆向考查,不僅要把握住包含關系的概念，還要熟練掌握交、并、補三大基本運算，然后借助Venn圖或數(shù)軸加以分析,找到滿足題意的約束條件,同時對空集是任何集合的子集的要理解全面到位.

一要注意易漏空集，二要注意求出的參數(shù)滿足集合的互異性.

2.這類問題常見的分析手段就是數(shù)軸，可化抽象為直觀,所涉及的方法有分類討論法.

3.這類問題的關鍵是理解運算對象,掌握運算法則，選擇運算方法,求得運算結果，充分體現(xiàn)了數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).三、典型例題例2(1)(2023全國新課標二卷)設集合A={0,-a}，B={1,a-2,2a-2},

若AB，則a=(

)

A.2B.1C.

D.-1

(2)(2020全國Ⅰ卷)設集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且

A∩B={x|-2≤x≤1},則a等于()A.-4B.-2 C.2 D.4三、典型例題訓練2(1)(2021寧夏高三聯(lián)考)已知集合A={1,a2}(a∈R),

B={-1,0,1},若A∪B=B,則A中元素的和為()

A.0 B.1

C.2 D.-1

(2)已知集合M={x|x2-3x+2≤0},N={x|y=

},若M∩N=M,則

實數(shù)a的取值范圍為()

A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1

解題策略

求解含參數(shù)的集合運算問題,主要有以下方法：

(1)涉及離散的集合運算求參數(shù),

要注意所求參數(shù)是否滿足集合中元素的性質.

(2)與集合的運算性質有關的集合運算,

要注意將運算性質轉化為集合之間的關系.

(3)涉及與連續(xù)的數(shù)集有關的集合運算,

要注意借助數(shù)軸轉化為與參數(shù)有關的不等式(組),

此時要注意集合端點的取值.三、典型例題三、典型例題

三、充分條件與必要條件

1.充分條件、必要條件和充要條件是常用的邏輯用語.準確判斷條件類型的前提是清楚的理解充分條件、必要條件的定義.一般地，"若p，則q"為真命題,是指由p通過推理可以得出q.這時,我們就說，p是q的充分條件，q是p的必要條件；從定義中得知,弄清p與q的推斷關系也是重中之重.

2.在判斷p與q的關系時，可以結合現(xiàn)有的定理、公式、知識，加上基本的數(shù)學運算，借助“小推大”這樣一個原則，準確找出二者的推斷關系，再結合充分條件.

必要條件的定義給出條件類型.三、典型例題例3(1)(2019浙江)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的(

)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)不等式x->0成立的一個充分不必要條件是()

A.-1<x<0或x>1

B.x<-1或0<x<1C.x>-1 D.x>1三、典型例題訓練3(1)(2019上海)若a、b∈R,則“a2>b2”是“|a|>|b|”的(

)

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

(2)使a>0,

b>0成立的一個必要不充分條件是()

A.a+b>0

B.a-b>0

C.ab>1

D.

>1

解題策略

判斷充分、必要條件的3種方法：

(1)定義法:

根據(jù)p?q,q?p進行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法:

根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷,多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題.

(3)數(shù)形結合法:

充要條件的判定問題中,若給出的條件與結論之間有明顯的幾何意義,且可以作出滿足條件的幾何圖形,則可作出其幾何圖形后利用數(shù)形結合思想求解.三、典型例題

判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向,要注意“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區(qū)別,要正確理解“p的一個充分不必要條件是q”的含義.注意三、典型例題

四、全稱量詞和存在量詞

1.掌握全稱量詞的種類和存在量詞的種類,并能加以區(qū)分從數(shù)學遇輯的角度.用嚴謹?shù)姆治鏊季S,理解帶有全稱量詞或存在量詞的語句的含義是準確解答此類問題的先決條件.

2.正確寫出這兩類命題的否定的同時，認識到含有一個量詞的全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，含有一個量詞的存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

3.理解全稱量詞的語句與存在量詞的語句之間互補的關系.利用這種補集的思想，可以解決“正難則反”的問題.

4.理解使用邏輯用語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理的方法,體會邏輯用語在表述數(shù)學內(nèi)容和論證數(shù)學結論中的作用，學會使用集合和邏輯語言表達和交流數(shù)學問題，提升交流的邏輯性和準確性.三、典型例題例4(1)(2015全國Ⅰ卷)命題“?n∈N，n2>2n”的否定為()

A.?n∈N，n2>2nB.?n∈N，n2≤2n

C.?n∈N，n2≤2nD.?n∈N，n2=2n

(2)命題“?x∈R,x2+x≥0”的否定是()

A.?x0∈R,x02+x0≤0

B.?x0∈R,x02+x0<0

C.?x∈R,x2+x≤0

D.?x∈R,x2+x<0三、典型例題訓練4(1)命題“?x0∈R,1<y≤2”的否定形式是(

)A.?x∈R,1<y≤2B.?x0∈R，1<y≤2C.?x0∈R，y≤1或y>2D.?x∈R，y≤1或y>2

(2)已知p:

存在x0∈R,mx02+1≤0，q:

任意x∈R,x2+mx+