適用于老高考舊教材2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)文第3講高考情境題的數(shù)學(xué)建模課件

第3講高考情境題的數(shù)學(xué)建模序篇近年來(lái),高考數(shù)學(xué)試題緊密聯(lián)系生活實(shí)際與“五育”結(jié)合,以考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力為主線,突出考察數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等核心素養(yǎng).為適應(yīng)高考命題的特點(diǎn),二輪復(fù)習(xí)應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生高考情境題的數(shù)學(xué)建模能力.數(shù)學(xué)建模解決高考情境題的基本思路:考向1三角函數(shù)、三角形模型的情境問(wèn)題例1(1)(2022·江蘇七市第二次調(diào)研)時(shí)鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物,從開放到閉合與體內(nèi)的一種時(shí)鐘酶有關(guān).研究表明,當(dāng)氣溫上升到20℃時(shí),時(shí)鐘酶活躍起來(lái),花朵開始開放;當(dāng)氣溫上升到28℃時(shí),時(shí)鐘酶的活性減弱,花朵開始閉合,且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17時(shí)(取到5時(shí)和A.1.4h B.2.4h C.3.2h D.5.6h(2)(2021·全國(guó)乙·理9)魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測(cè)量海島的高.如圖,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=(

)答案

(1)B

(2)A

即為t≈-16k-1.4或t≈-16k-4.6,k∈Z,由5≤t≤17,可得t≈14.6或t≈11.4,所以從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷11.4-9=2.4(h).(方法二)如圖,連接FD并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,則FM⊥AB,AB=AM+BM.設(shè)∠BDM=α,∠BFM=β,則∠BHE=α,∠FCG=β,對(duì)點(diǎn)練1(1)(2022·山西呂梁一模)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.如圖,某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置有48個(gè)座艙,開啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn),游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,轉(zhuǎn)一周大約需要20min.游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hm,如圖以軸心O為原點(diǎn),與地面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,H關(guān)于t的函數(shù)解析式為(

)(2)(2022·江蘇南京、鹽城二模)某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生需測(cè)量某零件中圓弧的半徑.如圖,將三個(gè)半徑為20cm的小球放在圓弧上,使它們與圓弧都相切,左、右兩個(gè)小球與中間小球相切.利用“十”字尺測(cè)得小球的高度差h為8cm,則圓弧的半徑為

cm.

答案

(1)B

(2)120

解析

(1)設(shè)艙座距離地面最近的位置為P,當(dāng)t=0時(shí),游客甲位于點(diǎn)P(0,-55),以

(2)如圖所示,設(shè)點(diǎn)O,O1,O2分別是三個(gè)小球的球心,點(diǎn)M是圓弧所在圓的圓心,OM是十字尺豎直部分的中軸線,點(diǎn)A是OM與O1O2的交點(diǎn),點(diǎn)B是十字尺豎直部分與圓O的切點(diǎn),點(diǎn)C是OM與十字尺水平部分的下邊沿的交點(diǎn).由題意可知,BC=8,AB=12,AO=8,設(shè)圓弧的半徑為r,考向2函數(shù)模型的情境問(wèn)題例2(1)(2020·山東·6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)(

)A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天(2)(2022·四川成都二模)在不考慮空氣阻力的條件下,火箭的最大速度v(單位:km/s)與燃料的質(zhì)量M(單位:kg),火箭的質(zhì)量(除燃料外)m(單位:kg)的函數(shù)關(guān)系是v=2000ln(1+),當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量(除燃料外)的比值為t0時(shí),火箭的最大速度可達(dá)到v0km/s.若要使火箭的最大速度達(dá)到2v0km/s,則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量(除燃料外)的比值應(yīng)為(

)答案

(1)B

(2)D

(2)設(shè)當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量(除燃料外)的比值為x時(shí),火箭的最大速度可達(dá)到2v0

km/s,由題意可知v0=2

000ln(1+t0),2v0=2

000ln(1+x),∴4

000ln(1+t0)=2

000ln(1+x),對(duì)點(diǎn)練2(1)(2021·全國(guó)甲·文6)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(≈1.259)(

)A.1.5 B.1.2

C.0.8

D.0.6(2)(2022·北京西城期末)蓄電池的容量C(單位:Ah),放電時(shí)間t(單位:h)與放電電流I(單位:A)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為C=In·t,其中n為常數(shù),為了測(cè)算某蓄電池對(duì)應(yīng)的常數(shù)n,在電池容量不變的條件下,當(dāng)放電電流I=20A時(shí),放電時(shí)間t=20h;當(dāng)放電電流I=30A時(shí),放電時(shí)間t=10h.則該蓄電池對(duì)應(yīng)的常數(shù)n大約為(

)(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.30,lg3≈0.48)答案

(1)C

(2)B

考向3數(shù)列模型的情境問(wèn)題例3(1)(2020·全國(guó)Ⅱ·理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊(2)(2022·山東濰坊一模)我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣,如圖所示,相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同,冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng),夏至日晷長(zhǎng)最短,周而復(fù)始.已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺,芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺,則一年中夏至到大雪的日晷長(zhǎng)的和為

尺.

答案

(1)C

(2)84

解析

(1)由題意可知,從上到下,從內(nèi)到外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項(xiàng),9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為{an}.設(shè)上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數(shù)為Sn,中層扇面形石板總數(shù)為S2n-Sn,下層扇面形石板總數(shù)為S3n-S2n,三層扇面形石板總數(shù)為S3n.因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列,公差為9n2.因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊,所以9n2=729,解得n=9.所以(2)依題意,冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺,記為a1=13.5,芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺,記為a12=2.5,因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同,則從冬至日晷長(zhǎng)到芒種日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列{an},n∈N*,n≤12,數(shù)列{an}的公差因?yàn)橄闹僚c芒種相鄰,且夏至日晷長(zhǎng)最短,則夏至的日晷長(zhǎng)為a12+d=1.5,又大雪與冬至相鄰,且冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng),則大雪的日晷長(zhǎng)為a1+d=12.5,顯然夏至到大雪的日晷長(zhǎng)依次排成一列是遞增等差數(shù)列,首項(xiàng)為1.5尺,末項(xiàng)為12.5對(duì)點(diǎn)練3(2022·四川成都模擬預(yù)測(cè))如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中,圓D1與△ABC相切,圓D2與圓D1相切且與AB,AC相切,…,圓Dn+1與圓Dn相切且與AB,AC相切,依次得到D3,D4,…,Dn.當(dāng)圓Dn的半徑小于

時(shí),n(n∈N*)的最小值為(

)A.5 B.6 C.7 D.8答案

A

解析

如圖,設(shè)圓Dn,Dn-1與AC相切于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)Dn作FDn-1的垂線,垂足為故n的最小值為5,故選A.考向4概率模型的情境問(wèn)題例4(1)(2022·河南鄭州質(zhì)檢一)數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論:“任何由直線與拋物線所圍成的弓形,其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖,直線x=1與拋物線y2=2x交于A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在y軸上的射影分別為點(diǎn)M,N,向矩形ABNM內(nèi)任投一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(

)(2)齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)齊王與田忌各出上等馬、中等馬、下等馬一匹,共進(jìn)行三場(chǎng)比賽,規(guī)定:每一場(chǎng)雙方均任意選一匹馬參賽,且每匹馬僅參賽一次,勝兩場(chǎng)或兩場(chǎng)以上者獲勝.則田忌獲勝的概率為(

)答案

(1)A

(2)B

(2)設(shè)齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C,田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c,由題意,基本事件有(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb),共6個(gè),田忌獲勝包含的基本事件有(Ac,Ba,Cb),只有1個(gè),∴田忌獲勝的概率為

.故選B.對(duì)點(diǎn)練4(1)算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具,是中國(guó)人在長(zhǎng)期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的.如圖是一把算盤的初始狀態(tài),中間的檔是作定位用的,自右向左,分別是個(gè)位、十位、百位,…,上面一粒珠(簡(jiǎn)稱上珠)代表5,下面一粒珠(簡(jiǎn)稱下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)在從個(gè)位和十位這兩組中隨機(jī)選擇往下?lián)芤涣Ｉ现?往上撥3粒下珠,得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)(除了1和本身沒(méi)有其他的約數(shù))的概率是(

)(2)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是(

)答案

(1)B

(2)C

解析

(1)由題意,算盤所表示的數(shù)可能有:17,26,8,35,62,71,80,53,其中是質(zhì)數(shù)的有:17,71,53,故所求事件的概率為

.故選B.(2)不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè),隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),共有45種方法,因?yàn)?+23=11+19=13+17=30,所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的有3種方法,故所求概率為

,故選C.考向5空間幾何模型的情境問(wèn)題例5(1)(2020·全國(guó)Ⅰ·文3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為(

)(2)(2022·全國(guó)高三專題練習(xí))《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐;鱉臑是四個(gè)面均為直角三角形的四面體.在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中,已知AB=BC=4,AC=4,若陽(yáng)馬C1-ABB1A1的側(cè)棱C1A=8,則鱉臑C1-ABC中,點(diǎn)C到平面C1AB的距離為

.

解析

(1)

如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h',(2)由AB=BC=4,AC=4,得AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,故△ABC是等腰直角三角形,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,且AC?平面ABC,所以CC1⊥AC,同理,CC1⊥BC.對(duì)點(diǎn)練5(1)(2020·山東·4)日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為(

)A.20° B.40°C.50° D.90°(2)甲烷是一種有機(jī)化合物,分子式是CH4,它作為燃料廣泛應(yīng)用于民用和工業(yè)中,近年來(lái)科學(xué)家通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù),證明了甲烷會(huì)導(dǎo)致地球表面溫室效應(yīng)不斷增加,深入研究甲烷,趨利避害,成為科學(xué)家面臨的新課題.甲烷分子的結(jié)構(gòu)為正四面體結(jié)構(gòu),四個(gè)氫原子位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn),碳原子位于正四面體的中心,碳原子和氫原子之間形成的四個(gè)碳?xì)滏I的鍵長(zhǎng)相同,鍵角相等,請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算甲烷分子碳?xì)滏I之間夾角的余弦值為

.

解析

(1)由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.圓O1是在點(diǎn)A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點(diǎn)B在圓O上,則∠AOB=40