教育信息化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的微滲透-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時） 論文

教育信息化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的微滲透橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）摘要：隨著科技的發(fā)展，信息化的教學(xué)已成為新的趨勢，特別是信息化教育所占比重越來越重。本文在信息技術(shù)能力提升工程2.0的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，通過對高中知識——《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》為案例，利用“騰訊問卷”開展學(xué)情分析，從網(wǎng)絡(luò)平臺獲取圖片、視頻等教學(xué)資源，通過圖片、視頻進行課堂導(dǎo)入，充分把信息技術(shù)應(yīng)用到課堂教學(xué)中。關(guān)鍵詞：信息技術(shù)，高中數(shù)學(xué)，課堂教學(xué)引 言：《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)是研究研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型建構(gòu)等，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！盵1]這說明數(shù)學(xué)是抽象的，因此青少年學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)及其應(yīng)用上能力不足。在這種形勢下，教師要靈活運用多種教學(xué)手段，整合各種教育資源，了解學(xué)生情況，能夠在平常的教學(xué)過程中，把抽象的數(shù)學(xué)具體化、直觀化，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解。因此本文力求通過本文所舉案例，運用信息化技術(shù)設(shè)計為手段，達到激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。一、教學(xué)內(nèi)容分析：本單元內(nèi)容是在直線與圓的基礎(chǔ)上，對坐標(biāo)法的又一次實際運用，所要解決的仍然是解析幾何的“兩個基本問題”：建立曲線的方程，運用方程式認知曲線的幾何形狀。本節(jié)的主要內(nèi)容是橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于概念性知識，也是進一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，與此時同，雙曲線、拋物線的研究也是以此為基礎(chǔ)。因此，橢圓知識是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，不僅承上，還要啟下，是本章的重點，也是高考的重點和熱點。另外，在解決問題的過程中，數(shù)形結(jié)合、類比、特殊化與一般化、轉(zhuǎn)化與化歸等也發(fā)揮著重要作用。這種教育教學(xué)方式，可以培養(yǎng)學(xué)生縝密的數(shù)學(xué)思維，并且可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度，以及解決問題的邏輯思維，同時該節(jié)內(nèi)容也變相要求學(xué)生要具備數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象力的能力，這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升并非一蹴而就的。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：本節(jié)主要是學(xué)習(xí)橢圓有關(guān)知識，學(xué)生已學(xué)習(xí)了圓的概念及其方程，初步認識了解析幾何課程的特征，即是一門借助坐標(biāo)法研究幾何的學(xué)科，并且已經(jīng)初步體驗了數(shù)形結(jié)合的基本思想；學(xué)生在研究直線和圓的知識時，已對本節(jié)內(nèi)容產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，并且已經(jīng)具備一定觀察分析能力，建立了符合邏輯的推理能力；學(xué)生有建立圓的概念及其方程的經(jīng)歷。通過課前利用問卷對學(xué)生進行的學(xué)情分析，了解學(xué)生對橢圓的了解程度，督促學(xué)生通過查閱資料，復(fù)習(xí)回顧，預(yù)習(xí)新課，了解有關(guān)的橢圓的基本知識。準(zhǔn)確把握學(xué)生情況，因材施教，因地制宜的制定符合實際情況的學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù)。為課程進行做好鋪墊。運用“騰訊問卷”軟件編輯調(diào)查問卷和回答問題來進行調(diào)查和分析。問卷問題：1．在平面直角坐標(biāo)系中，點B(3,0)，點

P為一動點，且|PA||PB|2a(a0),給出下列說法：①當(dāng)a=2時，點P的軌跡不存在；②當(dāng)a=4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3；③當(dāng)a=4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6；④當(dāng)a=3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓。其中說法正確的是（ ）A.①② B.①③ C.②③ D.②④2．橢圓3x2y21的焦點坐標(biāo)為（ ）3,0

,

3,366 6

6 6333333 33

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓的焦點的坐標(biāo)為，且橢圓經(jīng)過點(5,0)；（2）ac2；（3）焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點和。三、教學(xué)目標(biāo)：1．結(jié)合模型演示和信息技術(shù)的操作，經(jīng)歷從具體的情境中抽象出橢圓定義的過程，掌握橢圓的定義；2．通過與所學(xué)圓的方程進行類比，能選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立橢圓的方程；3．理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及參數(shù)a、b、c的幾何意義，靈活運用橢圓定義法與待定系數(shù)法，根據(jù)實際問題條件確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。四、教學(xué)重點與難點：重點：掌握橢圓的幾何特征，理解橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程。難點：利用已掌握的知識，進行橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的邏輯推導(dǎo)。五、教法與學(xué)法教法：操作演示法、教師講授法學(xué)法：通過觀察等方式了解所學(xué)內(nèi)容，并通過不斷實踐掌握知識要點六、教具準(zhǔn)備：多媒體課件、直尺、幾何畫板、Geogebra軟件七、教學(xué)過程設(shè)計：1．課題引入，立足全章，建構(gòu)知識儲備從QQ瀏覽器上搜索希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯與法國數(shù)學(xué)家笛卡兒的圖片，從國家中小學(xué)教育云平臺上找到并錄制平面截圓錐的視頻，向?qū)W生介紹阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中對圓錐曲線的定義，播放平面截圓錐的視頻，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史上的圓錐曲線。再到17世紀(jì)笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系，人們開始用坐標(biāo)法解決圓錐曲線的問題。問1：你能猜測這些變化的大致原因嗎？（采用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的最大好處是可以程序化地、精確地計算。）【設(shè)計意圖】目的是明確本章內(nèi)容的價值和意義，促進學(xué)生形成積極探究的心理傾向。問2：如果本章我們采用坐標(biāo)法研究圓錐曲線，大家能在回顧用坐標(biāo)法研究直線與圓的基礎(chǔ)上，猜想符合邏輯推理的研究思路與研究框架嗎？（基本思路：現(xiàn)實背景——曲線的概念——曲線的方程——曲線的性質(zhì)——實際應(yīng)用。）【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從整體上把握本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容與基本框架，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供知識儲備，同時深化學(xué)生對坐標(biāo)法研究問題的基本思路與基本方法的理解。展示從QQ瀏覽器上搜索的航天員照片，引入神舟十三號成功發(fā)射，載人飛船在飛離地面一段時間內(nèi)繞地球沿橢圓軌跡航行，通過聯(lián)系國家科研事業(yè)，引入本節(jié)課主題“橢圓”，也培養(yǎng)了學(xué)生的科研精神和愛國情懷，適時進行德育教育。2．探究新知問3：橢圓到底有怎樣的幾何性質(zhì)？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？教師取出預(yù)先準(zhǔn)備好的泡沫板演示教材探究，讓學(xué)生直觀觀察到橢圓的形成過程，總結(jié)橢圓的概念。追問：在這一過程中，哪些是變化的？哪些是不變的？動點需要滿足的幾何條件是哪些？打開幾何畫板，現(xiàn)場教學(xué)演示，使學(xué)生清楚地認識到各個線段之間的關(guān)系。學(xué)生觀察得到：繩長保持不變，即動點到兩個定點的距離的和等于常數(shù)?？偨Y(jié)：到兩個定點和的距離之和為常數(shù)的點的軌跡是橢圓?！驹O(shè)計意圖】由實際操作，強化學(xué)生對橢圓幾何特征的認識，并引導(dǎo)學(xué)生由此抽象出橢圓的定義，再用幾何畫板直觀地讓學(xué)生觀察，加深學(xué)生的印象，從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。3．橢圓的定義我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的和等于常數(shù)（大于||）的點的軌跡叫M12做橢圓（ellipse）。這兩個定點叫做橢圓的焦點（focus），兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距（M12圖1熟讀定義，確定關(guān)鍵詞，對“大于||”進行分析。利用Geogebra軟件演示：當(dāng)常數(shù)等于或小于||時，點M的軌跡：當(dāng)常數(shù)等于||時，點M的軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)小于||時，點M的軌跡不存在?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生獲得橢圓的定義及相關(guān)概念，通過強化橢圓概念的抽象與建立過程，提高學(xué)生思維性的嚴(yán)謹性與語言表達能力；利用Geogebra軟件讓學(xué)生觀察動態(tài)演示過程，在教學(xué)的同時培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性的思維，提升其直觀想象的學(xué)科核心素養(yǎng)。4．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程類比研究圓的方程，運用同樣的思維是否能建立橢圓方程？首先建立平面直角坐標(biāo)系。問4：觀察橢圓形狀，你認為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？首先要觀察橢圓的幾何形狀，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱軸（兩條）且對稱軸交于一點，引導(dǎo)學(xué)生以線段所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy。yMOx圖2設(shè)M(x,y)是橢圓上的任意一點，焦距為2c(c0)，則(c,0),(c,0),點M與焦點,的距離的和等于2a(2a2c0)。P

|||||2a根據(jù)橢圓定義得到動點M滿足的幾何條件，翻譯為代數(shù)式子：(xc)2(xc)2y2(x-c)2y2觀察等式，為了更便于處理數(shù)學(xué)運算，我們采用先移項：(xc)2(xc)2y2(x-c)2y2再兩邊同時取平方，整理得：a2-cx=a兩邊再同時平方，得：

(x-c)2+y2③(a2③

-c2

)x2

+a2y2

=a2

(a2

-c2)④兩邊同時除以a2(a2-c2)，得：④x2 y2+a2 a2-c2

⑤問5：你能在圖中找出表示a,c,

a2-c2的線段嗎？yMOx圖32 2a2-a2-c2

xy ，得到 1(ab0)，我們稱這個方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它，得到a2 b21 2表示焦點在x軸上，兩個焦點分別是F(c,0),F(c,0)的橢圓，這里c2a21 2

-b2。2 2練習(xí)：如果橢圓xy1上的一點P與焦點F的距離等于7，那么點P與另一個100 36 1焦點的距離是 13 ?！驹O(shè)計意圖】（1）明確求曲線的方程的大致步驟，避免推導(dǎo)過程中思維的盲目性；（2）明確如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生通過直角坐標(biāo)系解決問題；（3）靈活運用推到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，引導(dǎo)學(xué)生掌握推導(dǎo)圓錐曲線方程的一般思路與方法。類比推理：若,在y軸上，坐標(biāo)為c),，a,b的意義同上，請確定yyOxM1圖422橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為yx22a2 b2

1(ab0)問6：觀察橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣通過標(biāo)準(zhǔn)方程推斷橢圓的焦點位置（坐標(biāo)軸）？（哪個項的分母大，焦點在哪個坐標(biāo)軸上。先定位，再定量）【設(shè)計意圖】形成和完善橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的概念。練習(xí)：判斷下列方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？如果不是，轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并說出焦點的位置與a,b,c的值。（1）

x24y216； （2）9x2y281.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，會根據(jù)方程求橢圓方程的參數(shù)，判斷橢圓的焦點位置、找到焦點坐標(biāo)。5．例題研討例52 2yOyO12xM圖5讓學(xué)生嘗試自己解答，教師走動查看。52 2x2 y2a2 b2

1求解；②定義法：根據(jù)橢圓的定義及a,b,c之間的關(guān)系直接求。運用待定系數(shù)法解決，計算量稍大，但也為后面和雙曲線的綜合問題作鋪墊。2 2解得標(biāo)準(zhǔn)方程是xy1。10 6【設(shè)計意圖】加深學(xué)生對橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的概念理解。課堂練習(xí)：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）ab1,焦點在x軸上；（2）ac

15,焦點在y軸上；（3）ab10,c25.【設(shè)計意圖】及時鞏固橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的概念，以及a,b,c之間的關(guān)系。6．課堂小結(jié)問1：橢圓是怎樣定義的呢？定義中，我們應(yīng)該特別關(guān)注哪些要素？（我們把平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于

||）的點的軌跡叫做橢圓。）問2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其形式是什么，依靠什么依據(jù)建立直角坐標(biāo)系？x2 y2焦點在x軸上：a2 b2ab0)

y2 x2焦點在y軸上：a2 b2

1(ab0)問3：通過對橢圓方程式的推到對你有什么啟迪？就一般情況而言，求曲線的方程有哪些步驟？核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算【設(shè)計意圖】及時梳理知識、提煉與升華所學(xué)的知識。7．課后作業(yè)（1）完成教材練習(xí)第1、2、3題。【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的理解水平以及思維的嚴(yán)謹性。（2）預(yù)習(xí)提升：例2如圖，在圓x2y24上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點的軌跡怎樣研究？請說明理由（當(dāng)點P經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定點M與點P重合。）yyPMODx圖6例3如圖，已知點A，B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)。直線AM,BM相交于點M，且y他們的斜率之積是4。求點M的軌跡方程。9 MA O B x圖7【設(shè)計意圖】考查學(xué)生求軌跡方程的掌握情況。（3）探究：習(xí)題第6題（播放視頻用圓折出橢圓）【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對橢圓定義的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，讓學(xué)生了解圓錐曲線的不同的得到方式，感受數(shù)學(xué)中的美?！?.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）§3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）一、課題引入 五、例題研討二、探究新知 六、課堂練習(xí)三、橢圓的定義 七、課堂小結(jié)四、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 八、課后作業(yè)焦點在軸： ab0x2y2y2 x2a2 b2焦點在軸: ab0a2 b2八、教后反思：教學(xué)設(shè)計中由一串問題構(gòu)成完整的知識體系，通過問題鏈構(gòu)建，循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，研究問題，解決問題。通過這種方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，不僅僅是教導(dǎo)傳授知識，更重要的是讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)主動權(quán)，充分展現(xiàn)了以“學(xué)生為主體”的教育理念。通過互動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與動手能力，改變數(shù)學(xué)課堂中刻板枯燥的映像，豐富教育教學(xué)。不足之處是：橢圓的定義還未內(nèi)化為學(xué)生的認知，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解還不全面，形如Ax2By21(A