【課件】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)+課件人教A版（2019）選擇性必修第二冊

人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修二4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

第一課時(shí)一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法握等比數(shù)列的n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡單問題提高學(xué)生的建模意識，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧回顧1等比數(shù)列的定義與遞推公式是怎樣的？

等比數(shù)列的遞推關(guān)系：

回顧2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？

數(shù)學(xué)小故事

相傳，古印度的舍罕王打算重賞國際象棋的發(fā)明者——宰相西薩·班·達(dá)依爾。于是，這位宰相跪在國王面前說：新課導(dǎo)入12陛下，請您在這張棋盤的第一個(gè)小格內(nèi)，賞給我一粒麥子；在第二個(gè)小格內(nèi)給兩粒，第三格內(nèi)給四粒，照這樣下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！第1格：第2格：第4格：第3格：第63格：第64格：……新知探究一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與公式問題1：這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？麥?？倲?shù)為追問1：

構(gòu)成什么數(shù)列？等比數(shù)列追問2：

應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題①式兩邊同乘以2則有

2S64=2+22+23+···+263+264②追問3：觀察相鄰兩項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了與它相鄰的后一項(xiàng)S64=1+2+22+···+262+263①

新知探究一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與公式①②反思：縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2

？乘以3？會達(dá)到一樣的效果嗎？追問4：比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？新知探究一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與公式①-②得：錯位相減法①②①-②得：①×q

得問題2：類比上面求和的方法能否得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式呢？新知探究一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與公式思考：要求出Sn,是否可以把上式兩邊同除以（1-q）？注意：分類討論是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法！新知探究一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與公式首項(xiàng)末項(xiàng)公比前n項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：注意(1)等比數(shù)列求和時(shí)，應(yīng)考慮q=1與q≠1兩種情況.(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法：錯位相減法.(3)步驟:乘公比，錯位寫，對位減.概念生成1000粒麥子的質(zhì)量約為40g麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸呼應(yīng)故事

是2016~2017年世界小麥年產(chǎn)量（7億多噸）的981倍，按每年7億噸計(jì)算都要用1000多年才能滿足西薩的要求；如果按人均每天吃______糧食計(jì)算,此棋盤上的糧食可供全世界_____億人吃上約_____年.1千克80240所以國王兌現(xiàn)不了他的承諾。跟蹤練習(xí)：判斷是非2nn個(gè)5n公式辨析n且0

a=0n

a=1{=反思總結(jié):用公式前，先弄清楚數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)n公式辨析新知探究二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用新知探究二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用例7已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.課本P371.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.課本P37新知探究二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用例2已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為－1，前n項(xiàng)和為Sn，若求公比q.課本P374.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，積等于64.求這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比.課本P37

5.如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10，前10項(xiàng)的和等于50，那么這個(gè)數(shù)列的公比等于多少?課本P37解法1：例3(1)(2)(3)解法2：兩式相除：實(shí)現(xiàn)整體消元的目的新知探究二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用例4已知等比數(shù)列{an}的公比q

≠－1，前n項(xiàng)和為Sn，證明Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,成等比數(shù)列，并這個(gè)數(shù)列的公比.新知探究二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用例4已知等比數(shù)列{an}的公比q

≠－1，前n項(xiàng)和為Sn，證明Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,成等比數(shù)列，并這個(gè)數(shù)列的公比.新知探究二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

若等比數(shù)列{an}的公比q≠－1，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比數(shù)列,其中公比為qn.等比數(shù)列的片段和性質(zhì)：1.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法（錯位相減法）.2.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（注意分類討論）.課堂小結(jié)人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修二4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

第二課時(shí)na1

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)引入

探究新知分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個(gè)等比數(shù)列。新知探究

新知探究

新知探究1.一個(gè)乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍.(1)當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過的總路程是多少(精確到1cm)?(2)至少在第幾次著地后，它經(jīng)過的總路程能達(dá)到400cm?課本P40典例解析例11.去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列。因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進(jìn)行計(jì)算。新知探究

新知探究歸納總結(jié)解決數(shù)列應(yīng)用題時(shí)一是：明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題；二是：明確是求an，還是求Sn.細(xì)胞繁殖、利率、增長率等問題一般為等比數(shù)列問題．新知探究

典例解析新知探究

新知探究典例解析

新知探究典例解析練習(xí)鞏固題型一

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例1(1)在等比數(shù)列{an}中,若S2=7,S6=91,則S4=

.

(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

.

(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和為Sn=3n+1-2k,則實(shí)數(shù)k等于

.

典例解析練習(xí)鞏固解析

(1)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也構(gòu)成等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4構(gòu)成等比數(shù)列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.典例解析練習(xí)鞏固方法技巧等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}為非常數(shù)列的等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和為Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),則必有A+B=0;反之,若某一非常數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),則該數(shù)列必為等比數(shù)列.(2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特別地,如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等比數(shù)列.(3)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比等于典例解析練習(xí)鞏固(2)已知等比數(shù)列{an}共有32項(xiàng),其公比q=3,且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和是(

)A.30 B.60 C.90 D.120典例解析練習(xí)鞏固答案

(1)B

(2)D解析

(1)設(shè)S2=k,S4=3k,由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4為等比數(shù)列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為S1,偶數(shù)項(xiàng)之和為S2,則S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,則S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和是30+90=120.典例解析練習(xí)鞏固題型二

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題例2已知Sn是無窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且公比q≠1,1是

S2和

S3的等差中項(xiàng),6是2S2和3S3的等比中項(xiàng).(1)求S2和S3;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和;(3)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和.典例解析練習(xí)鞏固典例解析練習(xí)鞏固反思感悟

數(shù)列綜合問題的關(guān)注點(diǎn)(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn),特別是等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn).(2)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)注意公比q的取值,熟悉兩種數(shù)列的性質(zhì),知道它們的推導(dǎo)過程,利用好性質(zhì),可降低題目的難度,解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程組求解.典例解析練習(xí)鞏固變2已知等差數(shù)列{an}和各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,等比數(shù)列{bn}公比為q,q>0,因?yàn)閍1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,∴d=2,q=3.因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1.(2)