固體物理-第三章-晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)函數(shù)

PAGEPAGE4第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)函數(shù)填空體1.若在三維空間中，晶體由N個(gè)原胞組成,每個(gè)原胞有一個(gè)原子,則共有_3N_個(gè)獨(dú)立的

振動(dòng),_N__個(gè)波矢,3N_支格波。2.體積為V的ZnS晶體，如果晶胞的體積為，則晶格振動(dòng)的模式書為24N/。3.三維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T3。4.某三維晶體由N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞內(nèi)有3個(gè)原子?？紤]晶體的晶格振動(dòng)，其色散關(guān)系共有9N支，其中3N支聲學(xué)波，包括2N支橫聲學(xué)波，1N支縱聲學(xué)波；另有6N支光學(xué)波。5.二維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T2。6.一維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T。7.三維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為U~T4。8.二維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為U~T3。9.一維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能溫度T的關(guān)系為U~T2。10.絕緣體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動(dòng)能。11.導(dǎo)體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動(dòng)能和價(jià)電子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能。12.某二維晶體由N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞內(nèi)有2個(gè)原子?？紤]晶體的晶格振動(dòng)，其色散關(guān)系共有4N支，其中2N支聲學(xué)波，包括N支橫聲學(xué)波，N支縱聲學(xué)波；另有2N支光學(xué)波。13.某一維晶體由N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞內(nèi)有3個(gè)原子?？紤]晶體的晶格振動(dòng)，其色散關(guān)系共有3N支，其中N支聲學(xué)波，包括N支橫聲學(xué)波，0支縱聲學(xué)波；另有2N支光學(xué)波。14.晶格振動(dòng)的元激發(fā)為聲子，其能量為，準(zhǔn)動(dòng)量為。15德拜模型的基本假設(shè)為：格波作為彈性波、介質(zhì)是各向同性介質(zhì)。16.對(duì)三維體積為V的晶體，波矢空間中的波矢密度為：；對(duì)二維面積為S的晶體，波矢空間中的波矢密度為：；對(duì)一維長度為L的晶體，波矢空間中的波矢密度為：。二、基本概念1.聲子晶格振動(dòng)的能量量子。2.波恩-卡門條件即周期性邊界條件，設(shè)想在實(shí)際晶體外，仍然有無限多個(gè)相同的晶體相連接，各晶體中相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況都一樣。3.波矢密度波矢空間單位體積內(nèi)的波矢數(shù)目，三維時(shí)為，Vc為晶體體積。4.模式密度單位頻率間隔內(nèi)模式數(shù)目。5.晶格振動(dòng)。答：由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用，原子的振動(dòng)就不是孤立的，而要以波的形式在晶體中傳播，形成所謂格波，因此晶體可視為一個(gè)互相耦合的振動(dòng)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就叫晶格振動(dòng)。6.簡(jiǎn)諧近似答：當(dāng)原子在平衡位置附近作微小振動(dòng)時(shí)，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這個(gè)近似即稱為簡(jiǎn)諧近似。7.格波答：晶格中的原子振動(dòng)是以角頻率為ω的平面波形式存在的，這種波就叫格波。三、簡(jiǎn)答題1.試分析愛因斯坦模型和德拜模型的特點(diǎn)及局限性.特點(diǎn)：1）愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有原子都以相同的頻率作振動(dòng)；2）德拜模型的基本思想是把格波作為彈性波來處理。局限性：在愛因斯坦的假設(shè)下，解釋了在甚低溫時(shí)溫度的變化趨勢(shì)，但是不能解釋為什么晶體熱熔隨溫度T3的速度變化，這是因?yàn)?，愛因斯坦模型只考慮了光學(xué)支格波，忽略了聲學(xué)支格波，而在甚低溫決定晶體熱容的主要是長聲學(xué)波。愛因斯坦模型過于簡(jiǎn)化。德拜模型不僅能夠很好解釋在甚低溫時(shí)晶體熱容隨溫度的變化趨勢(shì)，同時(shí)得出了在甚低溫下，熱容與T3成正比的規(guī)律。但是德拜模型忽略了晶體的各向異性，即光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。2.長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別?答：長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對(duì)振動(dòng),振動(dòng)頻率較高,它包含了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式.長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對(duì)位移,原胞做整體運(yùn)動(dòng),振動(dòng)頻率較低,它包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng)模式,波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學(xué)支格波,但簡(jiǎn)單晶格(非復(fù)式格子)晶體不存在光學(xué)支格波.3.晶體中聲子數(shù)目是否守恒?

答：頻率為的格波的(平均)聲子數(shù)為,即每一個(gè)格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān),因此,晶體中聲子數(shù)目不守恒,它是溫度的變量.大的主要是長聲學(xué)格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)是愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源。16.在甚低溫下,德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符?答：在甚低溫下,不僅光學(xué)波得不到激發(fā),而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā),得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波.長聲學(xué)格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對(duì)熱容的貢獻(xiàn).因此,在甚低溫下,德拜模型與事實(shí)相符,自然與實(shí)驗(yàn)相符。四、證明計(jì)算1.證明一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程，證明：第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為因?yàn)樗缘趎個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程化為在長波近似下，運(yùn)動(dòng)方程又化為在長波近似下，當(dāng)為有限整數(shù)時(shí)，上式說明，在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集體運(yùn)動(dòng)．因此（l）式可統(tǒng)一寫成觀上的質(zhì)點(diǎn)位移u，從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離可視為準(zhǔn)連續(xù)坐標(biāo)x，即于是（2）化成其中2.在一維雙原子鏈中，如，求證證明：雙一維原子鏈聲學(xué)支，由近似式， 得，對(duì)，由于，故B＝0，重原子靜止。3.在一維無限長的簡(jiǎn)單晶格中，原子質(zhì)量為M，若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復(fù)力系數(shù)為，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移為un第n+1和n-1個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移分別為un+1與un-1，則第n+m和n-m個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的作用力為因此第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為將格波的試解代入運(yùn)動(dòng)方程，得由此得格波的色散關(guān)系為4.證明：在溫度T時(shí)，一個(gè)量子諧振子的能量為討論當(dāng)溫度很高時(shí)，結(jié)果又會(huì)怎樣？證明：按照量子理論，一個(gè)諧振子的能級(jí)是式中，為諧振子的角頻率；n取正整數(shù)。在熱平衡條件下，諧振子的平均能量為式中為諧振子處于能級(jí)的幾率。若按玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)計(jì)算，上式寫成因?yàn)楣蕪纳鲜降迷诟邷叵?，，有故得可見，在高溫下，一個(gè)量子諧振子的平均能量與經(jīng)典理論的結(jié)論相同。5.在一維無限長的簡(jiǎn)單晶格中，若考慮原子間的長程作用力，第n個(gè)與第n+m或n-m個(gè)原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移為un第n+m和n-m個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移分別為un+m與un-m，則第n+m和n-m個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的作用力為第n個(gè)原子受力的總合為因此第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為將格波的試解代入運(yùn)動(dòng)方程，得由此得格波的色散關(guān)系為7.已知三維晶體在附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為，試求格波的模式密度解：則這是q空間的一個(gè)橢球面，其體積為，而，，q空間內(nèi)的波矢密度，故橢球內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)N為故8.計(jì)算一維單原子鏈的模式密度解：設(shè)單原子鏈長度一維單原子鏈的色散關(guān)系為：其中模式密度為對(duì)一維單原子鏈而言因?yàn)榧扔兴阅Ｊ矫芏葹?.已知一個(gè)頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在溫度T下的平均能量試用愛因斯坦模型求出由N個(gè)原子組成的單原子晶體晶格振動(dòng)的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。解:由N個(gè)原子組成的單原子晶體共有3N個(gè)自由度，獨(dú)立晶格振動(dòng)方式數(shù)也等于3N，晶體振動(dòng)的總能量便等于晶體振動(dòng)的總能量便等于這3N個(gè)諧振動(dòng)的能量之和，即依照愛因斯坦模型，，于是上式變?yōu)樵O(shè)，為愛因斯坦溫度(1)在高溫極限下，x<<1，，(1)式化作上式中的第二項(xiàng)是3N個(gè)經(jīng)典諧振子的平均能量之和；第一項(xiàng)與溫度無關(guān)，是愛因斯坦模型下的零點(diǎn)振動(dòng)能。在低溫極限下，x>>1，，從(1)式得8.設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，試用德拜模型求三維晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能解：狀態(tài)密度則9.設(shè)有三維間立方晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與T3。解：按照德拜模型,晶體中的聲子數(shù)目N’為.作變量代換，.其中是德拜溫度.高溫時(shí),,即高溫時(shí),晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.

低溫時(shí),,,即低溫時(shí),晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.10.有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則11.有三維簡(jiǎn)單晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與T3。按照德拜模型,晶體中的聲子數(shù)目為.作變量代換，.其中是德拜溫度.高溫時(shí),,即高溫時(shí),晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.

低溫時(shí),,,即低溫時(shí),晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.12.有N個(gè)相同原子組成的體積為L的一維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。.13.在一維無限長的簡(jiǎn)單晶格中，原子質(zhì)量為M，若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復(fù)力系數(shù)為，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移為un第n+1和n-1個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移分別為un+1與un-1，則第n+m和n-m個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的作用力為因此第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為將格波的試解代入運(yùn)動(dòng)方程，得由此得格波的色散關(guān)系為14.計(jì)算色散關(guān)系為的模式密度二維的模式密度。解：q空間也約化為二維空間，其等頻面實(shí)際為一個(gè)圓，圓半徑為：二維情況下的q空間中的密度為：A/(2π)，（這里A為二維晶格的面積），而且有：所以對(duì)于ω=c，二維情況的模式密度為：計(jì)算色散關(guān)系為的模式密度一維的模式密度。解：一維情況下的q空間中的等頻面退化為兩個(gè)等頻的點(diǎn)，因此有q空間有兩個(gè)等頻點(diǎn)+q和-q。仿上面的方法可以得到：15對(duì)三維單原子點(diǎn)陣，計(jì)算德拜模型下的模式密度。解：（解法一）設(shè)橫波和縱波具有相間波速v，有(1)令，上式化為其中簡(jiǎn)正模式的最高頻率是，如果