山東省莒縣第一中學2023年數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題含解析

山東省莒縣第一中學2023年數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，2．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.93．已知，條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．方程化簡的結果是（）A. B.C. D.5．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.6．設雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大7．設實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.88．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.19．拋物線的焦點坐標是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.10．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.11．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.12．設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項公式__________14．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______15．已知、是橢圓（）長軸的兩個端點，、是橢圓上關于軸對稱的兩點，直線，的斜率分別為，（）．若橢圓的離心率為，則的最小值為______16．已知O為坐標原點，橢圓T：，過橢圓上一點P的兩條直線PA，PB分別與橢圓交于A，B，設PA，PB的中點分別為D，E，直線PA，PB的斜率分別是，，若直線OD，OE的斜率之和為2，則的最大值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設P是拋物線上一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.（1）若點P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，，的前項和為.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點，試探究在平面內是否存在定點Q，使得是一個確定的常數(shù)？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由21．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對個病例的潛伏期(單位：天)進行調查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）假設潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離天，請用概率知識解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設個病例中恰有個屬于“長期潛伏”的概率是，當為何值時，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.22．（10分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.2、D【解析】結合等差數(shù)列的通項公式求得.【詳解】設公差，.故選：D3、A【解析】利用“1”的妙用探討命題“若p則q”的真假，取特殊值計算說明“若q則p”的真假即可判斷作答.【詳解】因為，由得：，則，當且僅當，即時取等號，因此，，因，，由，取，則，，即，，所以是的充分不必要條件.故選：A4、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結果故選：D5、C【解析】設，根據題意，可知的方程為直線，根據原點到直線的距離建立方程，求出，進而求出，的值，以及到直線的距離，再根據面積公式，即可求出結果.【詳解】設，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.6、C【解析】根據雙曲線的性質結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.7、A【解析】作出不等式組的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合的思想求解即可.【詳解】畫出約束條件的平面區(qū)域，如下圖所示：目標函數(shù)可以化為，函數(shù)可以看成由函數(shù)平移得到，當直線經過點時，直線的截距最小，則，故選：8、C【解析】根據直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，所以，因為，所以，因為直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C9、C【解析】根據拋物線標準方程，可得p的值，進而求出焦點坐標.【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點坐標為，故選：C.10、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A11、B【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設圓心坐標為，，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因為直線：和：的距離，由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設圓心坐標為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標為，故圓的方程為；故選：B12、B【解析】構造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導數(shù)分析出函數(shù)在上的單調性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【詳解】構造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當時，，此時，函數(shù)單調遞增，由，可得，解得；當時，則函數(shù)單調遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性求解函數(shù)不等式，根據導數(shù)不等式的結構構造合適的函數(shù)是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列通項公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的求法，重點考查了運算能力，屬基礎題.14、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：15、【解析】設出點，，，的坐標，表示出直線，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離心率求得與的關系，則答案可求詳解】解：設，，，，，，，，，，，當且僅當，即時等號成立，是橢圓長軸的兩個端點，，是橢圓上關于軸對稱的兩點，，，即，的最小值為，橢圓的離心率為，，即，得，的最小值為故答案為：16、【解析】設的坐標，用點差法求和與的關系同，與的關系，然后表示出，求得最大值【詳解】設，，，則，兩式相減得，∴，，則，同理，，又，∴，，當且僅當，即時等號成立，∴，故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓弦中點問題．橢圓中涉及到弦的中點時，常常用點差法確定關系，即設弦端點為，弦中點為，把兩點坐標代入橢圓方程，相減后可得三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線的定義可知，將問題問題轉化為求的最小值，即求.（2）判斷點B在拋物線的內部，過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點，利用拋物線的定義求解即可.【詳解】解析（1）依題意，拋物線的焦點為，準線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問題轉化為求的最小值.由平面幾何知識知，當F，P，A三點共線時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點B的橫坐標代入中，得，因為，所以點B在拋物線的內部.過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.【點睛】本題考查了拋物線的定義，理解定義是解題的關鍵，屬于基礎題.18、（1），；（2）.【解析】（1）根據等差數(shù)列的通項公式及已知條件，，解方程組可得，，進而可得等差數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列的前項和公式可得；（2）將數(shù)列的通項公式代入可得的通項公式，利用錯位相減法求和可得結果.【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因為，所以，故，，兩式相減得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解.19、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系20、（1）（2）存在，定點【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結合是常數(shù)列方程，從而求得定點的坐標.小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳解】當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，設，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時，即存在定點滿足條件當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設要使得是一個常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點滿足條件.21、（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】（1）根據列聯(lián)表中的數(shù)據，利用求得，與臨界表值對比下結論；（2）(ⅰ)根據，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，進而得到，然后判斷其單調性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個病例中有個屬于長潛伏期，若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，于是，則，，當時，；當時，；∴，.故當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進