人教A版數(shù)學(xué)必修二講義第4章4.3空間直角坐標(biāo)系Word版含答案

4.3空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置．(重點(diǎn))2．掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式．(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過(guò)學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系的特征①三條軸兩兩相交且互相垂直；②有相同的單位長(zhǎng)度．(2)相關(guān)概念①坐標(biāo)原點(diǎn)：O；②坐標(biāo)軸：x軸、y軸、z軸；③坐標(biāo)平面：xOy平面、yOz平面、xOz平面．(3)右手直角坐標(biāo)系要求右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向．2.空間一點(diǎn)的坐標(biāo)其中x→橫坐標(biāo)，y→縱坐標(biāo)，z→豎坐標(biāo)．思考：給定的空間直角坐標(biāo)系下，空間任意一點(diǎn)是否與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系？[提示]是．給定空間直角坐標(biāo)系下，空間給定一點(diǎn)其坐標(biāo)是唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)；反之，給定一個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，空間也有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)．3．空間兩點(diǎn)間的距離公式(1)點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2)．思考：空間兩點(diǎn)間的距離公式對(duì)在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)適用嗎？[提示]適用．空間兩點(diǎn)間的距離公式適用于空間任意兩點(diǎn)，對(duì)同在某一坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)也適用．1．下列點(diǎn)在x軸上的是()A．(0.1，0.2，0.3) B．(0，0，0.001)C．(5，0，0) D．(0，0.01，0)C[x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)為0.]2．點(diǎn)P(1，－2，5)到xOy平面的距離為()A．1B．2C．－2D．5D[點(diǎn)P(1，－2，5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2，0)，則點(diǎn)P(1，－2，5)到xOy平面的距離為|PP′|＝5.]3．已知點(diǎn)A(x，1，2)和點(diǎn)B(2，3，4)，且|AB|＝2eq\r(6)，則實(shí)數(shù)x的值是()A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－2D[由題意得eq\r(（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2)＝2eq\r(6)，解得x＝－2或x＝6.]求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)【例1】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M在線段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是線段D1M的中點(diǎn)，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．[解]如圖，過(guò)點(diǎn)M作MM1⊥BC于點(diǎn)M1，連接DM1，取DM1的中點(diǎn)N1，連接NN1.由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝eq\f(2,3)|CC1|＝eq\f(2,3)，|M1C|＝eq\f(1,3)|BC|＝eq\f(1,3).因?yàn)镸1M∥DD1，所以M1M與z軸平行，點(diǎn)M1與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)M的豎坐標(biāo)為eq\f(2,3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，\f(2,3))).由N1為DM1的中點(diǎn)，知N1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,2)，0)).因?yàn)镹1N與z軸平行，且|N1N|＝eq\f(|M1M|＋|DD1|,2)＝eq\f(5,6)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,2)，\f(5,6))).求某點(diǎn)P的坐標(biāo)的方法：先找到點(diǎn)P在xOy平面上的射影M，過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線，確定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即為點(diǎn)P坐標(biāo)的絕對(duì)值，再按O→N→M→P確定相應(yīng)坐標(biāo)的符號(hào)與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)，即可得到相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．1．已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為5eq\r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為13，建立的空間直角坐標(biāo)系如圖，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．[解]因?yàn)閨PO|＝eq\r(|PB|2－|OB|2)＝eq\r(169－25)＝12，所以各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(0，0，12)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)，－\f(5\r(2),2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，－\f(5\r(2),2)，0)).空間中點(diǎn)的對(duì)稱問題【例2】在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2，1，4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．[解](1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．(2)由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2，1，－4)．(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐標(biāo)為(6，－3，－12)．求空間對(duì)稱點(diǎn)的方法：空間的對(duì)稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．對(duì)稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．2．求點(diǎn)A(1，2，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．[解]如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥坐標(biāo)平面xOy交平面于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使AM＝CM，則點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱，且點(diǎn)C(1，2，1)．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N并延長(zhǎng)到點(diǎn)B，使AN＝NB，則點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱且點(diǎn)B(1，－2，1)．∴點(diǎn)A(1，2，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)為C(1，2，1)；點(diǎn)A(1，2，－1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為B(1，－2，1)．空間中兩點(diǎn)間的距離問題[探究問題]1．已知兩點(diǎn)P(1，0，1)與Q(4，3，－1)，請(qǐng)求出P、Q之間的距離．[提示]|PQ|＝eq\r(（1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2)＝eq\r(22).2．上述問題中，若在z軸上存在點(diǎn)M，使得|MP|＝|MQ|，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．[提示]設(shè)M(0，0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0，0，－6)．【例3】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.思路探究：eq\x(建系)→eq\x(求點(diǎn)M、N坐標(biāo))→eq\x(兩點(diǎn)間的距離)eq\x(公式求解)[解]如圖所示，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，∵N為CD1的中點(diǎn)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).M是A1C1的三分之一分點(diǎn)且靠近A1點(diǎn)，∴M(1，1，2)．由兩點(diǎn)間距離公式，得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up10(2)＋（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\f(\r(21),2).利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度問題的一般步驟為：3．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，則z＝________．－5或7[∵|AB|＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝112，化簡(jiǎn)得(z－1)2＝36，即|z－1|＝6，∴z＝－5或7.]1．結(jié)合長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高理解點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)，培養(yǎng)立體思維，增強(qiáng)空間想象力．2．學(xué)會(huì)用類比聯(lián)想的方法理解空間直角坐標(biāo)系的建系原則，切實(shí)體會(huì)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式同平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式的區(qū)別和聯(lián)系．3．在導(dǎo)出空間兩點(diǎn)間的距離公式中體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用，突出了化空間為平面的解題思想．1．點(diǎn)(2，0，3)在空間直角坐標(biāo)系中的()A．y軸上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．第一象限內(nèi)C[點(diǎn)(2，0，3)的縱坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面上．]2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3，4，5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于xOy平面對(duì)稱C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．以上都不對(duì)A[點(diǎn)P(3，4，5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，而縱、豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．]3．以棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形AA1B1B的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))B[由題圖得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以對(duì)角線的交點(diǎn)即為AB1的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\