7.3 正態(tài)總體區(qū)間估計

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第七章參數(shù)估計第三節(jié)正態(tài)總體的區(qū)間估計二、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計四、小結(jié)一、置信區(qū)間的概念三、兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

定義1：設(shè)總體的分布函數(shù)一、置信區(qū)間的概念中含有一個未知參數(shù)所有可能取值的范圍），由總體的樣本確定的兩個統(tǒng)計量其中若對于給定的，使得則稱隨機區(qū)間是的置信水平為的置信區(qū)間，稱為置信水平，分別稱為的雙側(cè)置信上限和雙側(cè)置信下限.注：（1）置信區(qū)間的長度反映了估計的精度；（2）反映估計的可靠性，值越大，估計的（3）置信水平可靠性越高.而精度和可靠性是矛盾的.的含義：在隨機抽樣中，如果進行N次抽樣，則隨機得到N個區(qū)間，這N個區(qū)間中有的包含未知參數(shù)的真值，有的不包含.二、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)總體是總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，置信水平為1.正態(tài)總體均值的區(qū)間估計（1）已知時，的置信區(qū)間利用樣本函數(shù)根據(jù)標準正態(tài)分布的上分位點定義，有即得到的一個置信水平為的置信區(qū)間或例1

從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機抽取10個，測得滾珠的直徑（單位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滾珠直徑服從正態(tài)分布，并且已知

求滾珠直徑均值的置信水平為95%的置信區(qū)間.解

計算樣本均值，置信水平查表得，由此得的置信水平為95%的置信區(qū)間為即注：未知參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間并不是唯一的.置信區(qū)間的長度隨置信水平變化.(2)未知時，的置信區(qū)間當未知時，選取樣本函數(shù)由于t分布的分布曲線對稱于y軸，故給定的置信水平，選取對稱區(qū)間.使得即則于是置信區(qū)間為例2從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機抽取10個，測得滾珠直徑（單位mm）為：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8.若滾珠直徑服從正態(tài)分布，求滾珠直徑均值的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：樣本均值，樣本標準差，置信水平，，自由度，查表得，則的置信區(qū)間為即注：比較兩例，未知時的置信區(qū)間要比已知時的置信區(qū)間長度大一些，這表明當未知條件增多，估計精度變差.2.正態(tài)總體方差的區(qū)間估計（1）已知時，的置信區(qū)間構(gòu)造樣本函數(shù)注：分布的分布曲線不對稱，找到最短置信區(qū)間是困難的，所以仿照曲線對稱情形選取區(qū)間.故有即即得到置信區(qū)間為例3

從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機抽取10個，測得滾珠直徑（單位mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8.若滾珠直徑服從正態(tài)分布，已知求滾珠直徑方差的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：已知則方差的置信水平為95%的置信區(qū)間為即所以置信水平為95%的置信區(qū)間為(2)未知時，的置信區(qū)間選取樣本函數(shù)選取分位點可得即置信區(qū)間為例4從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機抽取10個，測得滾珠直徑（單位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滾珠直徑服從正態(tài)分布，若未知，求滾珠直徑方差的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：樣本方差置信水平自由度查表得置信區(qū)間為即三、兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計在實際問題中，有時需要研究兩個正態(tài)總體均值或方差之間的差異問題，要討論兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計問題.設(shè)總體是總體,的樣本，樣本均值和樣本方差.,是總體的樣本，樣本均值和樣本方差1.兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計（1）已知時，的置信區(qū)間有有樣本函數(shù)對于給定的置信水平，有即則有因此均值差的置信區(qū)間為例5比較甲，乙兩種鋼板的強度，從甲鋼板中抽取20個樣品，測得強度均值為從乙鋼板中抽取25個樣品，測得強度均值為設(shè)兩種鋼板強度服從正態(tài)分布，其方差分別為試計算兩種鋼板強度均值差的置信水平90%的置信區(qū)間.解：置信水平查表得數(shù)據(jù)代入得到置信區(qū)間為（2）均未知，但時，的置信區(qū)間選取樣本函數(shù)其中有即置信區(qū)間為例6兩批導(dǎo)線，從第一批中抽取4根，第二批抽取5根測得電阻如下（單位：）第一批：0.1430.1420.1430.138第二批：0.1400.1420.1360.1400138設(shè)第一批導(dǎo)線的電阻，第二批導(dǎo)線的電阻，可認為，其中都未知，計算兩批導(dǎo)線電阻均值差的置信水平90%的置信區(qū)間.解：經(jīng)計算可得查表得代入得置信區(qū)間即2.兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計已知時，方差比的區(qū)間估計確定分位數(shù)有選取樣本函數(shù)得到